Garis tengah trapezoid adalah sama dengan tapaknya. Trapezoid, garis tengah trapezoid, segi tiga

Trapezoid ialah kes khas bagi segi empat di mana sepasang sisi adalah selari. Istilah "trapezoid" berasal dari perkataan Yunani τράπεζα, yang bermaksud "meja", "meja". Dalam artikel ini kita akan melihat jenis trapezoid dan sifatnya. Di samping itu, kami akan memikirkan cara mengira elemen individu ini Contohnya, pepenjuru trapezoid isosceles, garis tengah, kawasan, dll. Bahan ini dibentangkan dalam gaya geometri popular asas, iaitu dalam bentuk yang mudah diakses .

Maklumat am

Mula-mula, mari kita fikirkan apa itu segi empat. Angka ini ialah kes khas poligon yang mengandungi empat sisi dan empat bucu. Dua bucu bagi segiempat yang tidak bersebelahan dipanggil bertentangan. Perkara yang sama boleh dikatakan untuk dua sisi yang tidak bersebelahan. Jenis utama segi empat ialah segiempat selari, segi empat tepat, rombus, segi empat sama, trapezoid dan deltoid.

Jadi mari kita kembali kepada trapezoid. Seperti yang telah kami katakan, angka ini mempunyai dua sisi selari. Mereka dipanggil pangkalan. Dua lagi (tidak selari) ialah sisi sisi. Dalam bahan peperiksaan dan pelbagai ujian selalunya anda boleh menemui masalah yang berkaitan dengan trapezoid, penyelesaian yang sering memerlukan pelajar mempunyai pengetahuan yang tidak disediakan dalam program ini. Kursus geometri sekolah memperkenalkan pelajar kepada sifat sudut dan pepenjuru, serta garis tengah trapezoid sama kaki. Tetapi, sebagai tambahan kepada ini, angka geometri yang disebutkan mempunyai ciri-ciri lain. Tetapi lebih lanjut mengenai mereka sedikit kemudian...

Jenis-jenis trapezoid

Terdapat banyak jenis angka ini. Walau bagaimanapun, selalunya adalah kebiasaan untuk mempertimbangkan dua daripadanya - isosceles dan segi empat tepat.

1. Trapezoid segi empat tepat ialah rajah di mana salah satu sisinya berserenjang dengan tapak. Dua sudutnya sentiasa sama dengan sembilan puluh darjah.

2. Trapezoid isosceles ialah rajah geometri yang sisinya adalah sama antara satu sama lain. Ini bermakna sudut pada tapak juga sama berpasangan.

Prinsip utama metodologi untuk mengkaji sifat trapezoid

Prinsip utama termasuk penggunaan pendekatan tugasan yang dipanggil. Pada asasnya, tidak perlu masuk kursus teori geometri sifat baharu rajah ini. Ia boleh ditemui dan dirumuskan dalam proses menyelesaikan pelbagai masalah (sebaik-baiknya masalah sistem). Pada masa yang sama, adalah sangat penting untuk guru mengetahui tugasan yang perlu diberikan kepada pelajar pada satu masa atau yang lain. proses pendidikan. Selain itu, setiap sifat trapezoid boleh diwakili sebagai tugas utama dalam sistem tugas.

Prinsip kedua ialah apa yang dipanggil organisasi lingkaran untuk mengkaji sifat "luar biasa" trapezoid. Ini membayangkan pengembalian dalam proses pembelajaran kepada ciri individu bagi rajah geometri tertentu. Ini memudahkan pelajar mengingatinya. Sebagai contoh, sifat empat mata. Ia boleh dibuktikan apabila mengkaji persamaan dan seterusnya menggunakan vektor. Dan kesetaraan segi tiga bersebelahan dengan sisi sisi rajah boleh dibuktikan dengan menggunakan bukan sahaja sifat segi tiga dengan ketinggian yang sama dilukis pada sisi yang terletak pada garis lurus yang sama, tetapi juga menggunakan formula S = 1/2( ab*sinα). Di samping itu, anda boleh bekerja pada trapezoid bertulis atau segi tiga tepat pada trapezoid bertulis, dsb.

Penggunaan ciri "ekstrakurikuler" tokoh geometri dalam kandungan kursus sekolah adalah teknologi berasaskan tugas untuk mengajar mereka. Sentiasa merujuk kepada sifat-sifat yang sedang dipelajari semasa melalui topik lain membolehkan pelajar mendapat pemahaman yang lebih mendalam tentang trapezoid dan memastikan kejayaan menyelesaikan masalah yang diberikan. Jadi, mari kita mula mengkaji tokoh yang indah ini.

Unsur dan sifat trapezoid sama kaki

Seperti yang telah kita nyatakan, angka geometri ini mempunyai sisi yang sama. Ia juga dikenali sebagai trapezoid yang betul. Mengapa ia sangat luar biasa dan mengapa ia mendapat nama sedemikian? Keanehan angka ini ialah bukan sahaja sisi dan sudut di tapak adalah sama, tetapi juga pepenjuru. Di samping itu, jumlah sudut trapezium isosceles ialah 360 darjah. Tetapi bukan itu sahaja! Daripada semua trapezoid yang diketahui, hanya satu sama kaki yang boleh digambarkan sebagai bulatan. Ini disebabkan oleh fakta bahawa jumlah sudut bertentangan angka ini adalah sama dengan 180 darjah, dan hanya di bawah keadaan ini seseorang boleh menggambarkan bulatan di sekeliling segiempat. Sifat seterusnya bagi rajah geometri yang sedang dipertimbangkan ialah jarak dari bucu tapak ke unjuran bucu bertentangan ke garis lurus yang mengandungi tapak ini akan sama dengan garis tengah.

Sekarang mari kita fikirkan cara mencari sudut trapezoid sama kaki. Mari kita pertimbangkan penyelesaian kepada masalah ini, dengan syarat bahawa dimensi sisi rajah itu diketahui.

Penyelesaian

Lazimnya, segi empat biasanya dilambangkan dengan huruf A, B, C, D, di mana BS dan AD ialah tapaknya. Dalam trapezoid sama kaki, sisi adalah sama. Kami akan menganggap bahawa saiznya adalah sama dengan X, dan saiz tapak adalah sama dengan Y dan Z (masing-masing lebih kecil dan lebih besar). Untuk menjalankan pengiraan, adalah perlu untuk melukis ketinggian H dari sudut B. Hasilnya ialah segi tiga tepat ABN, di mana AB ialah hipotenus, dan BN dan AN ialah kaki. Kami mengira saiz kaki AN: kami menolak yang lebih kecil daripada asas yang lebih besar, dan membahagikan hasilnya dengan 2. Kami menulisnya dalam bentuk formula: (Z-Y)/2 = F. Sekarang, untuk mengira akut sudut segi tiga, kita menggunakan fungsi cos. Kami mendapat entri berikut: cos(β) = X/F. Sekarang kita mengira sudut: β=arcos (X/F). Selanjutnya, mengetahui satu sudut, kita boleh menentukan yang kedua, untuk ini kita melakukan asas operasi aritmetik: 180 - β. Semua sudut ditentukan.

Terdapat penyelesaian kedua untuk masalah ini. Mula-mula kita turunkan dari sudut ke ketinggian H. Kita kira nilai kaki BN. Kita tahu bahawa kuasa dua hipotenus segi tiga tepat sama dengan jumlah segi empat sama kaki. Kami dapat: BN = √(X2-F2). Seterusnya kita gunakan fungsi trigonometri tg. Hasilnya, kita mempunyai: β = arctan (BN/F). Sudut akut dijumpai. Seterusnya, kami mentakrifkannya sama dengan kaedah pertama.

Sifat pepenjuru bagi trapezoid sama kaki

Pertama, mari kita tulis empat peraturan. Jika pepenjuru dalam trapezoid isosceles adalah berserenjang, maka:

Ketinggian angka itu akan sama dengan jumlah tapak dibahagikan dengan dua;

Ketinggiannya dan garis tengah sama;

Pusat bulatan ialah titik di mana ;

Jika sisi sisi dibahagikan dengan titik tangen kepada segmen H dan M, maka ia adalah sama dengan punca kuasa dua produk segmen ini;

Sisi empat yang dibentuk oleh titik tangen, bucu trapezoid dan pusat bulatan bersurat ialah segi empat sama yang sisinya sama dengan jejari;

Luas suatu rajah adalah sama dengan hasil darab tapak dan hasil darab separuh hasil tambah tapak dan tingginya.

Trapezoid yang serupa

Topik ini sangat mudah untuk mengkaji sifat-sifat ini Sebagai contoh, pepenjuru membahagikan trapezoid kepada empat segi tiga, dan yang bersebelahan dengan tapak adalah serupa, dan yang bersebelahan dengan sisi adalah sama besarnya. Pernyataan ini boleh dipanggil sifat segi tiga di mana trapezoid dibahagikan dengan pepenjurunya. Bahagian pertama pernyataan ini dibuktikan melalui tanda persamaan pada dua sudut. Untuk membuktikan bahagian kedua, lebih baik menggunakan kaedah yang diberikan di bawah.

Bukti teorem

Kami menerima bahawa angka ABSD (AD dan BS ialah tapak trapezoid) dibahagikan dengan pepenjuru VD dan AC. Titik persilangan mereka ialah O. Kami mendapat empat segi tiga: AOS - di pangkal bawah, BOS - di pangkal atas, ABO dan SOD di sisi. Segitiga SOD dan BOS mempunyai ketinggian yang sama jika segmen BO dan OD adalah tapaknya. Kami mendapati bahawa perbezaan antara kawasan mereka (P) adalah sama dengan perbezaan antara segmen ini: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Oleh itu, PSOD = PBOS/K. Begitu juga, segi tiga BOS dan AOB mempunyai ketinggian yang sama. Kami mengambil segmen CO dan OA sebagai asasnya. Kami mendapat PBOS/PAOB = CO/OA = K dan PAOB = PBOS/K. Ia berikutan daripada ini bahawa PSOD = PAOB.

Untuk menyatukan bahan, pelajar disyorkan untuk mencari kaitan antara kawasan segitiga yang terhasil di mana trapezoid dibahagikan dengan pepenjurunya dengan menyelesaikan masalah berikut. Adalah diketahui bahawa segitiga BOS dan AOD mempunyai kawasan yang sama; adalah perlu untuk mencari luas trapezoid. Oleh kerana PSOD = PAOB, ia bermakna PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Daripada persamaan segi tiga BOS dan AOD ia mengikuti bahawa BO/OD = √(PBOS/PAOD). Oleh itu, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Kami mendapat PSOD = √(PBOS*PAOD). Kemudian PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Sifat persamaan

Terus mengembangkan topik ini, seseorang boleh membuktikan yang lain ciri menarik trapezoid. Oleh itu, dengan menggunakan persamaan, seseorang boleh membuktikan sifat segmen yang melalui titik yang dibentuk oleh persilangan pepenjuru rajah geometri ini, selari dengan tapak. Untuk melakukan ini, mari kita selesaikan masalah berikut: adalah perlu untuk mencari panjang segmen RK yang melalui titik O. Daripada persamaan segitiga AOD dan BOS ia mengikuti bahawa AO/OS = AD/BS. Daripada persamaan segi tiga AOP dan ASB ia mengikuti bahawa AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Dari sini kita dapat RO=BS*BP/(BS+BP). Begitu juga, daripada persamaan segi tiga DOC dan DBS, ia mengikuti bahawa OK = BS*AD/(BS+AD). Dari sini kita dapat RO=OK dan RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segmen yang melalui titik persilangan pepenjuru selari dengan tapak dan menghubungkan dua sisi sisi, dibahagikan kepada separuh oleh titik persilangan. Panjangnya ialah min harmonik bagi tapak rajah.

Pertimbangkan sifat trapezoid berikut, yang dipanggil sifat empat titik. Titik persilangan pepenjuru (O), persilangan kesinambungan sisi (E), serta titik tengah tapak (T dan F) sentiasa terletak pada garis yang sama. Ini boleh dibuktikan dengan mudah dengan kaedah persamaan. Segitiga BES dan AED yang terhasil adalah serupa, dan dalam setiap daripadanya median ET dan EJ membahagikan sudut bucu E kepada bahagian yang sama. Oleh itu, titik E, T dan F terletak pada garis lurus yang sama. Dengan cara yang sama, titik T, O, dan Zh terletak pada garis lurus yang sama Semua ini mengikuti persamaan segitiga BOS dan AOD. Dari sini kita membuat kesimpulan bahawa semua empat titik - E, T, O dan F - akan terletak pada garis lurus yang sama.

Menggunakan trapezium yang serupa, anda boleh meminta pelajar mencari panjang ruas (LF) yang membahagi rajah itu kepada dua yang serupa. Segmen ini mesti selari dengan tapak. Oleh kerana trapezoid ALFD dan LBSF yang terhasil adalah serupa, maka BS/LF = LF/AD. Ia berikutan bahawa LF=√(BS*AD). Kami mendapati bahawa segmen yang membahagikan trapezoid kepada dua yang serupa mempunyai panjang yang sama dengan min geometri bagi panjang tapak rajah.

Pertimbangkan sifat persamaan berikut. Ia berdasarkan segmen yang membahagikan trapezoid kepada dua angka yang sama. Kami menganggap bahawa trapezoid ABSD dibahagikan oleh segmen EH kepada dua yang serupa. Dari bucu B ketinggian ditinggalkan, yang dibahagikan dengan segmen EN kepada dua bahagian - B1 dan B2. Kami mendapat: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 dan PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Seterusnya, kami menyusun sistem yang persamaan pertamanya ialah (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 dan yang kedua (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Ia berikutan bahawa B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) dan BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Kami mendapati bahawa panjang ruas yang membahagikan trapezoid kepada dua yang sama adalah sama dengan purata punca kuasa dua panjang tapak: √((BS2+AD2)/2).

Penemuan persamaan

Oleh itu, kami telah membuktikan bahawa:

1. Segmen yang menghubungkan titik tengah sisi sisi trapezoid adalah selari dengan AD dan BS dan sama dengan min aritmetik BS dan AD (panjang tapak trapezoid).

2. Garis yang melalui titik O persilangan pepenjuru yang selari dengan AD dan BS akan sama dengan min harmonik bagi nombor AD dan BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Segmen yang membahagikan trapezoid kepada yang serupa mempunyai panjang min geometri bagi tapak BS dan AD.

4. Unsur yang membahagikan rajah kepada dua sama mempunyai panjang punca kuasa dua min bagi nombor AD dan BS.

Untuk menyatukan bahan dan memahami hubungan antara segmen yang dipertimbangkan, pelajar perlu membinanya untuk trapezoid tertentu. Dia boleh dengan mudah memaparkan garis tengah dan segmen yang melalui titik O - persilangan pepenjuru rajah - selari dengan tapak. Tetapi di manakah yang ketiga dan keempat akan ditempatkan? Jawapan ini akan membawa pelajar kepada penemuan hubungan yang dikehendaki antara nilai purata.

Segmen yang menghubungkan titik tengah pepenjuru trapezium

Pertimbangkan sifat berikut bagi rajah ini. Kami menganggap bahawa segmen MH adalah selari dengan tapak dan membelah dua pepenjuru. Mari kita panggil titik persilangan Ш dan Ш Segmen ini akan sama dengan separuh perbezaan tapak. Mari kita lihat ini dengan lebih terperinci. MS ialah garis tengah segitiga ABS, ia sama dengan BS/2. MSH ialah garis tengah segitiga ABD, ia bersamaan dengan AD/2. Kemudian kita mendapat bahawa ShShch = MSh-MSh, oleh itu, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Pusat graviti

Mari kita lihat bagaimana elemen ini ditentukan untuk angka geometri tertentu. Untuk melakukan ini, perlu memanjangkan pangkalan ke arah yang bertentangan. Apakah maksudnya? Anda perlu menambah pangkalan bawah ke pangkalan atas - ke mana-mana arah, sebagai contoh, ke kanan. Dan kami memanjangkan bahagian bawah dengan panjang bahagian atas ke kiri. Seterusnya, kami menyambungkannya secara menyerong. Titik persilangan segmen ini dengan garis tengah rajah ialah pusat graviti trapezoid.

Trapezoid bertulis dan berbatas

Mari kita senaraikan ciri-ciri angka tersebut:

1. Trapezoid boleh ditulis dalam bulatan hanya jika ia adalah sama kaki.

2. Trapezoid boleh diterangkan mengelilingi bulatan, dengan syarat jumlah panjang tapaknya adalah sama dengan jumlah panjang sisi.

Akibat dari bulatan:

1. Ketinggian trapezoid yang diterangkan sentiasa sama dengan dua jejari.

2. Sisi trapezoid yang diterangkan diperhatikan dari pusat bulatan pada sudut tepat.

Akibat pertama adalah jelas, tetapi untuk membuktikan yang kedua adalah perlu untuk memastikan bahawa sudut SOD adalah betul, yang, sebenarnya, juga tidak sukar. Tetapi pengetahuan tentang harta ini akan membolehkan anda menggunakan segi tiga tepat apabila menyelesaikan masalah.

Sekarang mari kita nyatakan akibat ini untuk trapezoid sama kaki yang ditulis dalam bulatan. Kami mendapati bahawa ketinggian ialah min geometri bagi tapak rajah: H=2R=√(BS*AD). Semasa mempraktikkan teknik asas untuk menyelesaikan masalah bagi trapezoid (prinsip melukis dua ketinggian), pelajar mesti menyelesaikan tugasan berikut. Kami menganggap bahawa BT ialah ketinggian angka isosceles ABSD. Ia adalah perlu untuk mencari segmen AT dan TD. Menggunakan formula yang diterangkan di atas, ini tidak akan sukar dilakukan.

Sekarang mari kita fikirkan cara menentukan jejari bulatan menggunakan kawasan trapezoid yang dihadkan. Kami menurunkan ketinggian dari bucu B ke pangkalan AD. Oleh kerana bulatan itu ditulis dalam trapezium, maka BS+AD = 2AB atau AB = (BS+AD)/2. Daripada segi tiga ABN kita dapati sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Kami mendapat PABSD = (BS+BP)*R, ia berikutan bahawa R = PABSD/(BS+BP).

Semua formula untuk garis tengah trapezium

Kini tiba masanya untuk beralih kepada elemen terakhir angka geometri ini. Mari kita tentukan apakah garis tengah trapezoid (M) bersamaan dengan:

1. Melalui tapak: M = (A+B)/2.

2. Melalui ketinggian, tapak dan bucu:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Melalui ketinggian, pepenjuru dan sudut di antara mereka. Contohnya, D1 dan D2 ialah pepenjuru bagi trapezoid; α, β - sudut di antara mereka:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Luas dan ketinggian melalui: M = P/N.

Segi empat di mana hanya dua sisi selari dipanggil trapezoid.

Sisi selari trapezium dipanggilnya sebab, dan sisi yang tidak selari dipanggil sisi. Jika sisinya sama, maka trapezoid tersebut adalah sama kaki. Jarak antara tapak dipanggil ketinggian trapezoid.

Trapezoid Garis Tengah

Garis tengah ialah segmen yang menghubungkan titik tengah sisi sisi trapezoid. Garis tengah trapezoid adalah selari dengan tapaknya.

Teorem:

Jika garis lurus yang melintasi bahagian tengah satu sisi adalah selari dengan tapak trapezoid, maka ia membelah bahagian kedua trapezium itu.

Teorem:

Panjang garis tengah adalah sama dengan min aritmetik bagi panjang tapaknya

MN || AB || DC
AM = MD; BN=NC

Garis tengah MN, AB dan CD - tapak, AD dan BC - sisi sisi

MN = (AB + DC)/2

Teorem:

Panjang garis tengah trapezium adalah sama dengan min aritmetik bagi panjang tapaknya.

Tugas utama: Buktikan bahawa garis tengah trapezium membelah dua ruas yang hujungnya terletak di tengah-tengah tapak trapezoid.

Garisan Tengah Segi Tiga

Segmen yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga dipanggil garis tengah segitiga. Ia selari dengan sisi ketiga dan panjangnya sama dengan separuh panjang sisi ketiga.
Teorem: Jika garis yang bersilang dengan titik tengah satu sisi segitiga adalah selari dengan sisi yang lain segi tiga yang diberi, kemudian ia membahagikan bahagian ketiga kepada separuh.

AM = MC dan BN = NC =>

Mengaplikasikan sifat garis tengah bagi segi tiga dan trapezium

Membahagikan segmen dengan jumlah tertentu bahagian yang sama.
Tugasan: Bahagikan segmen AB kepada 5 bahagian yang sama banyak.
Penyelesaian:
Biarkan p ialah sinar rawak yang asalnya ialah titik A dan yang tidak terletak pada garis lurus AB. Kami secara berurutan mengetepikan 5 segmen yang sama pada p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
Kami menyambungkan A 5 ke B dan melukis garisan sedemikian melalui A 4, A 3, A 2 dan A 1 yang selari dengan A 5 B. Mereka bersilang AB masing-masing di titik B 4, B 3, B 2 dan B 1. Titik-titik ini membahagikan segmen AB kepada 5 bahagian yang sama. Sesungguhnya, daripada trapezoid BB 3 A 3 A 5 kita lihat bahawa BB 4 = B 4 B 3. Dengan cara yang sama, daripada trapezoid B 4 B 2 A 2 A 4 kita memperoleh B 4 B 3 = B 3 B 2

Manakala daripada trapezoid B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Kemudian daripada B 2 AA 2 ia berikutan bahawa B 2 B 1 = B 1 A. Kesimpulannya kita dapat:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Adalah jelas bahawa untuk membahagikan segmen AB kepada beberapa bahagian yang sama, kita perlu mengunjurkan bilangan segmen yang sama pada sinar p. Dan kemudian teruskan dengan cara yang diterangkan di atas.

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda emel dll.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentangnya tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau berdasarkan pertanyaan awam atau permintaan daripada badan kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

KUADAGON.

§ 49. TRAPEZE.

Segi empat di mana dua sisi bertentangan adalah selari dan dua yang lain tidak selari dipanggil trapezoid.

Dalam lukisan 252, segiempat ABC AB || CD, AC || B.D. ABC - trapezoid.

Sisi selari trapezium dipanggilnya sebab; AB dan CD ialah tapak trapezoid. Dua sisi lain dipanggil sisi trapezoid; AC dan ВD ialah sisi trapezoid.

Jika sisinya sama, maka trapezoid dipanggil sama kaki.

ABOM trapezoid ialah sama kaki, kerana AM = VO (Rajah 253).

Trapezoid di mana salah satu sisinya berserenjang dengan tapak dipanggil segi empat tepat(lukisan 254).

Garis tengah trapezoid ialah segmen yang menghubungkan titik tengah sisi sisi trapezoid.

Teorem. Garis tengah trapezoid adalah selari dengan setiap tapaknya dan sama dengan separuh jumlahnya.

Diberi: OS ialah garis tengah trapezoid ABDC, iaitu OK = OA dan BC = CD (lukisan 255).

Kita perlu membuktikan:

1) OS || KD dan OS || AB;
2)

Bukti. Melalui titik A dan C kita lukis garis lurus yang bersilang dengan kesinambungan tapak KD pada satu titik E.

Dalam segi tiga ABC dan DCE:
BC = CD - mengikut syarat;
/ 1 = / 2, kedua-duanya menegak,
/ 4 = / 3, sebagai baring bersilang dalaman dengan AB dan KE selari dan BD sekan. Oleh itu, /\ ABC = /\ DCE.

Oleh itu AC = CE, i.e. OS ialah garis tengah bagi segi tiga KAE. Oleh itu (§ 48):

1) OS || KE dan, oleh itu, OS || KD dan OS || AB;
2) , tetapi DE = AB (dari kesamaan segi tiga ABC dan DCE), oleh itu segmen DE boleh digantikan dengan segmen AB yang sama. Kemudian kita dapat:

Teorem terbukti.

Senaman.

1. Buktikan bahawa jumlah sudut dalam trapezium yang bersebelahan dengan setiap sisi adalah sama dengan 2 d.

2. Buktikan bahawa sudut pada tapak trapezoid sama kaki adalah sama.

3. Buktikan bahawa jika sudut pada tapak trapezium adalah sama, maka trapezium ini adalah sama kaki.

4. Buktikan bahawa pepenjuru bagi trapezoid sama kaki adalah sama antara satu sama lain.

5. Buktikan bahawa jika pepenjuru bagi trapezoid adalah sama, maka trapezoid ini ialah sama kaki.

6. Buktikan bahawa perimeter rajah yang dibentuk oleh ruas-ruas yang menghubungkan titik tengah sisi segiempat adalah sama dengan hasil tambah pepenjuru sisi empat ini.

7. Buktikan bahawa garis lurus yang melalui tengah-tengah salah satu sisi trapezoid selari dengan tapaknya membahagikan sisi lain trapezium itu kepada dua.

Objektif pelajaran:

1) memperkenalkan pelajar kepada konsep garis tengah trapezium, pertimbangkan sifatnya dan buktikan;

2) ajar cara membina garis tengah trapezoid;

3) membangunkan keupayaan pelajar untuk menggunakan definisi garis tengah trapezium dan sifat garis tengah trapezium semasa menyelesaikan masalah;

4) terus membangunkan keupayaan pelajar untuk bercakap dengan cekap, menggunakan istilah matematik yang diperlukan; buktikan pandangan anda;

5) membangun pemikiran logik, ingatan, perhatian.

Kemajuan pelajaran

1. Kerja rumah disemak semasa pelajaran. Kerja rumah adalah lisan, ingat:

a) takrif trapezoid; jenis trapezoid;

b) menentukan garis tengah segitiga;

c) sifat garis tengah segitiga;

d) tanda garis tengah segitiga.

2. Mempelajari bahan baharu.

a) Papan menunjukkan sebuah trapezium ABCD.

b) Guru meminta anda mengingati definisi trapezoid. Setiap meja mempunyai gambar rajah pembayang untuk membantu anda mengingati konsep asas dalam topik "Trapezoid" (lihat Lampiran 1). Lampiran 1 dikeluarkan kepada setiap meja.

Pelajar melukis trapezoid ABCD dalam buku nota mereka.

c) Guru meminta anda mengingati topik yang mana konsep garis tengah ditemui (“Garisan tengah segitiga”). Pelajar mengimbas kembali definisi garis tengah segitiga dan sifatnya.

e) Tulis takrif garis tengah trapezoid, lukiskannya dalam buku nota.

Garis tengah Trapezoid ialah segmen yang menghubungkan titik tengah sisinya.

Sifat garis tengah trapezoid masih belum terbukti pada peringkat ini, jadi peringkat pelajaran seterusnya melibatkan usaha membuktikan sifat garis tengah trapezoid.

Teorem. Garis tengah trapezoid adalah selari dengan tapaknya dan sama dengan separuh jumlahnya.

Diberi: ABCD - trapezoid,

MN – garis tengah ABCD

Buktikan, Apakah:

1. SM || MN || A.D.

2. MN = (AD + BC).

Kita boleh menulis beberapa akibat daripada syarat teorem:

AM = MB, CN = ND, BC || A.D.

Adalah mustahil untuk membuktikan apa yang diperlukan berdasarkan sifat yang disenaraikan sahaja. Sistem soalan dan latihan harus membawa pelajar kepada keinginan untuk menyambung garis tengah trapezium dengan garis tengah beberapa segi tiga, sifat-sifatnya yang sudah mereka ketahui. Jika tiada cadangan, maka anda boleh bertanya soalan: bagaimana untuk membina segitiga yang mana segmen MN akan menjadi garis tengah?

Mari kita tuliskan pembinaan tambahan untuk salah satu kes.

Mari kita lukis garis lurus BN yang bersilang dengan kesinambungan sisi AD di titik K.

Elemen tambahan muncul - segi tiga: ABD, BNM, DNK, BCN. Jika kita membuktikan bahawa BN = NK, maka ini bermakna MN ialah garis tengah ABD, dan kemudian kita boleh menggunakan sifat garis tengah segitiga dan membuktikan yang perlu.

Bukti:

1. Pertimbangkan BNC dan DNK, ia mengandungi:

a) CNB =DNK (harta benda sudut menegak);

b) BCN = NDK (sifat sudut bersilang dalaman);

c) CN = ND (secara bersesuaian dengan syarat teorem).

Ini bermakna BNC =DNK (di sebelah dan dua sudut bersebelahan).

Q.E.D.

Bukti boleh dilakukan secara lisan di dalam kelas, dan dibina semula dan ditulis dalam buku nota di rumah (mengikut budi bicara guru).

Adalah perlu untuk mengatakan tentang cara lain yang mungkin untuk membuktikan teorem ini:

1. Lukis salah satu pepenjuru trapezoid dan gunakan tanda dan sifat garis tengah segitiga itu.

2. Menjalankan CF || BA dan pertimbangkan segi empat selari ABCF dan DCF.

3. Menjalankan EF || BA dan pertimbangkan kesamarataan FND dan ENC.

g) Pada peringkat ini ia dinyatakan kerja rumah: perenggan 84, buku teks ed. Atanasyan L.S. (bukti sifat garis tengah trapezoid menggunakan kaedah vektor), tuliskannya dalam buku nota anda.

h) Kami menyelesaikan masalah menggunakan definisi dan sifat garis tengah trapezoid menggunakan lukisan siap (lihat Lampiran 2). Lampiran 2 diberikan kepada setiap pelajar, dan penyelesaian kepada masalah ditulis pada helaian yang sama dalam bentuk ringkas.