Statistikada ortanı necə tapmaq olar. Ortalamaların növləri

5.1. Orta anlayış

Orta dəyər - Bu fenomenin tipik səviyyəsini xarakterizə edən ümumi göstəricidir. Əhalinin vahidinə düşən bir xüsusiyyətin dəyərini ifadə edir.

Orta həmişə əlamətin kəmiyyət dəyişkənliyini ümumiləşdirir, yəni. orta qiymətlərdə təsadüfi şəraitə görə populyasiyada vahidlər arasında fərdi fərqlər aradan qaldırılır. Orta göstəricidən fərqli olaraq, populyasiyanın ayrı-ayrı vahidlərinin xarakteristikasının səviyyəsini xarakterizə edən mütləq dəyər, fərqli populyasiyalara aid vahidlər arasında xarakteristikanın qiymətlərini müqayisə etməyə imkan vermir. Beləliklə, əgər iki müəssisədə işçilərin əmək haqqı səviyyələrini müqayisə etmək lazımdırsa, bu əsasda müxtəlif müəssisələrin iki işçisini müqayisə edə bilməzsiniz. Müqayisə üçün seçilmiş işçilərin əmək haqqı bu müəssisələr üçün xarakterik olmaya bilər. Nəzərdə tutulan müəssisələrdə əmək haqqı fondlarının həcmini müqayisə etsək, işçilərin sayı nəzərə alınmır və ona görə də əmək haqqının hansı səviyyədə daha yüksək olduğunu müəyyən etmək mümkün deyil. Nəhayət, yalnız orta göstəriciləri müqayisə etmək olar, yəni. Hər müəssisədə bir işçi orta hesabla nə qədər qazanır? Beləliklə, əhalinin ümumiləşdirici xarakteristikası kimi orta dəyərin hesablanmasına ehtiyac var.

Ortanın hesablanması ümumiləşdirmə üsullarından biridir; orta göstərici tədqiq olunan əhalinin bütün vahidləri üçün ümumi (tipik) olanı inkar edir, eyni zamanda ayrı-ayrı vahidlərin fərqlərini nəzərə almaz. Hər bir hadisədə və onun inkişafında təsadüf və zərurət vəhdəti vardır. Qanuna əsasən, ortalamaları hesablayarkən böyük rəqəmlər təsadüfiliyi ləğv edir və balanslaşdırılmışdır, buna görə də fenomenin əhəmiyyətsiz xüsusiyyətlərindən, hər bir konkret halda atributun kəmiyyət dəyərlərindən mücərrəd çıxarmaq mümkündür. Fərdi dəyərlərin və dalğalanmaların təsadüfiliyindən mücərrədlik qabiliyyəti, aqreqatların ümumiləşdirici xüsusiyyətləri kimi ortaların elmi dəyərinə əsaslanır.

Ortalamanın həqiqi təmsilçi olması üçün onu müəyyən prinsiplər nəzərə alınmaqla hesablamaq lazımdır.

Orta göstəricilərdən istifadə üçün bəzi ümumi prinsiplər üzərində dayanaq.
1. Keyfiyyətcə bircins vahidlərdən ibarət olan populyasiyalar üçün orta göstərici müəyyən edilməlidir.
2. Orta göstərici kifayət qədər olan əhali üçün hesablanmalıdır çox sayda vahidlər.
3. Vahidləri normal, təbii vəziyyətdə olan əhali üçün orta göstərici hesablanmalıdır.
4. Tədqiq olunan göstəricinin iqtisadi məzmunu nəzərə alınmaqla orta qiymət hesablanmalıdır.

5.2. Ortaların növləri və onların hesablanması üsulları

İndi orta qiymətlərin növlərini, onların hesablanmasının xüsusiyyətlərini və tətbiq sahələrini nəzərdən keçirək. Orta dəyərlər iki böyük sinifə bölünür: güc ortalamaları, struktur ortalamalar.

TO orta güc Bunlara həndəsi orta, arifmetik orta və kvadrat orta kimi ən məşhur və tez-tez istifadə olunan növlər daxildir.

kimi struktur ortalamaları rejim və median nəzərə alınır.

Orta güc göstəricilərinə diqqət yetirək. Mənbə məlumatlarının təqdimatından asılı olaraq orta güc göstəriciləri sadə və ya çəkili ola bilər. Sadə orta Qruplaşdırılmamış məlumatlar əsasında hesablanır və aşağıdakı ümumi formaya malikdir:

burada X i ortalaşdırılan xarakteristikanın variantıdır (qiyməti);

n – nömrə seçimi.

Çəkili orta qruplaşdırılmış məlumatlar əsasında hesablanır və ümumi görünüşə malikdir

,

burada X i ortalaşdırılan xarakteristikanın variantı (qiyməti) və ya variantın ölçüldüyü intervalın orta qiymətidir;
m – orta dərəcə indeksi;
f i – neçə dəfə baş verdiyini göstərən tezlik i-e dəyəri ortalama xarakteristikası.

Nümunə olaraq 20 nəfərlik qrupda tələbələrin orta yaş həddinin hesablanmasını verək:

Sadə orta düsturdan istifadə edərək orta yaşı hesablayırıq:

Mənbə məlumatlarını qruplaşdıraq. Aşağıdakı paylama seriyasını alırıq:

Qruplaşdırma nəticəsində X yaşlı şagirdlərin sayını göstərən yeni göstərici - tezlik əldə edirik. Beləliklə, orta yaş Qrupdakı tələbələr orta çəkili düsturla hesablanacaq:

Orta güclərin hesablanması üçün ümumi düsturlar eksponentə (m) malikdir. Aldığı dəyərdən asılı olaraq, aşağıdakı güc orta növləri fərqləndirilir:
harmonik orta, əgər m = -1;
həndəsi orta, əgər m –> 0;
arifmetik orta m = 1 olarsa;
kök orta kvadrat əgər m = 2;
orta kub, əgər m = 3 olarsa.

Orta güc üçün düsturlar Cədvəldə verilmişdir. 4.4.

Eyni ilkin məlumatlar üçün bütün növ ortalamaları hesablasanız, onların dəyərləri fərqli olacaq. Burada orta əksəriyyət qaydası tətbiq olunur: eksponent m artdıqca müvafiq orta qiymət də artır:

Statistik praktikada arifmetik vasitələrdən və harmonik ölçülmüş vasitələrdən digər çəkili ortalama növlərinə nisbətən daha çox istifadə olunur.

Cədvəl 5.1

Güc vasitələrinin növləri

Bir növ güc orta	Göstərici dərəcə (m)	Hesablama düsturu
		Sadə	Çəkili
Harmonik	-1
Həndəsi	0
Hesab	1
Kvadrat	2
kub	3

Harmonik orta arifmetik ortadan daha mürəkkəb quruluşa malikdir. Harmonik orta hesablamalar üçün kütlə vahidləri - xarakteristikanın daşıyıcıları - çəkilər kimi istifadə edilmədikdə, lakin bu vahidlərin xarakteristikanın dəyərlərinə (yəni m = Xf) məhsulu olduqda istifadə olunur. Orta harmonik sadəliyə, məsələn, iki (üç, dörd və s.) müəssisə, istehsalla məşğul olan fəhlələr üçün bir hissəyə düşən əmək, vaxt, məhsul vahidi üçün materialların orta maya dəyərini müəyyən edən hallarda müraciət edilməlidir. eyni məhsul növü, eyni hissə, məhsul.

Orta dəyərin hesablanması düsturu üçün əsas tələb hesablamanın bütün mərhələlərinin real mənalı əsaslandırmaya malik olmasıdır; əldə edilən orta dəyər fərdi və ümumi göstəricilər arasındakı əlaqəni pozmadan hər bir obyekt üçün atributun fərdi dəyərlərini əvəz etməlidir. Başqa sözlə, orta qiymət elə hesablanmalıdır ki, orta hesablanmış göstəricinin hər bir fərdi qiyməti onun orta qiyməti ilə əvəz olunduqda orta qiymətlə bu və ya digər şəkildə bağlı olan bəzi yekun yekun göstərici dəyişməz qalsın. Bu cəmi deyilir müəyyən edənçünki fərdi dəyərlərlə əlaqəsinin xarakteri orta dəyərin hesablanması üçün xüsusi düstur müəyyən edir. Gəlin bu qaydanı həndəsi ortanın nümunəsi ilə nümayiş etdirək.

Orta həndəsi düstur

fərdi nisbi dinamika əsasında orta dəyərin hesablanması zamanı ən çox istifadə olunur.

Məsələn, əvvəlki ilin səviyyəsi ilə müqayisədə istehsalın artımını göstərən zəncir nisbi dinamikasının ardıcıllığı verildikdə həndəsi orta istifadə edilir: i 1, i 2, i 3,..., i n. ci ildə istehsal həcminin olduğu aydındır keçən il onun ilkin səviyyəsi (q 0) və illər ərzində sonrakı artımı ilə müəyyən edilir:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Müəyyənedici göstərici kimi q n götürərək və dinamika göstəricilərinin fərdi qiymətlərini orta qiymətlərlə əvəz edərək, əlaqəyə gəlirik.

Buradan

5.3. Struktur ortalamalar

Öyrənmək üçün xüsusi bir ortalama növündən - struktur ortalamalardan istifadə olunur daxili quruluş atribut dəyərlərinin paylanması seriyası, habelə orta dəyərin (güc növü) qiymətləndirilməsi üçün, əgər onun hesablanması mövcud statistik məlumatlara əsasən həyata keçirilə bilmirsə (məsələn, nəzərdən keçirilən nümunədə hər iki həcm haqqında məlumat olmadıqda) istehsalın və müəssisə qrupları üzrə xərclərin məbləği) .

Göstəricilər ən çox struktur ortalama kimi istifadə olunur moda - atributun ən tez-tez təkrarlanan dəyəri – və medianlar - dəyərlərinin ardıcıl ardıcıllığını iki bərabər hissəyə bölən bir xarakteristikanın dəyəri. Nəticədə, populyasiyada vahidlərin yarısı üçün atributun dəyəri median səviyyəni keçmir, digər yarısı üçün isə ondan az deyil.

Tədqiq olunan xarakteristikanın diskret qiymətləri varsa, rejimi və medianı hesablamaqda xüsusi çətinliklər yoxdur. X atributunun dəyərləri haqqında məlumatlar onun dəyişməsinin ardıcıl intervalları (interval seriyaları) şəklində təqdim edilərsə, rejimin və medianın hesablanması bir qədər çətinləşir.

,

Median dəyər bütün populyasiyanı iki bərabər hissəyə böldüyü üçün o, X xarakteristikasının intervallarından birində bitir. İnterpolyasiyadan istifadə edərək medianın qiyməti bu median intervalda tapılır:
burada X Me median intervalının aşağı həddidir;
h Mən – onun dəyəri;
(Cəmi m)/2 – müşahidələrin ümumi sayının yarısı və ya orta qiymətin hesablanması üçün düsturlarda çəki kimi istifadə olunan göstəricinin həcminin yarısı (mütləq və ya nisbi ifadədə);
S Me-1 – median intervalın başlamasına qədər yığılmış müşahidələrin cəmi (və ya çəki atributunun həcmi);

m Me – müşahidələrin sayı və ya median intervalda çəki xarakteristikasının həcmi (həmçinin mütləq və ya nisbi mənada).

Bizim nümunəmizdə hətta üç median dəyər əldə edilə bilər - müəssisələrin sayına, istehsal həcminə və ümumi istehsal xərclərinə əsasən: Beləliklə, müəssisələrin yarısında məhsul vahidinin dəyəri 125,19 min rubldan artıqdır, məhsulun ümumi həcminin yarısı 124,79 min rubldan çox məhsulun dəyəri ilə istehsal olunur. və ümumi xərclərin 50% -i bir məhsulun dəyəri 125,07 min rubldan yuxarı olduqda formalaşır. Onu da qeyd edirik ki, müəyyən meyllər var artan xərclər , Məndən bəri 2 = 124,79 min rubl və orta səviyyə

Xarakteristikanın modal dəyərini bir interval seriyasının məlumatlarına əsaslanaraq hesablayarkən, intervalların eyni olmasına diqqət yetirmək lazımdır, çünki X xarakteristikasının dəyərlərinin təkrarlanma göstəricisi bundan asılıdır bərabər intervallara malik bir interval seriyası, rejimin böyüklüyü kimi təyin olunur

burada X Mo modal intervalın aşağı qiymətidir;
m Mo – modal intervalda müşahidələrin sayı və ya çəki xarakteristikasının həcmi (mütləq və ya nisbi ifadədə);
m Mo -1 – modaldan əvvəlki interval üçün eyni;
m Mo+1 – modaldan sonrakı interval üçün eyni;
h – qruplar üzrə xarakteristikanın dəyişmə intervalının qiyməti.

Nümunəmiz üçün üçü hesablaya bilərik modal mənalar müəssisələrin sayına, istehsalın həcminə və məsrəflərin məbləğinə əsasən. Hər üç halda modal interval eynidir, çünki eyni interval üçün müəssisələrin sayı, istehsalın həcmi və istehsal xərclərinin ümumi məbləği ən böyükdür:

Beləliklə, ən çox dəyəri 126,75 min rubl olan müəssisələr var, əksər hallarda məhsullar 126,69 min rubl dəyərində istehsal olunur və ən çox istehsal xərcləri 123,73 min rubl dəyər səviyyəsi ilə izah olunur.

5.4. Variasiya göstəriciləri

Tədqiq olunan obyektlərin hər birinin yerləşdiyi konkret şərait, habelə onların öz inkişaf xüsusiyyətləri (sosial, iqtisadi və s.) müvafiq ədədi səviyyələrlə ifadə edilir. statistik göstəricilər. Beləliklə, variasiya, olanlar. ildə eyni göstəricinin səviyyələri arasında uyğunsuzluq müxtəlif obyektlər, var obyektiv təbiət və tədqiq olunan hadisənin mahiyyətini anlamağa kömək edir.

Statistikada variasiyanı ölçmək üçün bir neçə üsuldan istifadə olunur.

Ən sadəsi göstəricini hesablamaqdır variasiya diapazonu H xarakteristikasının maksimum (X max) və minimum (X min) müşahidə olunan dəyərləri arasındakı fərq kimi:

H=X max - X dəq.

Bununla birlikdə, variasiya diapazonu yalnız əlamətin həddindən artıq dəyərlərini göstərir. Aralıq dəyərlərin təkrarlanması burada nəzərə alınmır.

Daha sərt xüsusiyyətlər atributun orta səviyyəsinə nisbətən dəyişkənliyin göstəriciləridir. Bu növün ən sadə göstəricisidir orta xətti kənarlaşma L orta arifmetik dəyər xarakteristikanın orta səviyyəsindən mütləq sapmaları:

Fərdi X dəyərləri təkrarlana biləndə, çəkili arifmetik orta düsturdan istifadə edin:

(Xatırladaq ki, orta səviyyədən kənarlaşmaların cəbri cəmi sıfırdır.)

Orta xətti kənarlaşma göstəricisi praktikada geniş tətbiq tapmışdır. Onun köməyi ilə, məsələn, işçilərin tərkibi, istehsalın ritmi, materialların tədarükünün vahidliyi təhlil edilir və sistemlər hazırlanır. maddi stimullar. Amma təəssüf ki, bu göstərici ehtimal hesablamalarını çətinləşdirir və riyazi statistika metodlarından istifadəni çətinləşdirir. Buna görə də statistik elmi tədqiqat variasiyanı ölçmək üçün ən çox istifadə olunan göstəricidir

fərqlər.

.

Xarakteristikanın (s 2) fərqi orta kvadrat gücə əsasən müəyyən edilir: s-ə bərabər olan göstərici deyilir

standart sapma. INümumi nəzəriyyə

Statistikada dispersiya göstəricisi eyni adlı ehtimal nəzəriyyəsi göstəricisinin təxmini və (kvadrat sapmaların cəmi kimi) riyazi statistikada dispersiyanın qiymətləndirilməsidir ki, bu da bu nəzəri fənlərin müddəalarından istifadə etməyə imkan verir. sosial-iqtisadi proseslərin təhlili.< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Variasiya qeyri-məhdud populyasiyadan götürülmüş az sayda müşahidədən təxmin edilirsə, xarakteristikanın orta qiyməti müəyyən bir səhvlə müəyyən edilir. Dispersiyanın hesablanmış dəyərinin azalmaya doğru sürüşdüyü ortaya çıxır. Qərəzsiz qiymətləndirmə əldə etmək üçün əvvəllər verilmiş düsturlardan istifadə edərək əldə edilən nümunə dispersiyasını n / (n - 1) dəyərinə vurmaq lazımdır. Nəticədə az sayda müşahidələrlə (

Adətən, artıq n > (15÷20) üçün qərəzli və qərəzsiz qiymətləndirmələr arasında uyğunsuzluq əhəmiyyətsiz olur. Eyni səbəbdən fərqliliklərin əlavə edilməsi düsturunda qərəzlilik adətən nəzərə alınmır. Əgər ümumi populyasiyadan bir neçə nümunə götürülürsə və hər dəfə xarakteristikanın orta qiyməti müəyyən edilirsə, onda orta göstəricilərin dəyişkənliyinin qiymətləndirilməsi problemi yaranır. Variasiyanı təxmin edin orta dəyər

,

düsturdan istifadə edərək yalnız bir nümunə müşahidəsi əsasında mümkündür

burada n nümunənin ölçüsüdür; s 2 – nümunə məlumatlarından hesablanmış xarakteristikanın dispersiyası. Böyüklük adlanır orta seçmə xətası

və X atributunun seçmə orta qiymətinin onun həqiqi orta qiymətindən kənarlaşmasının xarakterik xüsusiyyətidir. Nümunə müşahidəsinin nəticələrinin etibarlılığını qiymətləndirmək üçün orta xəta göstəricisindən istifadə olunur. Nisbi dispersiya göstəriciləri. Öyrənilən xarakteristikanın dəyişkənlik ölçüsünü xarakterizə etmək üçün nisbi qiymətlərlə dəyişkənlik göstəriciləri hesablanır. Onlar dispersiyanın təbiətini müqayisə etməyə imkan verir müxtəlif paylamalar müxtəlif mənalar müxtəlif populyasiyaları müqayisə edərkən orta göstəricilər). Nisbi dispersiya ölçüsünün göstəricilərinin hesablanması mütləq dispersiya göstəricisinin 100%-ə vurularaq orta arifmetik göstəriciyə nisbəti kimi həyata keçirilir.

1. Salınma əmsalı xarakteristikanın ekstremal qiymətlərinin orta ətrafında nisbi dəyişməsini əks etdirir

.

2. Nisbi xətti bağlanma mütləq kənarlaşmalar işarəsinin orta dəyərinin orta dəyərdən nisbətini xarakterizə edir.

.

3. Dəyişmə əmsalı:

orta dəyərlərin tipikliyini qiymətləndirmək üçün istifadə edilən ən ümumi dəyişkənlik ölçüsüdür.

Statistikada dəyişmə əmsalı 30-35%-dən çox olan populyasiyalar heterojen hesab olunur.

Dəyişikliyi qiymətləndirmək üçün bu üsul da əhəmiyyətli çatışmazlığa malikdir. Həqiqətən, məsələn, s = 10 il standart sapma ilə orta təcrübə 15 il olan işçilərin orijinal əhalisi daha 15 il "qocalsın". İndi = 30 ildir və standart kənarlaşma hələ də 10-dur. Əvvəllər heterojen əhali (10/15 × 100) = 66,7%), beləliklə zamanla kifayət qədər homojen olur (10/30 × 100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Nəzəri tədqiqat statistik məlumatlara görə: Sent. Elmi

Trudov. – M.: Statistika, 1974. səh. 19–57.

Əvvəlki İçindəki hər bir insan müasir dünya

Kredit almağı və ya qış üçün tərəvəz yığmağı planlaşdırarkən vaxtaşırı "orta dəyər" kimi bir anlayışla qarşılaşırsınız. Gəlin öyrənək: bu nədir, hansı növlər və siniflər mövcuddur və niyə statistikada və digər fənlərdə istifadə olunur.

Orta dəyər - bu nədir?

Oxşar ad (SV) hər hansı bir kəmiyyət dəyişən xarakteristikası ilə təyin olunan bircins hadisələr toplusunun ümumiləşdirilmiş xarakteristikasıdır. Ancaq bu cür abstrakt təriflərdən uzaq olan insanlar bu anlayışı bir şeyin orta miqdarı kimi başa düşürlər. Məsələn, kredit götürməzdən əvvəl bank işçisi mütləq soruşacaq potensial müştəri

il üçün orta gəlir, yəni bir şəxsin qazandığı pulun ümumi məbləği haqqında məlumat verin. Bütün il üçün qazancın ümumiləşdirilməsi və ayların sayına bölünməsi ilə hesablanır. Beləliklə, bank müştərisinin borcunu vaxtında ödəyə bilib-bilməyəcəyini müəyyən edə biləcək.

Bir qayda olaraq, orta dəyərlər kütləvi xarakterli müəyyən sosial hadisələrin ümumi təsvirini vermək üçün geniş istifadə olunur. Onlar həmçinin yuxarıdakı misalda kredit halında olduğu kimi daha kiçik miqyaslı hesablamalar üçün də istifadə oluna bilər.

Bununla belə, çox vaxt orta dəyərlər hələ də qlobal məqsədlər üçün istifadə olunur. Onlardan birinə misal olaraq bir təqvim ayı ərzində vətəndaşlar tərəfindən istehlak edilmiş elektrik enerjisinin miqdarının hesablanmasıdır. Əldə edilmiş məlumatlara əsasən, sonradan dövlət tərəfindən güzəştlərdən istifadə edən əhalinin kateqoriyaları üçün maksimum standartlar müəyyən edilir.

Həmçinin, orta qiymətlərdən istifadə edərək, müəyyən məişət texnikasının, avtomobillərin, binaların və s.-nin zəmanət müddəti işlənib hazırlanır.

Faktiki olaraq hər hansı bir fenomen müasir həyat kütləvi xarakter daşıyan , baxılan anlayışla bu və ya digər şəkildə mütləq şəkildə bağlıdır.

Tətbiq sahələri

Bu fenomen demək olar ki, bütün dəqiq elmlərdə, xüsusən də eksperimental xarakterli elmlərdə geniş istifadə olunur.

Ortanın tapılması tibbdə, mühəndislikdə, kulinariyada, iqtisadiyyatda, siyasətdə və s.

Bu cür ümumiləşdirmələrdən əldə edilən məlumatlar əsasında onlar terapevtik dərmanlar, təhsil proqramları hazırlayır, minimum yaşayış minimumu və əmək haqqını təyin edir, tədris cədvəllərini qurur, mebel, geyim və ayaqqabı, gigiyena vasitələri və s.

Riyaziyyatda bu termin “orta dəyər” adlanır və müxtəlif misal və məsələlərin həlli üçün istifadə olunur. Onlardan ən sadəsi ilə toplama və çıxmadır adi fraksiyalar. Axı, bildiyiniz kimi, belə misalları həll etmək üçün hər iki kəsri ortaq məxrəcə gətirmək lazımdır.

Həmçinin dəqiq elmlər kraliçasında mənaca oxşar olan “orta dəyər” terminindən tez-tez istifadə olunur təsadüfi dəyişən" Çoxlarına "riyazi gözlənti" kimi daha çox tanışdır, daha çox ehtimal nəzəriyyəsində nəzərdən keçirilir. Qeyd etmək lazımdır ki, oxşar hadisə statistik hesablamalar apararkən də tətbiq olunur.

Statistikada orta dəyər

Bununla belə, öyrənilən anlayış ən çox statistikada istifadə olunur. Məlum olduğu kimi, bu elmin özü də kütləvi sosial hadisələrin kəmiyyət xüsusiyyətlərinin hesablanması və təhlili üzrə ixtisaslaşmışdır. Buna görə də, statistikada orta dəyər əsas məqsədlərinə nail olmaq üçün xüsusi bir üsul kimi istifadə olunur - məlumatların toplanması və təhlili.

Bu statistik metodun mahiyyəti nəzərdən keçirilən xarakteristikanın fərdi unikal dəyərlərini müəyyən balanslaşdırılmış orta dəyərlə əvəz etməkdir.

Məsələn, məşhur yemək zarafatıdır. Belə ki, müəyyən bir fabrikdə çərşənbə axşamı günorta yeməyində onun müdirləri adətən ət güveç yeyirlər, adi işçilər isə... bişmiş kələm. Bu məlumatlara əsasən belə bir nəticəyə gələ bilərik ki, orta hesabla zavodun işçi heyəti çərşənbə axşamı kələm rulonlarında nahar edir.

Baxmayaraq ki bu misal bir az şişirdilmiş, lakin bu, orta dəyəri tapmaq metodunun əsas çatışmazlığını göstərir - hamarlama fərdi xüsusiyyətlər obyektlər və ya şəxslər.

Orta dəyərlərdə onlar yalnız toplanmış məlumatları təhlil etmək üçün deyil, həm də gələcək fəaliyyətləri planlaşdırmaq və proqnozlaşdırmaq üçün istifadə olunur.

Qiymətləndirmək üçün də istifadə olunur əldə edilmiş nəticələr(məsələn, yaz-yay mövsümü üçün buğdanın becərilməsi və biçini planının yerinə yetirilməsi).

Necə düzgün hesablamaq olar

SV-nin növündən asılı olaraq onun hesablanması üçün müxtəlif düsturlar olsa da, ümumi statistika nəzəriyyəsində, bir qayda olaraq, xarakteristikanın orta qiymətinin hesablanmasının yalnız bir üsulundan istifadə olunur. Bunu etmək üçün əvvəlcə bütün hadisələrin dəyərlərini bir araya toplamalı və sonra əldə edilən məbləği onların sayına bölmək lazımdır.

Belə hesablamalar apararkən, orta dəyərin həmişə əhalinin fərdi vahidi ilə eyni ölçüyə (və ya vahidlərə) malik olduğunu xatırlamaq lazımdır.

Düzgün hesablama üçün şərtlər

Yuxarıda müzakirə edilən formula çox sadə və universaldır, ona görə də onunla səhv etmək demək olar ki, mümkün deyil. Bununla belə, həmişə iki aspekti nəzərə almağa dəyər, əks halda əldə edilən məlumatlar real vəziyyəti əks etdirməyəcəkdir.

SV sinifləri

Əsas suallara cavab tapdıqdan sonra: "Orta dəyər nədir?", "Harada istifadə olunur?" və "Bunu necə hesablaya bilərsiniz?", SV-lərin hansı siniflərinin və növlərinin mövcud olduğunu öyrənməyə dəyər.

Əvvəla, bu fenomen 2 sinfə bölünür. Bunlar struktur və güc ortalamalarıdır.

Güc SV-lərinin növləri

Yuxarıda göstərilən siniflərin hər biri öz növbəsində növlərə bölünür. Sedativ sinifdə dörd var.

• Arifmetik ortalama SV-nin ən çox yayılmış növüdür. Məlumatlar toplusunda nəzərdən keçirilən xarakteristikanın ümumi həcminin bu çoxluğun bütün vahidləri arasında bərabər paylandığını müəyyən edən orta termindir.

  Bu tip alt tiplərə bölünür: sadə və çəkili arifmetik SV.

• Harmonik orta, nəzərdən keçirilən xarakteristikanın qarşılıqlı qiymətlərindən hesablanan sadə arifmetik ortanın tərsi olan göstəricidir.

  Xarakteristikanın və məhsulun fərdi dəyərlərinin məlum olduğu, lakin tezlik məlumatlarının olmadığı hallarda istifadə olunur.

• İqtisadi hadisələrin artım templərini təhlil edərkən həndəsi ortalamadan ən çox istifadə olunur. Bu, cəmi deyil, müəyyən bir kəmiyyətin fərdi dəyərlərinin məhsulunu dəyişməz saxlamağa imkan verir.

  Həm də sadə və balanslı ola bilər.

• Orta kvadrat dəyəri fərdi göstəricilərin hesablanması zamanı istifadə olunur, məsələn, variasiya əmsalı, məhsulun çıxış ritmini xarakterizə edən və s.

  Boruların, təkərlərin orta diametrlərini, kvadratın orta tərəflərini və oxşar rəqəmləri hesablamaq üçün də istifadə olunur.

  Bütün digər ortalama növləri kimi, orta kök kvadratı sadə və ölçülü ola bilər.

Struktur kəmiyyətlərin növləri

Orta SV-lərə əlavə olaraq, onlar tez-tez statistikada istifadə olunur struktur baxışları. Onlar dəyişən xarakteristikanın qiymətlərinin nisbi xüsusiyyətlərini və paylama seriyalarının daxili strukturunu hesablamaq üçün daha uyğundur.

Belə iki növ var.

Statistik aqreqatların vahidlərinin xarakteristikaları öz mənalarına görə müxtəlifdir, məsələn, müəssisənin eyni peşəsi üzrə çalışan işçilərin əmək haqqının eyni müddət ərzində eyni olmaması, eyni məhsulun bazar qiymətləri, rayon üzrə məhsuldarlıq. təsərrüfatlar və s. Buna görə də, öyrənilən vahidlərin bütün əhalisi üçün xarakterik olan bir xüsusiyyətin dəyərini müəyyən etmək üçün orta dəyərlər hesablanır.
Orta dəyər – bu, bəzi kəmiyyət xarakteristikasının fərdi dəyərlər toplusunun ümumiləşdirici xarakteristikasıdır.

Kəmiyyət əsasında öyrənilən əhali fərdi dəyərlərdən ibarətdir; onlara həm ümumi səbəblər, həm də fərdi şərtlər təsir edir. Orta dəyərdə fərdi dəyərlərə xas olan sapmalar ləğv edilir. Orta, fərdi dəyərlər toplusunun funksiyası olmaqla, bütün məcmu bir qiymətlə təmsil edir və onun bütün vahidləri üçün ümumi olanı əks etdirir.

Keyfiyyətcə bircins vahidlərdən ibarət olan populyasiyalar üçün hesablanmış orta qiymət adlanır tipik orta. Məsələn, aylıq ortalama hesablaya bilərsiniz əmək haqqı bu və ya digər peşə qrupunun işçisi (mədənçi, həkim, kitabxanaçı). Təbii ki, mədənçilərin aylıq əməkhaqqının səviyyələri onların ixtisasları, iş stajları, ayda işlədikləri vaxt və bir çox başqa amillərə görə bir-birindən və orta əmək haqqı səviyyəsindən fərqlənir. Bununla belə, orta səviyyə əmək haqqının səviyyəsinə təsir edən əsas amilləri əks etdirir və işçinin fərdi xüsusiyyətlərinə görə yaranan fərqləri aradan qaldırır. Orta əmək haqqı müəyyən bir işçi növü üçün tipik əmək haqqı səviyyəsini əks etdirir. Tipik ortalamanın alınmasından əvvəl verilmiş əhalinin keyfiyyətcə homojen olmasının təhlili aparılmalıdır. Əgər məcmu ayrı-ayrı hissələrdən ibarətdirsə, o, tipik qruplara bölünməlidir ( orta temperatur xəstəxana tərəfindən).

Heterojen populyasiyalar üçün xarakteristika kimi istifadə edilən orta dəyərlər deyilir sistem ortalamaları. Məsələn, orta brüt daxili məhsul adambaşına (ÜDM), adambaşına müxtəlif mal qruplarının orta istehlakı və vahid iqtisadi sistem kimi dövlətin ümumi xüsusiyyətlərini əks etdirən digər oxşar dəyərlər.

Orta göstərici kifayət qədər çox sayda vahiddən ibarət olan populyasiyalar üçün hesablanmalıdır. Bu şərtə riayət etmək böyük ədədlər qanununun qüvvəyə minməsi üçün zəruridir, bunun nəticəsində fərdi kəmiyyətlərin təsadüfi kənara çıxması ümumi tendensiya bir-birinizi ləğv edin.

Ortaların növləri və onların hesablanması üsulları

Orta növün seçimi müəyyən göstəricinin və mənbə məlumatlarının iqtisadi məzmunu ilə müəyyən edilir. Bununla belə, hər hansı bir orta qiymət hesablanmalıdır ki, o, orta hesablanmış xarakteristikanın hər bir variantını əvəz etdikdə, yekun, ümumiləşdirici və ya ümumi adlandırıldığı kimi, dəyişməsin. müəyyənedici göstərici, bu, orta göstərici ilə bağlıdır. Məsələn, yolun ayrı-ayrı hissələrində faktiki sürətləri onların orta sürəti ilə əvəz edərkən, qət edilən ümumi məsafə dəyişməməlidir. nəqliyyat vasitəsi eyni zamanda; orta müəssisənin ayrı-ayrı işçilərinin faktiki əmək haqqını əvəz edərkən əmək haqqıƏmək haqqı fondu dəyişməməlidir. Deməli, hər bir konkret halda mövcud məlumatların xarakterindən asılı olaraq tədqiq olunan sosial-iqtisadi hadisənin xassələrinə və mahiyyətinə adekvat olan göstəricinin yalnız bir həqiqi orta qiyməti mövcuddur.
Ən çox istifadə olunan arifmetik orta, harmonik orta, həndəsi orta, kvadrat orta və kub ortadır.
Siyahıda göstərilən orta qiymətlər sinfə aiddir sakitləşdirici ortalamalar və ümumi düsturla birləşdirilir:
,
tədqiq olunan xarakteristikanın orta qiyməti haradadır;
m – orta dərəcə indeksi;
– ortalaşdırılan xarakteristikanın cari qiyməti (variantı);
n – xüsusiyyətlərin sayı.
m eksponentinin dəyərindən asılı olaraq aşağıdakı güc orta növləri fərqləndirilir:
m = -1 olduqda – harmonik orta;
m = 0-da – həndəsi orta;
m = 1 üçün – arifmetik orta;
m = 2 üçün – orta kök kvadrat;
m = 3-də - orta kub.
Eyni ilkin məlumatlardan istifadə edərkən, yuxarıdakı düsturda m eksponenti nə qədər böyük olarsa daha çox dəyər orta ölçü:
.
Gücün bu xüsusiyyətinə təyin edici funksiyanın eksponentinin artması ilə ortalamaların artması deyilir ortaların çoxluğu qaydası.
İşarələnmiş ortalamaların hər biri iki formada ola bilər: sadə Və çəkili.
Sadə orta forma ilkin (qruplaşdırılmamış) məlumatlardan orta hesablandıqda istifadə olunur. Çəkili forma– ikinci dərəcəli (qruplaşdırılmış) məlumatlar əsasında orta hesablanarkən.

Arifmetik orta

Arifmetik orta, əhalinin həcmi dəyişən bir xüsusiyyətin bütün fərdi dəyərlərinin cəmi olduqda istifadə olunur. Qeyd etmək lazımdır ki, əgər ortanın növü göstərilməyibsə, arifmetik ortalama qəbul edilir. Onun məntiqi düsturu belə görünür:

Sadə arifmetik orta hesablanmışdır qruplaşdırılmamış məlumatlara əsaslanır düstura görə:
və ya ,
xarakteristikanın fərdi dəyərləri haradadır;
j – seriya nömrəsi dəyəri ilə xarakterizə olunan müşahidə vahidi;
N – müşahidə vahidlərinin sayı (əhalisinin həcmi).
Misal.“Statistik məlumatların xülasəsi və qruplaşdırılması” adlı mühazirədə 10 nəfərlik kollektivin iş təcrübəsinin müşahidəsinin nəticələri araşdırılmışdır. Komandanın işçilərinin orta iş təcrübəsini hesablayaq. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Sadə arifmetik orta düsturdan istifadə edərək biz də hesablaya bilərik xronoloji sıralarda orta göstəricilər, xarakterik dəyərlərin təqdim olunduğu vaxt intervalları bərabərdirsə.
Misal. Həcmi satılan məhsullar birinci rüb üçün 47 den təşkil etmişdir. vahidlər, ikinci üçün 54, üçüncü üçün 65 və dördüncü üçün 58 den. vahidlər Orta rüblük dövriyyə (47+54+65+58)/4 = 56 den təşkil edir. vahidlər
Əgər ani göstəricilər xronoloji ardıcıllıqla verilirsə, orta hesablanarkən onlar dövrün əvvəlində və sonundakı dəyərlərin yarısı ilə əvəz olunur.
İkidən çox an varsa və aralarındakı intervallar bərabərdirsə, orta xronoloji düsturla orta hesablanır.

,
burada n vaxt nöqtələrinin sayıdır
Məlumatların xarakterik dəyərlərə görə qruplaşdırıldığı halda (yəni, diskret variasiya paylama seriyası qurulmuşdur) ilə arifmetik orta çəkili sayı (k) müşahidələrin sayından (N) əhəmiyyətli dərəcədə az olan xarakteristikanın xüsusi dəyərlərinin müşahidələrinin tezliklərindən və ya tezliklərindən istifadə etməklə hesablanır.
,
,
burada k variasiya seriyasının qruplarının sayıdır,
i – variasiya seriyasının qrup nömrəsi.
, a olduğundan, praktiki hesablamalar üçün istifadə olunan düsturları alırıq:
Və
Misal. Qruplaşdırılmış cərgədə iş qruplarının orta xidmət müddətini hesablayaq.
a) tezliklərdən istifadə etməklə:

b) tezliklərdən istifadə etməklə:

Məlumatların intervallarla qruplaşdırıldığı halda , yəni. aralıq paylanma sıraları şəklində təqdim olunur, orta arifmetik hesablanarkən, verilmiş intervalda əhali vahidlərinin vahid paylanması fərziyyəsinə əsaslanaraq, atributun qiyməti kimi intervalın ortası alınır; Hesablama düsturlardan istifadə etməklə aparılır:
Və
intervalın ortası haradadır: ,
burada və intervalların aşağı və yuxarı sərhədləridir (bir şərtlə ki, verilmiş intervalın yuxarı sərhəddi növbəti intervalın aşağı sərhəddi ilə üst-üstə düşsün).

Misal. 30 nəfər işçinin illik əmək haqqının öyrənilməsinin nəticələrinə əsasən qurulmuş interval variasiya seriyasının arifmetik ortasını hesablayaq (“Statistik məlumatların xülasəsi və qruplaşdırılması” mühazirəsinə bax).
Cədvəl 1 – İnterval variasiya sıralarının paylanması.

Intervallar, UAH	Tezlik, insanlar	Tezlik,	Aralığın ortası
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH və ya UAH
Mənbə məlumatları və interval dəyişmə seriyası əsasında hesablanan arifmetik vasitələr, atribut dəyərlərinin intervallar arasında qeyri-bərabər paylanması səbəbindən üst-üstə düşməyə bilər. Bu halda, çəkili arifmetik ortanın daha dəqiq hesablanması üçün intervalların ortalarından deyil, hər qrup üçün hesablanmış sadə arifmetik ortalamalardan istifadə edilməlidir ( qrup ortalamaları). Çəkili hesablama düsturundan istifadə etməklə qrup vasitələrindən hesablanan orta adlanır ümumi orta.
Arifmetik orta bir sıra xüsusiyyətlərə malikdir.
1. Orta variantdan kənarlaşmaların cəmi sıfırdır:
.
2. Əgər opsionun bütün dəyərləri A məbləği qədər artır və ya azalırsa, o zaman orta dəyər eyni məbləğdə A artır və ya azalır:

3. Əgər hər bir variant B dəfə artırılarsa və ya azalırsa, o zaman orta dəyər də eyni sayda artacaq və ya azalacaq:
və ya
4. Seçimin hasillərinin tezliklər üzrə cəmi orta qiymətin tezliklərin cəminə hasilinə bərabərdir:

5. Əgər bütün tezliklər istənilən ədədə bölünürsə və ya vurularsa, onda arifmetik orta dəyişməyəcək:

6) əgər bütün intervallarda tezliklər bir-birinə bərabərdirsə, onda çəkili arifmetik orta sadə hesab ortasına bərabərdir:
,
burada k variasiya seriyasının qruplarının sayıdır.

Orta göstəricinin xassələrindən istifadə onun hesablanmasını sadələşdirməyə imkan verir.
Fərz edək ki, bütün variantları (x) əvvəlcə eyni A ədədi, sonra isə B faktoru ilə azaldılır. Ən böyük sadələşdirmə o zaman əldə edilir ki, ən yüksək tezlikli intervalın ortasının qiyməti A, intervalın qiyməti isə (eyni intervallara malik seriyalar üçün) B seçilsin. A kəmiyyəti mənşə adlanır, ona görə də orta hesablamanın bu üsulu adlanır yol b şərti sıfırdan ohm arayışı və ya anların yolu.
Belə transformasiyadan sonra variantları --ə bərabər olan yeni variasiya paylama seriyası əldə edirik. Onların arifmetik ortası deyilir ilk sifariş anı, düsturla ifadə edilir və ikinci və üçüncü xassələrə görə arifmetik orta ilkin versiyanın ortasına bərabərdir, əvvəlcə A, sonra isə B dəfə azalır, yəni.
Qəbul etmək real orta(orijinal seriyanın ortası) birinci dərəcəli anı B-yə vurmalı və A əlavə etməlisiniz:

Momentlər metodundan istifadə etməklə orta hesabın hesablanması Cədvəldəki məlumatlar ilə təsvir edilmişdir. 2.
Cədvəl 2 – Zavod sexi işçilərinin iş stajına görə bölgüsü

İşçilərin iş stajı, illər	İşçilərin sayı	Aralığın ortası
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

İlk sifariş anını tapmaq . Sonra A = 17,5 və B = 5 olduğunu bilərək, emalatxana işçilərinin orta iş stajını hesablayırıq:
illər

Harmonik orta
Yuxarıda göstərildiyi kimi, arifmetik ortadan xarakteristikanın x variantları və onların f tezlikləri məlum olduğu hallarda onun orta qiymətini hesablamaq üçün istifadə olunur.
Əgər statistik məlumatda əhalinin fərdi x variantları üçün f tezlikləri yoxdursa, lakin onların məhsulu kimi təqdim edilirsə, düstur tətbiq edilir. ağırlıqlı harmonik orta. Ortanı hesablamaq üçün haranı işarə edək. Bu ifadələri arifmetik orta düsturla əvəz edərək, harmonik çəkili orta üçün düstur alırıq:
,
i nömrəli intervalda göstərici atribut dəyərlərinin həcmi (çəkisi) haradadır (i=1,2, …, k).

Beləliklə, harmonik orta cəmlənməyə məruz qalan variantların özləri deyil, onların qarşılıqlı olduğu hallarda istifadə olunur: .
Hər variantın çəkisi olduğu hallarda birinə bərabərdir, yəni. tərs xarakteristikanın fərdi dəyərləri bir dəfə baş verir, tətbiq olunur harmonik sadə deməkdir:
,
bir dəfə baş verən tərs xarakteristikanın fərdi variantları haradadır;
N – nömrə seçimi.
Əgər əhalinin iki hissəsi üçün harmonik ortalar varsa, onda bütün əhali üçün ümumi orta düsturla hesablanır:

və çağırılır qrup vasitələrinin çəkili harmonik ortası.

Misal. Tender zamanı valyuta mübadiləsiİşin ilk saatında üç əməliyyat bağlandı. Qrivna satışının məbləği və ABŞ dollarına nisbətdə qrivnanın məzənnəsi haqqında məlumatlar cədvəldə verilmişdir. 3 (2 və 3-cü sütunlar). Ticarətin ilk saatı üçün qrivnanın ABŞ dollarına nisbətdə orta məzənnəsini müəyyənləşdirin.
Cədvəl 3 – Xarici valyutada ticarətin gedişi haqqında məlumatlar

Dolların orta məzənnəsi bütün əməliyyatlar zamanı satılan qrivnanın məbləğinin eyni əməliyyatlar nəticəsində əldə edilmiş dollar məbləğinə nisbəti ilə müəyyən edilir. Qrivnanın satışının yekun məbləği cədvəlin 2-ci sütunundan məlum olur və hər bir əməliyyatda alınan dollarların sayı qrivnanın satışının məbləğini onun məzənnəsinə bölmək yolu ilə müəyyən edilir (4-cü sütun). Üç əməliyyat zamanı ümumilikdə 22 milyon dollar alınıb. Bu o deməkdir ki, bir dollar üçün qrivnanın orta məzənnəsi olub
.
Nəticədə alınan dəyər realdır, çünki əməliyyatlarda faktiki qrivna məzənnələrinin dəyişdirilməsi qrivnanın satışının yekun məbləğini dəyişməyəcək. müəyyənedici göstərici: milyon UAH
Hesablama üçün arifmetik orta istifadə edilsəydi, yəni. Grivnası, sonra məzənnə 22 milyon dollarlıq alış üçün. 110,66 milyon UAH xərcləmək lazım gələcəkdi, bu doğru deyil.

Həndəsi orta
Həndəsi orta göstərici hadisələrin dinamikasını təhlil etmək üçün istifadə olunur və orta artım əmsalını təyin etməyə imkan verir. Həndəsi orta hesablanarkən, xarakteristikanın fərdi dəyərləri hər səviyyənin əvvəlkinə nisbəti kimi zəncir dəyərləri şəklində qurulmuş dinamikanın nisbi göstəriciləridir.
Sadə həndəsi orta düsturla hesablanır:
,
məhsulun işarəsi haradadır,
N – orta qiymətlərin sayı.
Misal. 4 il ərzində qeydə alınmış cinayətlərin sayı 1,57 dəfə, o cümlədən 1-ci cinayətlər üzrə – 1,08 dəfə, 2-ci cinayətlər üzrə – 1,1 dəfə, 3-cü cinayətlər üzrə – 1,18 dəfə, 4-cü cinayətlər üzrə – 1,12 dəfə artmışdır. Onda cinayətlərin sayının orta illik artım tempi: , yəni. qeydə alınan cinayətlərin sayı hər il orta hesabla 12% artıb.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Orta çəkili kvadratı hesablamaq üçün müəyyən edib cədvələ daxil edirik və. Sonra məhsulların uzunluğunun verilmiş normadan orta sapması bərabərdir:

Arifmetik orta bu halda yararsız olardı, çünki nəticədə sıfır sapma əldə edərdik.
Orta kvadratın istifadəsi variasiya baxımından daha sonra müzakirə olunacaq.

Mühazirə 5. Orta qiymətlər

Statistikada orta anlayış anlayışı

Arifmetik orta və onun xassələri

Digər növ orta güc

Rejim və median

Kvartillər və desillər

Orta dəyərlər statistikada geniş istifadə olunur. Orta dəyərlər keyfiyyət göstəricilərini xarakterizə edir kommersiya fəaliyyəti: paylama xərcləri, mənfəət, gəlirlilik və s.

Orta- Bu, ümumiləşdirmə üsullarından biridir. Ortalamanın mahiyyətinin düzgün başa düşülməsi onun şəraitdə xüsusi əhəmiyyətini müəyyən edir bazar iqtisadiyyatı, fərdi və təsadüfi vasitəsilə orta bizə ümumi və zəruri müəyyən etməyə imkan verir zaman, iqtisadi inkişafın qanunauyğunluqları tendensiyasını müəyyən etmək.

Orta dəyər- bunlar hərəkətlərin ifadə olunduğu ümumi göstəricilərdir ümumi şərtlər, tədqiq olunan fenomenin qanunauyğunluqları.

Orta dəyər (statistikada) – bütün digər şeylər bərabər olmaqla, əhalinin vahidinə düşən sosial hadisələrin tipik ölçüsünü və ya səviyyəsini xarakterizə edən ümumi göstərici.

Ortalama metodundan istifadə edərək aşağıdakıları həll etmək olar: əsas vəzifələr:

1. Hadisələrin inkişaf səviyyəsinin xüsusiyyətləri.

2. İki və ya daha çox səviyyənin müqayisəsi.

3. Sosial-iqtisadi hadisələrin qarşılıqlı əlaqələrinin öyrənilməsi.

4. Sosial-iqtisadi hadisələrin kosmosda yerləşməsinin təhlili.

Statistik ortalamalar düzgün statistik şəkildə təşkil edilmiş kütləvi müşahidənin (davamlı və seçmə) kütləvi məlumatları əsasında hesablanır. Bununla belə, statistik ortalama keyfiyyətcə bircins olan əhali (kütləvi hadisələr) üçün kütləvi məlumatlardan hesablandıqda obyektiv və tipik olacaqdır. Məsələn, kooperativlərdə və dövlət müəssisələrində orta əmək haqqını hesablayırsınızsa və nəticəni bütün əhaliyə şamil edirsinizsə, onda ortalama heterojen əhali üçün hesablandığı üçün uydurmadır və belə bir ortalama bütün mənasını itirir.

Orta göstəricinin köməyi ilə ayrı-ayrı müşahidə vahidlərində bu və ya digər səbəbdən yaranan xarakteristikanın qiymətindəki fərqlər hamarlanır. Məsələn, satıcının orta məhsuldarlığı bir çox səbəblərdən asılıdır: ixtisas, iş stajı, yaş, xidmət forması, sağlamlıq və s.

Ortalamanın mahiyyəti ondan ibarətdir ki, o, təsadüfi amillərin təsiri nəticəsində əhalinin ayrı-ayrı vahidlərinin xarakterik dəyərlərindən sapmaları aradan qaldırır və əsas amillərin təsiri nəticəsində yaranan dəyişiklikləri nəzərə alır. Bu, orta göstəriciyə əlamətin tipik səviyyəsini əks etdirməyə və ayrı-ayrı vahidlərə xas olan fərdi xüsusiyyətlərdən mücərrəd olmağa imkan verir.

Orta dəyər tədqiq olunan xarakteristikanın dəyərlərinin əksidir, buna görə də bu xüsusiyyət ilə eyni ölçüdə ölçülür.

Hər bir orta qiymət hər hansı bir xüsusiyyətə görə tədqiq olunan əhalini xarakterizə edir. Bir sıra vacib xüsusiyyətlərə görə öyrənilən populyasiyanın tam və hərtərəfli başa düşülməsi üçün, ümumiyyətlə, fenomeni müxtəlif rakurslardan təsvir edə bilən orta dəyərlər sisteminə sahib olmaq lazımdır.

Fərqli ortalamalar var:

Arifmetik orta;

Həndəsi orta;

Harmonik orta;

Orta kvadrat;

Orta xronoloji.

Mövzu 3. Ortalamalar metodu

Orta ölçü statistikada bəzi dəyişən əlamətlərə görə keyfiyyətcə bircins hadisə və proseslərin ümumiləşdirilmiş xarakteristikasıdır ki, bu da əhalinin vahidinə aid olan xarakteristikanın səviyyəsini göstərir.
Orta dəyər mücərrəd, çünki əhalinin bəzi qeyri-şəxs vahidində xüsusiyyətin dəyərini xarakterizə edir.mahiyyət orta qiymət odur ki, fərdi və təsadüfi vasitəsilə ümumi və zəruri olan, yəni kütləvi hadisələrin inkişafındakı meyl və qanunauyğunluq aşkarlanır. Orta dəyərlərdə ümumiləşdirilmiş xüsusiyyətlər əhalinin bütün vahidlərinə xasdır. Buna görə orta dəyər var böyük dəyər kütləvi hadisələrə xas olan və əhalinin ayrı-ayrı vahidlərində nəzərə çarpmayan nümunələri müəyyən etmək. U.Pettidən başlayaraq orta göstəricilər statistik təhlilin əsas texnikası hesab edilməyə başlandı.

Ümumi prinsiplər orta qiymətlərin tətbiqi:

1) orta dəyərin hesablandığı əhali vahidinin ağlabatan seçimi zəruridir;

2) orta qiymət müəyyən edilərkən, ortalaşdırılan xarakteristikanın keyfiyyət məzmunundan çıxış etmək, öyrənilən xüsusiyyətlərin əlaqəsini, habelə hesablama üçün mövcud olan məlumatları nəzərə almaq lazımdır;

3) orta dəyərlər ümumiləşdirici göstəricilər sisteminin hesablanmasını nəzərdə tutan qruplaşdırma üsulu ilə əldə edilən keyfiyyətcə homojen populyasiyalar əsasında hesablanmalıdır;

4) ümumi ortalamalar qrup ortalamaları ilə dəstəklənməlidir.

Statistikada ilkin məlumatların xarakterindən, tətbiq dairəsindən və hesablama metodundan asılı olaraq aşağıdakılar fərqləndirilir: mühitin əsas növləri:

1) orta güc(orta arifmetik, harmonik, həndəsi, orta kvadrat və kub);

2) struktur (parametrik olmayan) vasitələr(rejim və median).

Statistikada tədqiq olunan əhalinin hər bir fərdi halda dəyişən xarakteristikaya görə düzgün səciyyələndirilməsi yalnız çox spesifik orta növü ilə təmin edilir. Müəyyən bir halda hansı növ ortanın tətbiq edilməsinə ehtiyac olduğu məsələsi tədqiq olunan populyasiyanın konkret təhlili yolu ilə həll edilir, həmçinin nəticələrin cəmlənməsi və ya ölçülməsi zamanı mənalılıq prinsipinə əsaslanır. Bu və digər prinsiplər statistikada ifadə olunur ortalar nəzəriyyəsi.

Məsələn, öyrənilən populyasiyada dəyişən xarakteristikanın orta qiymətini xarakterizə etmək üçün orta hesab və harmonik ortadan istifadə olunur. Həndəsi ortadan yalnız dinamikanın orta dərəcələri hesablanarkən, kvadrat orta isə yalnız variasiya indekslərinin hesablanması zamanı istifadə olunur.

Orta dəyərlərin hesablanması üçün düsturlar Cədvəl 3.1-də təqdim olunur.

Cədvəl 3.1 – Orta qiymətlərin hesablanması üçün düsturlar

Ortalamaların növləri	Hesablama düsturları
sadə	çəkili
1. Arifmetik orta
2. Harmonik orta
3. Həndəsi orta
4. Orta kvadrat

Təyinatlar:- orta hesablanan kəmiyyətlər; - orta, yuxarıdakı sətir fərdi dəyərlərin orta hesablanmasının baş verdiyini göstərir; - tezlik (xarakteristikanın fərdi dəyərlərinin təkrarlanması).

Aydındır ki, müxtəlif ortalamalar əldə edilir ümumi formula orta güc (3.1):

, (3.1)

k = + 1 olduqda - arifmetik orta; k = -1 - harmonik orta; k = 0 - həndəsi orta; k = +2 - kök orta kvadrat.

Orta dəyərlər sadə və ya çəkili ola bilər. Çəkili ortalar atribut dəyərlərinin bəzi variantlarının fərqli nömrələrə malik ola biləcəyini nəzərə alan dəyərlər çağırılır; bu baxımdan hər bir variant bu rəqəmə vurulmalıdır. “Tərəzi” məcmu vahidlərin nömrələridir müxtəlif qruplar, yəni. Hər bir seçim tezliyi ilə "çəkili" olur. Tezliyə f deyilir statistik çəki və ya orta çəki.

Əgər keyfiyyətcə homojen xüsusiyyətlərə malik olan populyasiya öyrənilirsə, onda orta qiymət burada tipik orta. Məsələn, müəyyən bir sənayedə sabit gəlir səviyyəsinə malik işçi qrupları üçün əsas ehtiyaclar üçün tipik orta xərclər müəyyən edilir.

Keyfiyyətcə heterojen xüsusiyyətlərə malik olan populyasiyanı öyrənərkən orta göstəricilərin atipikliyi ön plana çıxa bilər. Bunlar, məsələn, adambaşına istehsal olunan milli gəlirin orta göstəriciləridir (müxtəlif yaş qrupları). Orta qiymətlər xüsusiyyətlərin və ya sistemli məkan aqreqatlarının (beynəlxalq icma, qitə, dövlət, region, region və s.) və ya zamanla uzadılmış dinamik aqreqatların (əsr, onillik, il, mövsüm və s.) keyfiyyətcə heterojen dəyərlərini ümumiləşdirir. ). Belə orta dəyərlər deyilir sistem ortalamaları.

Sonda düzgün seçim orta ölçü aşağıdakı ardıcıllığı qəbul edir:

a) əhalinin ümumi göstəricisinin müəyyən edilməsi;

b) verilmiş ümumi göstərici üzrə kəmiyyətlərin riyazi əlaqəsinin təyini;

c) fərdi dəyərlərin orta qiymətlərlə əvəz edilməsi;

d) müvafiq tənlikdən istifadə etməklə ortanın hesablanması.

3.2 Arifmetik orta və onun xassələri və hesablama üsulları. Harmonik orta

Arifmetik orta– orta ölçülü ən çox yayılmış növü; orta göstəricinin həcminin tədqiq olunan statistik əhalinin ayrı-ayrı vahidləri üçün qiymətlərinin cəmi kimi formalaşdığı hallarda hesablanır.

Ən vacib xüsusiyyətlər arifmetik orta :

1. Tezliklərin cəminə görə ortanın hasili həmişə tezliklər üzrə variantların (fərdi qiymətlərin) hasillərinin cəminə bərabərdir.

2. Əgər hər bir variantdan hər hansı ixtiyari ədədi çıxarsanız (əlavə etsəniz), onda yeni orta eyni sayda azalacaq (artır).

3. Əgər hər bir variant hansısa ixtiyari ədədə vurularsa (bölünsə), onda yeni orta eyni məbləğdə artacaq (azalacaq)

4. Əgər bütün tezliklər (çəkilər) istənilən ədədə bölünürsə və ya vurularsa, onda orta hesab dəyişməyəcək.

5. Ayrı-ayrı variantların arifmetik ortadan kənara çıxmalarının cəmi həmişə sıfırdır.

Atributun bütün dəyərlərindən ixtiyari bir sabit dəyəri çıxara bilərsiniz (tercihen orta variantın dəyəri və ya ən yüksək tezlikli seçimlər) və nəticədə yaranan fərqləri azalda bilərsiniz. ümumi çarpan(intervalın dəyəri ilə daha yaxşı) və tezlikləri xüsusi olaraq ifadə edin (faizlə) və hesablanmış ortanı ümumi əmsala vurun və ixtiyari sabit qiymət əlavə edin.
Arifmetik ortanın hesablanmasının bu üsulu deyilir şərti sıfırdan hesablama üsulu.

Harmonik orta tərs arifmetik orta adlanır, çünki bu qiymət k = -1-də alınır. Sadə harmonik orta xarakterik dəyərlərin çəkiləri eyni olduqda istifadə olunur. Məsələn, hesablamaq lazımdır orta sürət eyni marşrutla getmiş iki avtomobil, lakin müxtəlif sürətlərdə: birinci - 100 km/saat sürətlə, ikinci - 90 km/saat. Harmonik orta metoddan istifadə edərək orta sürəti hesablayırıq:

Statistik praktikada daha çox istifadə olunur ağırlıqlı harmonik orta – hər bir xarakteristika üçün çəkilərin (və ya hadisələrin həcmlərinin) bərabər olmadığı və ortanın hesablanması üçün ilkin nisbətdə payın məlum olduğu, lakin məxrəcinin məlum olmadığı hallar üçün.

Məsələn, orta qiyməti hesablayarkən satış məbləğinin satılan vahidlərin sayına nisbətindən istifadə etməliyik. Satılan ədədlərin sayını bilmirik (söhbət müxtəlif məhsullardan gedir), lakin bu müxtəlif məhsulların satış məbləğlərini bilirik. Tutaq ki, satılan malların orta qiymətini tapmaq lazımdır (cədvəl 3.2).

Cədvəl 3.2 – İlkin məlumatlar

Biz əldə edirik:

Burada arifmetik orta düsturdan istifadə etsəniz, real olmayan orta qiymət əldə edə bilərsiniz:

Əgər orta qiyməti çəkiyə görə hesablayarkən malların sayını götürsək, onda düzgün nəticə arifmetik çəkili orta düsturla verilir. Partiyaların dəyərini çəki kimi istifadə etsək, onda harmonik orta düzgün nəticə verir.
Yəni, ortaHarmonik ortalamanın xüsusi bir növü deyil, arifmetik ortalamanın hesablanması üçün xüsusi bir üsuldur. Statistikada harmonik ortanı ayrı bir orta növü kimi ayırmaq adətdir, çünki onun köməyi ilə arifmetik ortanın hesablanması texnikası sadələşdirilə və ən əsası, mövcud statistik materialın xarakteri nəzərə alına bilər.

Ortanın formasının (arifmetik və ya harmonik) seçilmə düzgünlüyü də yoxlanıla bilər əlavə meyar: tərəzi olarsa mütləq dəyərlər, orta hesablanarkən hər hansı aralıq hərəkətlər əhəmiyyətli göstəricilər verməlidir. Məsələn, orta qiyməti hesablamaq üçün qiyməti malların sayına vuraraq onların dəyərini əldə edin. Malların dəyərini onların qiymətlərinə bölmək isə malların miqdarını verir.

Statistikada harmonik ortadan istifadə etməklə, planın icrasının orta faizi (planın faktiki icrasına əsasən), əməliyyatların yerinə yetirilməsinə sərf olunan orta vaxt (bir əməliyyata sərf olunan orta vaxt və ümumi iş vaxtı əsasında) müəyyən edilir. fərdi işçilər) və s.

Həndəsi orta xarakteristikanın fərdi dəyərləri nisbi dəyərlər şəklində təqdim edildikdə, orta artım templərinin (orta artım əmsallarının) müəyyən edilməsində tətbiqini tapır. Xarakteristikanın minimum və maksimum dəyərləri arasında (məsələn, 100 ilə 1000000 arasında) ortalama tapmaq lazım olduqda da istifadə olunur.

Orta kvadrat aqreqatdakı xarakteristikanın dəyişməsini ölçmək üçün istifadə olunur (standart kənarlaşmanın hesablanması).

Statistikada etibarlıdır Ortaların əksəriyyətinin qaydası:

X zərər.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.