Equazioni con x. Come risolvere le equazioni con le frazioni
Radice dell'equazione
Quando risolviamo qualsiasi equazione, cerchiamo di trovare un valore per una variabile (solitamente x) in corrispondenza del quale il lato sinistro dell'equazione diventa uguale al lato destro. Questo valore verrà chiamato (da non confondere con: sono concetti diversi!)
Così,
Radice dell'equazione esiste un numero tale che, se sostituito nell'equazione al posto di \(x\), i risultati sono gli stessi a destra e a sinistra del segno di uguale. E trovare tutti questi numeri (o mostrare che non esistono) significa risolvere l'equazione.
Risolvendo, ad esempio, l'equazione \(2x+1=x+4\), troviamo la risposta: \(x=3\). E se sostituiamo questo numero invece di X, otteniamo gli stessi valori a sinistra e a destra:
\(2x+1=x+4\)
\(2\cpunto3+1=3+4\)
\(7=7\)
E nessun altro numero tranne tre ci darà tale uguaglianza. Ciò significa che il numero \(3\) è l'unica radice dell'equazione.
Ancora una volta: la radice NON è X! X è una variabile, UN la radice è un numero, che trasforma l'equazione in una vera uguaglianza (nell'esempio sopra, un tre). E quando risolviamo le equazioni lo facciamo numero sconosciuto(o numeri) che stiamo cercando.
Come risolvere le equazioni?
Per trovare le radici di un'equazione, utilizzare . Il punto è dopo le trasformazioni, ottenere un'equazione più semplice che abbia le stesse radici(cioè equivalente all'originale).
\(2-2x=23-5x\)
\(-2x+5x=23-2\)
\(3x=21\)
\(x=7\)
Risposta : \(7\)
Tieni presente che ad ogni passaggio l'equazione diventa più semplice: se nell'equazione originale è difficile capire che la radice sarà il numero \(7\), allora in \(3x=21\) (e ancora di più in \ (x=7\) ) questo è ovvio. Ma allo stesso tempo, sette è la radice di una qualsiasi delle equazioni ottenute nel processo di trasformazione e non ci sono altre radici in esse.
A proposito, nota che anche \(x=7\) è un'equazione. È solo che la radice è ovvia, quindi la maggior parte degli studenti non percepisce nemmeno questa voce come un'equazione, pensando che sia così che viene scritta la risposta. No, no, no, anche \(x=7\) è un'equazione completamente completa, solo molto semplice. E la risposta (cioè la radice) è semplicemente il numero \(7\).
L'ODZ è una trappola pericolosa
In alcuni tipi di equazioni (, irrazionali e anche con tangente o cotangente), oltre a risolvere l'equazione stessa, è necessario tener conto anche di ().
Esempio
: Trova le radici dell'equazione \(\sqrt(4x+5)=x\)
Soluzione
:
\(\quadrato(4x+5)=x\) |
Quadratiamo i lati destro e sinistro |
|
Sposta \(x^2\) a sinistra, cambiando il segno davanti ad esso |
||
Moltiplicare l'equazione per \(-1\) |
||
Analizziamo due tipi di soluzioni ai sistemi di equazioni:
1. Risolvere il sistema utilizzando il metodo di sostituzione.
2. Risolvere il sistema mediante addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema.
Per risolvere il sistema di equazioni con il metodo di sostituzione devi seguire un semplice algoritmo:
1. Esprimere. Da qualsiasi equazione esprimiamo una variabile.
2. Sostituto. Sostituiamo il valore risultante in un'altra equazione invece della variabile espressa.
3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile. Troviamo una soluzione al sistema.
Per decidere sistema mediante il metodo di addizione (sottrazione) termine per termineè necessario:
1. Seleziona una variabile per la quale creeremo coefficienti identici.
2. Aggiungiamo o sottraiamo equazioni, ottenendo un'equazione con una variabile.
3. Risolvi l'equazione lineare risultante. Troviamo una soluzione al sistema.
La soluzione del sistema sono i punti di intersezione dei grafici delle funzioni.
Consideriamo in dettaglio la soluzione dei sistemi utilizzando esempi.
Esempio n. 1:
Risolviamo con il metodo di sostituzione
Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione2x+5y=1 (1 equazione)
x-10y=3 (2a equazione)
1. Esprimere
Si può vedere che nella seconda equazione c'è una variabile x con un coefficiente pari a 1, il che significa che è più semplice esprimere la variabile x dalla seconda equazione.
x=3+10y
2.Dopo averlo espresso, sostituiamo 3+10y nella prima equazione al posto della variabile x.
2(3+10a)+5a=1
3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile.
2(3+10y)+5y=1 (aprire le parentesi)
6+20a+5a=1
25 anni=1-6
25a=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
La soluzione del sistema di equazioni sono i punti di intersezione dei grafici, quindi dobbiamo trovare xey, perché il punto di intersezione è costituito da xey. Troviamo x, nel primo punto in cui l'abbiamo espresso, lì sostituiamo y .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
È consuetudine scrivere i punti, in primo luogo scriviamo la variabile x e in secondo luogo la variabile y.
Risposta: (1; -0,2)
Esempio n.2:
Risolviamo utilizzando il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine.
Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo dell'addizione3x-2y=1 (1 equazione)
2x-3y=-10 (2a equazione)
1. Scegliamo una variabile, diciamo che scegliamo x. Nella prima equazione, la variabile x ha un coefficiente di 3, nella seconda - 2. Dobbiamo rendere uguali i coefficienti, per questo abbiamo il diritto di moltiplicare le equazioni o dividerle per qualsiasi numero. Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 3 e otteniamo coefficiente complessivo 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Sottrai il secondo dalla prima equazione per eliminare la variabile x.
__6x-4y=2
5a=32 | :5
y=6,4
3. Trova x. Sostituiamo la y trovata in una qualsiasi delle equazioni, diciamo nella prima equazione.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Il punto di intersezione sarà x=4.6; y=6,4
Risposta: (4.6; 6.4)
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Equazioni lineari. Soluzione, esempi.
Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “moltissimo…”)
Equazioni lineari.
Le equazioni lineari non sono l'argomento più difficile nella matematica scolastica. Ma ci sono alcuni trucchi che possono lasciare perplessi anche uno studente esperto. Scopriamolo?)
Tipicamente un'equazione lineare è definita come un'equazione della forma:
ascia + B = 0 Dove aeb– qualsiasi numero.
2x + 7 = 0. Ecco un=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Qui a=0,1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Qui un=12, b=1/2
Niente di complicato, vero? Soprattutto se non noti le parole: "dove aeb sono numeri qualsiasi"... E se te ne accorgi e ci pensi con noncuranza?) Dopotutto, se un=0, b=0(qualche numero è possibile?), quindi otteniamo un'espressione divertente:
Ma non è tutto! Se, diciamo, un=0, UN b=5, Questo risulta essere qualcosa di completamente fuori dall'ordinario:
Il che dà fastidio e mina la fiducia nella matematica, sì...) Soprattutto durante gli esami. Ma tra queste strane espressioni bisogna trovare anche X! Che non esiste affatto. E, sorprendentemente, questa X è molto facile da trovare. Impareremo a farlo. In questa lezione.
Come riconoscere un'equazione lineare dal suo aspetto? Dipende cosa aspetto.) Il trucco è che non solo le equazioni della forma sono chiamate equazioni lineari ascia + B = 0 , ma anche eventuali equazioni che possono essere ridotte a questa forma mediante trasformazioni e semplificazioni. E chissà se scenderà o no?)
In alcuni casi è possibile riconoscere chiaramente un'equazione lineare. Diciamo se abbiamo un'equazione in cui ci sono solo incognite di primo grado e numeri. E nell'equazione non c'è no frazioni divise per sconosciuto , questo è importante! E divisione per numero, o una frazione numerica: è il benvenuto! Per esempio:
Questa è un'equazione lineare. Ci sono frazioni qui, ma non ci sono x nel quadrato, nel cubo, ecc., e non ci sono x nei denominatori, cioè NO divisione per x. Ed ecco l'equazione
non può essere definito lineare. Qui le X sono tutte di primo grado, ma ci sono divisione per espressione con x. Dopo semplificazioni e trasformazioni, puoi ottenere un'equazione lineare, un'equazione quadratica o qualsiasi cosa tu voglia.
Si scopre che è impossibile riconoscere l'equazione lineare in qualche esempio complicato finché non la risolvi quasi. Questo è sconvolgente. Ma nei compiti, di regola, non chiedono la forma dell'equazione, giusto? I compiti richiedono equazioni decidere. Questo mi rende felice.)
Risoluzione di equazioni lineari. Esempi.
L'intera soluzione delle equazioni lineari consiste in trasformazioni identiche delle equazioni. A proposito, queste trasformazioni (due!) sono la base delle soluzioni tutte le equazioni della matematica. In altre parole, la soluzione Qualunque l'equazione inizia proprio con queste trasformazioni. Nel caso delle equazioni lineari, essa (la soluzione) si basa su queste trasformazioni e termina con una risposta completa. Ha senso seguire il collegamento, giusto?) Inoltre, ci sono anche esempi di risoluzione di equazioni lineari.
Per prima cosa, diamo un'occhiata all'esempio più semplice. Senza alcuna trappola. Supponiamo di dover risolvere questa equazione.
x-3 = 2-4x
Questa è un'equazione lineare. Le X sono tutte alla prima potenza, non c'è divisione per X. Ma, in realtà, non ci importa di che tipo di equazione si tratti. Dobbiamo risolverlo. Lo schema qui è semplice. Raccogli tutto ciò che contiene X sul lato sinistro dell'equazione, tutto ciò che non contiene X (numeri) sul lato destro.
Per fare questo è necessario trasferire - 4x verso sinistra, ovviamente con cambio di segno, e - 3 - A destra. A proposito, questo è la prima trasformazione identica di equazioni. Sorpreso? Ciò significa che non hai seguito il collegamento, ma invano...) Otteniamo:
x+4x = 2+3
Eccone alcuni simili, consideriamo:
Di cosa abbiamo bisogno per essere completamente felici? Sì, in modo che ci sia una X pura a sinistra! Il cinque è d'intralcio. Sbarazzarsi dei cinque con l'aiuto la seconda trasformazione identica delle equazioni. Vale a dire, dividiamo entrambi i lati dell'equazione per 5. Otteniamo una risposta pronta:
Un esempio elementare, ovviamente. Questo serve per il riscaldamento.) Non è molto chiaro il motivo per cui ho ricordato trasformazioni identiche qui? OK. Prendiamo il toro per le corna.) Decidiamo qualcosa di più solido.
Ad esempio, ecco l'equazione:
Da dove cominciamo? Con le X - a sinistra, senza X - a destra? E' possibile. A piccoli passi lunga strada. Oppure puoi farlo subito, in modo universale e potente. Se, ovviamente, hai trasformazioni identiche di equazioni nel tuo arsenale.
Ti faccio una domanda fondamentale: Cosa non ti piace di più di questa equazione?
95 persone su 100 risponderanno: frazioni ! La risposta è corretta. Quindi liberiamocene. Pertanto, iniziamo immediatamente con Seconda trasformazione dell'identità. Per cosa devi moltiplicare la frazione a sinistra in modo che il denominatore sia completamente ridotto? Esatto, a 3. E a destra? Per 4. Ma la matematica ci permette di moltiplicare entrambi i membri per lo stesso numero. Come possiamo uscire? Moltiplichiamo entrambi i lati per 12! Quelli. ad un denominatore comune. Allora sia i tre che i quattro verranno ridotti. Non dimenticare che devi moltiplicare ogni parte interamente. Ecco come si presenta il primo passaggio:
Espansione delle parentesi:
Fai attenzione! Numeratore (x+2) Lo metto tra parentesi! Questo perché quando si moltiplicano le frazioni, viene moltiplicato l'intero numeratore! Ora puoi ridurre le frazioni:
Espandi le parentesi rimanenti:
Non un esempio, ma puro piacere!) Ora ricordiamo l'incantesimo di classi giovanili: con una X - a sinistra, senza X - a destra! E applica questa trasformazione:
Eccone alcuni simili:
E dividi entrambe le parti per 25, cioè applicare nuovamente la seconda trasformazione:
Questo è tutto. Risposta: X=0,16
Nota: per riportare la confusa equazione originale in una forma gradevole, ne abbiamo usati due (solo due!) trasformazioni identitarie– traslazione sinistra-destra con cambio di segno e moltiplicazione-divisione di un'equazione per lo stesso numero. Questo è un metodo universale! Lavoreremo in questo modo con Qualunque equazioni! Assolutamente chiunque. Ecco perché ripeto continuamente queste identiche trasformazioni.)
Come puoi vedere, il principio per risolvere le equazioni lineari è semplice. Prendiamo l'equazione e la semplifichiamo utilizzando trasformazioni identiche finché non otteniamo la risposta. I problemi principali qui sono nei calcoli, non nel principio della soluzione.
Ma... Ci sono tali sorprese nel processo di risoluzione delle equazioni lineari più elementari che possono portarti in un forte torpore...) Fortunatamente, possono esserci solo due di queste sorprese. Chiamiamoli casi speciali.
Casi particolari nella risoluzione di equazioni lineari.
Prima sorpresa.
Supponiamo di imbatterti in un'equazione molto semplice, qualcosa del tipo:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Leggermente annoiati, lo spostiamo con una X a sinistra, senza X - a destra... Con un cambio di segno, tutto è perfetto... Otteniamo:
2x-5x+3x=5-2-3
Contiamo e... ops!!! Otteniamo:
Questa uguaglianza di per sé non è discutibile. Zero è davvero zero. Ma manca X! E dobbiamo scrivere nella risposta, a cosa è uguale x? Altrimenti la soluzione non conta, vero...) Deadlock?
Calma! In questi casi dubbi, le regole più generali ti salveranno. Come risolvere le equazioni? Cosa significa risolvere un'equazione? Ciò significa, troviamo tutti i valori di x che, sostituiti nell'equazione originale, ci daranno l'uguaglianza corretta.
Ma abbiamo una vera uguaglianza Già ha funzionato! 0=0, quanto è più preciso?! Resta da capire a cosa succede x. In quali valori di X possono essere sostituiti originale equazione se queste x saranno comunque ridotti a zero? Dai?)
SÌ!!! Le X possono essere sostituite Qualunque! Quali vuoi? Almeno 5, almeno 0,05, almeno -220. Si ridurranno ancora. Se non mi credi, puoi verificarlo.) Sostituisci qualsiasi valore di X in originale equazione e calcolare. Otterrai sempre la pura verità: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 e così via.
Ecco la tua risposta: x - qualsiasi numero.
La risposta può essere scritta con diversi simboli matematici, l'essenza non cambia. Questa è una risposta completamente corretta e completa.
Seconda sorpresa.
Prendiamo la stessa equazione lineare elementare e cambiamo solo un numero al suo interno. Questo è ciò che decideremo:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Dopo le stesse identiche trasformazioni, otteniamo qualcosa di intrigante:
Così. Abbiamo risolto un'equazione lineare e abbiamo ottenuto una strana uguaglianza. In termini matematici, abbiamo ottenuto falsa uguaglianza. E parlando in un linguaggio semplice, questo non è vero. Rave. Tuttavia, questa assurdità è un'ottima ragione per la decisione giusta equazioni.)
Ancora una volta pensiamo in base a regole generali. Ciò che x, una volta sostituito nell'equazione originale, ci darà VERO uguaglianza? Sì, nessuno! Non esistono tali X. Non importa cosa inserisci, tutto sarà ridotto, rimarranno solo sciocchezze.)
Ecco la tua risposta: non ci sono soluzioni.
Anche questa è una risposta completamente completa. In matematica, tali risposte si trovano spesso.
Così. Ora, spero che la scomparsa delle X nel processo di risoluzione di qualsiasi equazione (non solo lineare) non ti confonda affatto. Questa è già una questione familiare.)
Ora che abbiamo affrontato tutte le insidie equazioni lineari, ha senso risolverli.
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