EntrataFormule matematiche 6. Formule matematiche di base
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Il matematico Henri Poincaré scrive nel suo libro Scienza e metodo: “Se la natura non fosse bella, non varrebbe la pena di conoscerla, non varrebbe la pena di vivere la vita. Non sto parlando, ovviamente, della bellezza che cattura lo sguardo... intendo quella bellezza più profonda che si rivela nell'armonia delle parti, che è compresa solo dalla mente. È lei che crea il terreno, crea la cornice per il gioco dei colori visibili che accarezzano i nostri sensi, e senza questo supporto la bellezza delle impressioni fugaci sarebbe imperfetta, come ogni cosa indistinta e transitoria. Al contrario, la bellezza intellettuale dà soddisfazione in sé”.
P.A.M. Dirac ha scritto: “La fisica teorica ha un altro percorso corretto di sviluppo. La natura ha quella caratteristica fondamentale che le leggi fisiche più basilari sono descritte da una teoria matematica, il cui apparato ha un potere e una bellezza straordinari. Per comprendere questa teoria, è necessario avere una qualifica matematica insolitamente alta. Puoi chiederti: perché la natura è strutturata in questo modo C’è solo una risposta a questa domanda: secondo la nostra conoscenza moderna, la natura è strutturata in questo modo e non altrimenti”.
Sette anni fa, la fisica (e artista) ucraina Natalia Kondratieva ha posto ad alcuni dei matematici più importanti del mondo la domanda: "Quali tre formule matematiche pensate siano le più belle?"
Alla conversazione sulla bellezza delle formule matematiche hanno partecipato Sir Michael Atiyah e David Elvarsi dalla Gran Bretagna, Yakov Sinai e Alexander Kirillov dagli Stati Uniti, Friedrich Herzebruch e Yuri Manin dalla Germania, David Ruel dalla Francia, Anatoly Vershik e Robert Minlos dalla Russia e altri matematici da diversi paesi. Tra gli ucraini hanno preso parte alla discussione gli accademici della NASU Vladimir Korolyuk e Anatoly Skorokhod. Alcuni dei materiali così ottenuti hanno costituito la base per il libro pubblicato da Natalya Kondratyeva. lavoro scientifico"Le tre formule matematiche più belle."
— Quale obiettivo ti sei prefissato quando ti sei rivolto ai matematici con una domanda sull'argomento bellissime formule?
— Ogni nuovo secolo porta con sé un rinnovamento del paradigma scientifico. All'inizio del secolo, con la sensazione di trovarci sulla soglia di una nuova scienza, del suo nuovo ruolo nella vita società umana, mi sono rivolto ai matematici con una domanda sulla bellezza delle idee dietro i simboli matematici, ad es. sulla bellezza delle formule matematiche.
Già adesso possiamo notare alcune caratteristiche della nuova scienza. Se nella scienza del Novecento c'è molto ruolo importante giocato dall’“amicizia” della matematica con la fisica, ora la matematica coopera effettivamente con la biologia, la genetica, la sociologia, l’economia... Di conseguenza, la scienza esplorerà le corrispondenze. Le strutture matematiche esploreranno le corrispondenze tra le interazioni di elementi di aree e piani diversi. E molto di ciò che prima consideravamo la fede come affermazioni filosofiche sarà confermato dalla scienza come conoscenza concreta.
Questo processo ebbe inizio già nel XX secolo. Pertanto, Kolmogorov ha dimostrato matematicamente che non esiste alcuna possibilità, ma esiste una complessità molto grande. La geometria frattale ha confermato il principio dell'unità nella diversità, ecc.
— Quali formule sono state definite le più belle?
— Dirò subito che non c'era l'obiettivo di organizzare un concorso per formule. Nella mia lettera ai matematici ho scritto: “Le persone che vogliono capire quali leggi governano il mondo intraprendono la strada per trovare l’armonia del mondo. Questo percorso va all'infinito (perché il movimento è eterno), ma le persone continuano a seguirlo, perché... c'è una gioia speciale nell'incontrare un'altra idea o idea. Dalle risposte alla domanda sulle formule belle potrebbe essere possibile sintetizzare un nuovo aspetto della bellezza del mondo. Inoltre, questo lavoro potrebbe essere utile ai futuri scienziati come idea sulla grande armonia del mondo e la matematica come un modo per trovare questa bellezza”.
Tuttavia, tra le formule c'erano chiaramente le preferite: la formula pitagorica e la formula di Eulero.
A seguirli furono le formule fisiche piuttosto che matematiche che nel XX secolo cambiarono la nostra comprensione del mondo: Maxwell, Schrödinger, Einstein.
Tra le più belle c'erano anche formule ancora in fase di discussione, come ad esempio le equazioni del vuoto fisico. Sono state menzionate anche altre bellissime formule matematiche.
— Perché secondo te, a cavallo tra il secondo e il terzo millennio, la formula pitagorica fu definita una delle più belle?
— Ai tempi di Pitagora, questa formula era percepita come espressione del principio dell'evoluzione cosmica: due principi opposti (due quadrati che si toccano ortogonalmente) generano un terzo, pari alla loro somma. Si possono dare interpretazioni geometricamente molto belle.
Forse c'è una sorta di memoria genetica subconscia di quei tempi in cui il concetto di "matematica" significava "scienza" e l'aritmetica, la pittura, la musica e la filosofia venivano studiate in sintesi.
Rafail Khasminsky scrisse nella sua lettera che a scuola rimase stupito dalla bellezza della formula pitagorica e che ciò determinò in gran parte il suo destino di matematico.
— Cosa puoi dire della formula di Eulero?
— Alcuni matematici hanno attirato l’attenzione sul fatto che in esso “tutti si riunivano”, cioè tutto meraviglioso numeri matematici, e uno è irto di infinito! - questo ha un profondo significato filosofico.
Non c'è da stupirsi che Eulero abbia scoperto questa formula. Il grande matematico ha fatto molto per introdurre la bellezza nella scienza; ha introdotto anche nella matematica il concetto di “grado di bellezza”. Più precisamente, introdusse questo concetto nella teoria musicale, che considerava parte della matematica.
Eulero credeva che il senso estetico potesse essere sviluppato e che questo sentimento fosse necessario per uno scienziato.
Mi riferirò alle autorità... Grothendieck: “Comprendere una cosa particolare in matematica è tanto perfetto quanto è possibile percepirne la bellezza”.
Poincaré: “In matematica c’è il sentimento”. Ha paragonato il sentimento estetico in matematica a un filtro che, tra molte soluzioni possibili, seleziona quella più armoniosa, che, di regola, è quella corretta. Bellezza e armonia sono sinonimi, e manifestazione più alta l’armonia è la legge mondiale dell’Equilibrio. La matematica esplora questa legge su diversi piani di esistenza e sotto diversi aspetti. Non per niente ogni formula matematica contiene un segno di uguale.
Penso che la più alta armonia umana sia l'armonia del pensiero e del sentimento. Forse è per questo che Einstein diceva che lo scrittore Dostoevskij gli aveva dato più del matematico Gauss.
Ho preso la formula di Dostoevskij “La bellezza salverà il mondo” come epigrafe al mio lavoro sulla bellezza in matematica. Ed è stato discusso anche dai matematici.
- E loro erano d'accordo con questa affermazione?
— I matematici non hanno né confermato né smentito questa affermazione. Lo hanno chiarito: “La consapevolezza della bellezza salverà il mondo”. Qui ho subito ricordato il lavoro di Eugene Wigner sul ruolo della coscienza nelle misurazioni quantistiche, scritto da lui quasi cinquant'anni fa. In questo lavoro, Wigner ha dimostrato che la coscienza umana influenza ambiente, cioè che non solo riceviamo informazioni dall'esterno, ma inviamo anche i nostri pensieri e sentimenti in risposta. Questo lavoro è ancora attuale e ha sia i suoi sostenitori che i suoi oppositori. Spero davvero che nel 21° secolo la scienza dimostri che la consapevolezza della bellezza contribuisce all'armonizzazione del nostro mondo.
1. Formula di Eulero. Molti hanno visto in questa formula un simbolo dell'unità di tutta la matematica, poiché in essa "-1 rappresenta l'aritmetica, i - l'algebra, π - la geometria ed e - l'analisi".
2. Questa semplice uguaglianza mostra che il valore 0,999 (e così via all'infinito) è equivalente a uno. Molte persone non credono che ciò possa essere vero, sebbene esistano alcune prove basate sulla teoria dei limiti. Tuttavia, l’uguaglianza mostra il principio dell’infinito. 
3. Questa equazione è stata formulata da Einstein come parte di un'idea innovativa teoria generale relatività nel 1915. Il lato destro di questa equazione descrive l'energia contenuta nel nostro Universo (inclusa "l'energia oscura"). Il lato sinistro descrive la geometria dello spaziotempo. L'uguaglianza riflette il fatto che nella teoria generale della relatività di Einstein, massa ed energia determinano la geometria e, allo stesso tempo, la curvatura, che è una manifestazione della gravità. Einstein disse che il lato sinistro delle equazioni della gravità nella teoria della relatività generale, contenente il campo gravitazionale, è bello e come scolpito nel marmo, mentre il lato destro delle equazioni, che descrive la materia, è ancora brutto, come se fatto di legno normale. 
4. Un'altra teoria dominante della fisica, il Modello Standard, descrive le interazioni elettromagnetiche, deboli e forti di tutti particelle elementari. Alcuni fisici ritengono che rifletta tutti i processi che si verificano nell'Universo, ad eccezione della materia oscura, dell'energia oscura e non includa la gravità. Anche il bosone di Higgs, sfuggente fino allo scorso anno, rientra nel Modello Standard, sebbene non tutti gli esperti siano sicuri della sua esistenza. 
5. Il teorema di Pitagora è uno dei teoremi fondamentali della geometria euclidea, che stabilisce la relazione tra i lati triangolo rettangolo. Lo ricordiamo da scuola e crediamo che l'autore del teorema sia Pitagora. In effetti, questa formula veniva utilizzata nell'antico Egitto durante la costruzione delle piramidi. 
6. Teorema di Eulero. Questo teorema gettò le basi per una nuova branca della matematica: la topologia. L'equazione stabilisce la relazione tra il numero di vertici, bordi e facce dei poliedri topologicamente equivalenti a una sfera. 
7. Teoria speciale la relatività descrive il movimento, le leggi della meccanica e le relazioni spazio-temporali a velocità di movimento arbitrarie inferiori alla velocità della luce nel vuoto, comprese quelle vicine alla velocità della luce. Einstein compose una formula che descrive come il tempo e lo spazio non siano concetti assoluti, ma piuttosto relativi a seconda della velocità dell'osservatore. L'equazione mostra come il tempo si dilata o rallenta a seconda di come e dove si muove una persona. 
8. L'equazione fu derivata nel 1750 da Eulero e Lagrange mentre risolvevano il problema dell'isocrona. Si tratta del problema di determinare la curva che porta una particella pesante ad un punto fisso in un tempo fisso, indipendentemente dal punto di partenza. IN in termini generali, se il tuo sistema ha simmetria, esiste una corrispondente legge di conservazione della simmetria. 
9. Equazione di Callan-Symanzik. È un'equazione differenziale che descrive l'evoluzione della funzione di correlazione n man mano che la scala di energia alla quale è definita la teoria cambia e include le funzioni beta della teoria e le dimensioni anomale. Questa equazione ha aiutato a comprendere meglio la fisica quantistica. 
10. Equazione della superficie minima. Questa uguaglianza spiega la formazione delle bolle di sapone. 
11. Retta di Eulero. Il teorema di Eulero fu dimostrato nel 1765. Scoprì che i punti medi dei lati di un triangolo e le basi delle sue altezze giacciono sulla stessa circonferenza. 
12. Nel 1928 P.A.M. Dirac propose la sua versione dell'equazione di Schrödinger, che corrispondeva alla teoria di A. Einstein. Il mondo scientifico rimase scioccato: Dirac scoprì la sua equazione per l'elettrone attraverso manipolazioni puramente matematiche di oggetti matematici superiori conosciuti come spinori. Ed è stata una sensazione: fino ad ora, tutte le grandi scoperte nel campo della fisica devono poggiare su una solida base di dati sperimentali. Ma Dirac credeva che la matematica pura, se sufficientemente bella, fosse un criterio affidabile per la correttezza delle conclusioni. “La bellezza delle equazioni è più importante della loro concordanza con i dati sperimentali. … Sembra che se ti sforzi di raggiungere la bellezza nelle equazioni e hai un’intuizione sana, allora sei sulla strada giusta.” Fu grazie ai suoi calcoli che fu scoperto il positrone, un antielettrone, e predisse la presenza di uno “spin” in un elettrone, la rotazione di una particella elementare. 
13. J. Maxwell ottenne equazioni sorprendenti che univano tutti i fenomeni dell'elettricità, del magnetismo e dell'ottica. Il notevole fisico tedesco, uno dei creatori della fisica statistica, Ludwig Boltzmann, disse delle equazioni di Maxwell: "Non è stato Dio a scrivere queste lettere?" 
14. Equazione di Schrödinger. Equazione che descrive la variazione nello spazio e nel tempo dello stato puro specificato dalla funzione d'onda nei sistemi quantistici hamiltoniani. Nella meccanica quantistica svolge lo stesso ruolo importante dell'equazione della seconda legge di Newton nella meccanica classica. 
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I migliori saluti, Emelin Alexander
Mi gira la testa con così tante formule matematiche che ho bisogno di sapere. Il cramming e i foglietti illustrativi sono per i deboli. Ma per coloro che vogliono diventare più forti in matematica, vi daremo alcuni consigli su come memorizzare le formule di matematica in modo che non scompaiano dalla vostra testa prima di un test, esame o CT.
Comprendi la formula
Se impari solo una sequenza di variabili, rischi di “perdere” l’intera formula quando dimentichi un simbolo o un segno.
Utilizza tutti i tipi di memoria
Leggi le formule ad alta voce, scrivile più volte su un foglio di carta finché non le ricordi. Usa tutti i tipi di memoria, concentrandoti su quella principale. La memoria visiva e quella motoria insieme danno un effetto maggiore. Naturalmente, il potenziale di memoria di ognuno è diverso. Ci sono tecniche speciali che aiutano .
Ecco alcuni suggerimenti su come ricordare le formuleAssicurati di rendere visive le formule: cerchia la formula in una cornice, scrivila in un colore diverso. Ciò renderà più facile trovarli negli appunti e ricordarli. È meglio scrivere le formule su un quaderno separato, strutturandole per argomento. Nota in che tipo di problemi è utile questa o quella formula, qual è la sua particolarità. Prendi l'abitudine di aggiungere formule al tuo elenco. Un simile "diario di osservazione della formula" ti aiuterà a rinfrescare la memoria informazioni importanti prima di un test, esame o CT di matematica.
Anche molti scolari fanno questo: quando distribuiscono bozze timbrate, prendi e scrivi subito su di loro formule importanti che sono difficili per te. Mezz'ora prima della TC, hai memorizzato visivamente queste formule e poi le hai annotate rapidamente. Ciò fa risparmiare tempo. Questo trucchetto è particolarmente utile per la trigonometria. Più formule conosci, meglio è.
Controlla te stesso
Devi tornare costantemente al materiale che hai imparato per non dimenticarlo. Prova il metodo delle “Due Carte”, è adatto per memorizzare formule di riduzione, moltiplicazione abbreviata e formule trigonometriche. Prendi due mazzi di carte colori diversi, scrivi il lato sinistro della formula su uno e il lato destro sull'altro. Dividi tutte le formule che devi ricordare in questo modo, quindi mescola entrambe le pile. Tira in ordine la carta con il lato sinistro della formula e seleziona la sua continuazione da quella “destra” e viceversa.
Le carte sono buone anche in geometria
Per memorizzare le formule geometriche, procurati delle carte sugli argomenti (“Formule dell'area”, “Formule per un triangolo”, “Formule per un quadrato”, ecc.) e scrivi le informazioni su di esse come segue.
Puoi registrare le formule in un taccuino separato e averle sempre a portata di mano, nel modo più conveniente per te Sii positivo
Se impari qualcosa sotto pressione, il cervello stesso vuole liberarsi del peso della conoscenza. Pensa a memorizzare le formule come buon esercizio per l'allenamento della memoria. E il tuo umore migliora quando ricordi la formula necessaria per la soluzione.E, naturalmente, risolvi quanti più test e problemi possibile per prepararti a un test, esame o CT!
I CT in matematica sono problemi tipici: più test risolvi, maggiore è la possibilità di incontrare qualcosa di simile ai CT. È impossibile prepararsi per il TC basandosi su un compito. Ma quando avrai risolto 100 problemi, 101 problemi non causeranno alcuna difficoltà.
Dmitry Sudnik, insegnante di matematica presso
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