Rumah / Konsepsi/ Ahli matematik Yakov Perelman: sumbangan kepada sains. Ahli matematik terkenal Rusia Grigory Perelman

Ahli matematik Yakov Perelman: sumbangan kepada sains. Ahli matematik terkenal Rusia Grigory Perelman

Hipotesis Poincare dan ciri-ciri mentaliti Rusia.

Pendek kata: Seorang profesor yang menganggur, yang hanya berumur 40 tahun, telah menyelesaikan salah satu daripada 7 masalah kemanusiaan yang paling sukar, tinggal di rumah panel di pinggir bandar bersama ibunya, dan bukannya menerima hadiah yang semua ahli matematik dalam impian dunia, dan satu juta dolar untuk but, dia meninggalkan mengumpul cendawan dan memintanya untuk tidak mengganggunya.

Dan sekarang dengan lebih terperinci:

http://lenta.ru/news/2006/08/16/perelman/

Grigory Perelman, yang membuktikan sangkaan Poincaré, menolak pelbagai anugerah dan hadiah wang tunai yang diberikan kepadanya untuk pencapaian ini, lapor akhbar Guardian. Selepas semakan meluas bukti, yang berlangsung hampir empat tahun, komuniti saintifik membuat kesimpulan bahawa keputusan Perelman adalah betul.

Tekaan Poincaré adalah salah satu daripada tujuh "masalah milenium" matematik yang paling penting, untuk penyelesaian setiap satunya di mana Institut Matematik Tanah Liat menganugerahkan hadiah sebanyak satu juta dolar Oleh itu, Perelman harus menerima ganjaran dengan akhbar, tetapi akhbar itu diketahui bahawa Perelman tidak mahu mengambil wang ini Menurut ahli matematik itu, jawatankuasa yang menganugerahkan anugerah itu tidak cukup layak untuk menilai kerjanya.

"Tidak selamat untuk memiliki satu juta dolar di St. Petersburg," komuniti profesional secara berseloroh mencadangkan satu lagi sebab untuk tingkah laku luar biasa Perelman. Nigel Hitchin, profesor matematik di Universiti Oxford, memberitahu akhbar tentang perkara ini.

Minggu depan, menurut khabar angin, akan diumumkan bahawa Perelman telah dianugerahkan Pingat Lapangan Antarabangsa paling berprestij dalam bidang ini, yang terdiri daripada pingat berharga dan anugerah kewangan. Pingat Fields dianggap setara matematik dengan Hadiah Nobel. Ia dianugerahkan setiap empat tahun di Kongres Matematik Antarabangsa, dan pemenang hadiah tidak boleh berumur lebih daripada 40 tahun. Perelman, yang akan berumur empat puluh tahun pada 2006 dan kehilangan peluang untuk menerima hadiah ini, tidak mahu menerima anugerah ini juga.

Telah lama diketahui tentang Perelman bahawa dia mengelakkan acara rasmi dan tidak suka dikagumi. Tetapi dalam keadaan semasa, tingkah laku saintis itu melampaui kesipian seorang ahli teori kerusi berlengan. Perelman telah pun pergi kerja akademik dan enggan melaksanakan fungsi profesor. Kini dia mahu bersembunyi daripada pengiktirafan jasanya kepada matematik - kerja hidupnya.

Grigory Perelman mengusahakan bukti teorem Poincaré selama lapan tahun. Pada tahun 2002, beliau menyiarkan penyelesaian kepada masalah tersebut di laman web pracetak Makmal Saintifik Los Alamos. Sehingga kini, dia tidak pernah menerbitkan karyanya dalam jurnal peer-reviewed, iaitu prasyarat kebanyakan hadiah diberikan.

Perelman boleh dianggap sebagai produk rujukan pendidikan Soviet. Dia dilahirkan pada tahun 1966 di Leningrad. Dia masih tinggal di bandar ini. Perelman belajar di sekolah khusus No. 239 dengan kajian yang mendalam matematik. Dia memenangi Olimpik yang tidak terkira banyaknya. Saya telah mendaftar dalam matematik dan mekanik di Universiti Negeri Leningrad tanpa peperiksaan. Menerima biasiswa Lenin. Selepas universiti, dia memasuki sekolah siswazah di cawangan Leningrad Institut Matematik V.A. Steklov, di mana dia terus bekerja. Pada akhir tahun lapan puluhan, Perelman berpindah ke Amerika Syarikat, mengajar di beberapa universiti, dan kemudian kembali ke tempat lamanya.

Keadaan rumah agam St. Petersburg Count Muravyov di Fontanka, di mana Institut Matematik terletak, menjadikan kekurangan perak Perelman terutamanya tidak mencukupi. Bangunan itu, seperti yang dilaporkan oleh akhbar Izvestia, boleh runtuh pada bila-bila masa dan jatuh ke dalam sungai Pembelian peralatan komputer (satu-satunya peralatan yang diperlukan oleh ahli matematik) masih boleh dibiayai dengan bantuan pelbagai geran, tetapi organisasi kebajikan tidak bersedia. untuk membayar pemulihan bangunan bersejarah.

==========================

http://www.newsinfo.ru/news/2006/08/news1325575.php

Seorang ahli matematik pertapa yang membuktikan salah satu yang paling sukar hipotesis saintifik- Teorem Poincaré, tidak kurang misteri daripada masalah itu sendiri.

Sedikit yang diketahui tentang dia. Memasuki institut berdasarkan keputusan pertandingan sekolah, menerima biasiswa Lenin. Di sekolah khas St. Petersburg No. 239, dia dikenang sebagai anak kepada Yakov Perelman, pengarang buku teks terkenal "Fizik Menghiburkan." Foto Grisha Perelman - di papan orang hebat bersama Lobachevsky dan Leibniz.

"Dia seorang pelajar yang sangat baik, hanya dalam pendidikan jasmani... Jika tidak pasti ada pingat," ingat gurunya Tamara Efimova, pengarah Fizik dan Matematik Lyceum 239 dalam temu bual dengan Channel One.

Dia sentiasa untuk sains tulen, menentang formaliti - ini adalah kata-kata bekasnya guru sekolah, salah satu daripada segelintir yang Perelman sentiasa berhubung sepanjang lapan tahun pencariannya. Seperti yang dia katakan, ahli matematik itu terpaksa meninggalkan pekerjaannya kerana dia perlu menulis artikel dan laporan, dan Poincare menyerap sepanjang masanya. Matematik diutamakan.

Perelman menghabiskan lapan tahun hidupnya untuk menyelesaikan satu daripada tujuh masalah matematik yang tidak dapat diselesaikan. Dia bekerja sendirian, di suatu tempat di loteng, secara rahsia. Dia bersyarah di Amerika untuk menyara dirinya di rumah. Meninggalkan pekerjaan yang mengganggu saya matlamat utama, tidak menjawab panggilan dan tidak berkomunikasi dengan akhbar.

Satu juta dolar diberikan untuk menyelesaikan satu daripada tujuh masalah matematik yang tidak dapat diselesaikan ini ialah Fields Medal, hadiah Nobel untuk ahli matematik. Grigory Perelman menjadi calon utama untuk menerimanya.

Para saintis tahu ini, tetapi, nampaknya, dia jelas tidak berminat dengan pengiktirafan kewangan. Menurut rakan sekerja, dia tidak menyerahkan dokumen untuk anugerah itu.

"Seperti yang saya faham, Grigory Yakovlevich sendiri tidak mengambil berat tentang sejuta sama sekali," kata Ildar Ibragimov, ahli akademik Akademi Sains Rusia "Malah, orang yang dapat menyelesaikan masalah ini kebanyakannya orang yang tidak akan bekerja kerana wang ini, saya akan bimbang tentang sesuatu yang berbeza."

Perelman menerbitkan karya mengenai tekaan Poincaré untuk satu-satunya kali tiga tahun lalu di Internet. Kemungkinan besar bukan karya, tetapi lakaran 39 muka surat. Dia tidak bersetuju untuk menulis laporan yang lebih terperinci dengan bukti terperinci. Malah naib presiden Persatuan Matematik Dunia, yang datang khas ke St. Petersburg untuk mencari Perelman, gagal melakukan ini.

Sepanjang tiga tahun yang lalu, tiada siapa yang dapat mencari ralat dalam pengiraan Perelman, seperti yang dikehendaki oleh peraturan Fields Prize. Q.E.D.

==============================

http://elementy.ru/news/430288

Proses membuktikan sangkaan Poincaré kini nampaknya memasuki peringkat akhir. Tiga kumpulan ahli matematik akhirnya mengetahui idea Grigory Perelman dan sejak beberapa bulan lalu telah membentangkan versi bukti lengkap hipotesis ini.

Satu tekaan yang dirumuskan oleh Poincaré pada tahun 1904 menyatakan bahawa semua permukaan tiga dimensi dalam ruang empat dimensi yang homotopically setara dengan sfera adalah homeomorphic kepadanya. Bercakap dalam kata mudah, jika permukaan tiga dimensi agak serupa dengan sfera, maka jika ia diluruskan, ia hanya boleh menjadi sfera dan tidak ada yang lain. Untuk butiran tentang tekaan ini dan sejarah pembuktiannya, baca artikel popular Masalah 2000: Konjektur Poincaré dalam jurnal Computerra.

Untuk bukti tekaan Poincaré, Institut Matematik. Clay telah dianugerahkan hadiah sejuta dolar, yang mungkin kelihatan mengejutkan: lagipun, kita bercakap tentang fakta yang sangat peribadi dan tidak menarik. Sebenarnya, apa yang penting bagi ahli matematik bukanlah sifat-sifat permukaan tiga dimensi tetapi fakta bahawa bukti itu sendiri adalah sukar. Masalah ini merumuskan dalam bentuk tertumpu apa yang tidak dapat dibuktikan menggunakan idea dan kaedah geometri dan topologi yang sedia ada sebelum ini. Ia membolehkan anda melihat pada tahap yang lebih mendalam, ke dalam lapisan masalah yang hanya boleh diselesaikan dengan bantuan idea-idea "generasi baru".

Seperti dalam situasi dengan teorem Fermat, ternyata tekaan Poincaré adalah kes khas pernyataan yang lebih umum tentang sifat geometri permukaan tiga dimensi yang sewenang-wenang - Konjektur Geometrisasi Thurston Oleh itu, usaha ahli matematik tidak ditujukan menyelesaikan kes tertentu ini, tetapi untuk membina pendekatan matematik baharu yang boleh mengatasi masalah tersebut.

Kejayaan itu dibuat pada 2002-2003 oleh ahli matematik Rusia Grigory Perelman. Dalam tiga artikelnya math.DG/0211159, math.DG/0303109, math.DG/0307245, mencadangkan beberapa idea baharu, beliau membangunkan dan menyelesaikan kaedah yang dicadangkan pada tahun 1980-an oleh Richard Hamilton. Dalam karyanya, Perelman mendakwa bahawa teori yang dibinanya memungkinkan untuk membuktikan bukan sahaja konjektur Poincaré, tetapi juga hipotesis geometrisasi.

Intipati kaedah ialah untuk objek geometri adalah mungkin untuk menentukan beberapa persamaan "evolusi lancar", serupa dengan persamaan kumpulan penormalan semula dalam fizik teori. Permukaan awal akan berubah bentuk semasa evolusi ini dan, seperti yang ditunjukkan oleh Perelman, akhirnya akan berubah menjadi sfera dengan lancar. Kekuatan pendekatan ini ialah, memintas semua detik perantaraan, anda boleh segera melihat "ke dalam infiniti," pada penghujung evolusi, dan menemui sfera di sana.

Karya Perelman menandakan permulaan intrik. Dalam artikelnya dia mengembangkan teori umum dan menggariskan perkara utama bukti bukan sahaja tekaan Poincaré, tetapi juga hipotesis geometrisasi. Perelman tidak memberikan bukti lengkap dalam semua butiran, walaupun dia mendakwa bahawa dia telah membuktikan kedua-dua hipotesis. Juga pada tahun 2003, Perelman melawat Amerika Syarikat dengan beberapa siri kuliah, di mana beliau menjawab sebarang soalan teknikal daripada pendengar dengan jelas dan terperinci.

Sejurus selepas penerbitan pracetak Perelman, pakar mula menyemak perkara utama teorinya, dan tiada satu kesilapan pun ditemui. Selain itu, sejak beberapa tahun lalu, beberapa pasukan ahli matematik telah dapat menyerap idea yang dicadangkan oleh Perelman sehingga mereka mula menulis bukti lengkap "dalam bentuk yang jelas."

Pada Mei 2006, kertas kerja oleh B. Kleiner, J. Lott, math.DG/0605667, muncul, di mana terbitan terperinci bagi mata yang ditinggalkan dalam bukti Perelman telah diberikan. (Dengan cara ini, pengarang ini mengekalkan halaman web khusus untuk artikel Perelman dan kerja berkaitan.)

Kemudian pada Jun 2006, Asian Journal of Mathematics menerbitkan makalah setebal 327 halaman oleh ahli matematik China Huai-Dong Cao dan Xi-Ping Zhu bertajuk "A complete proof of the Poincaré and geometrization conjectures - an application of the Hamilton-Perelman theory of Ricci mengalir." Penulis sendiri tidak mendakwa mempunyai bukti yang sama sekali baru, tetapi hanya mendakwa bahawa pendekatan Perelman benar-benar berkesan.

Akhirnya, pada hari yang lain artikel setebal 473 halaman (atau sudah menjadi buku?) muncul oleh J. W. Morgan, G. Tian, math.DG/0607607, di mana pengarang, mengikut jejak Perelman, membentangkan bukti mereka tentang konjektur Poincaré (dan bukan hipotesis geometrisasi yang lebih umum). John Morgan dianggap sebagai salah seorang pakar utama dalam masalah ini, dan selepas penerbitan karyanya, nampaknya boleh dianggap bahawa sangkaan Poincaré akhirnya terbukti.

Sungguh menarik, dengan cara itu, pada mulanya artikel oleh ahli matematik Cina diedarkan hanya dalam versi kertas pada harga $69, jadi tidak semua orang berpeluang melihatnya. Tetapi keesokan harinya selepas artikel Morgan-Tian muncul dalam arkib pracetak, versi elektronik artikel itu muncul di laman web Asian Journal of Mathematics.

Masa akan menentukan penghalusan bukti Perelman siapa yang lebih tepat dan telus. Ada kemungkinan bahawa pada tahun-tahun akan datang ia akan menjadi lebih mudah, seperti yang berlaku dengan teorem Fermat. Setakat ini, kita hanya dapat melihat peningkatan dalam jumlah penerbitan: daripada artikel 30 halaman Perelman kepada buku tebal oleh Morgan dan Tian, tetapi ini bukan disebabkan oleh kerumitan bukti, tetapi kepada terbitan yang lebih terperinci daripada semua langkah perantaraan.

Dalam pada itu, adalah dijangkakan Kongres Antarabangsa daripada Ahli Matematik, yang akan diadakan pada Ogos ini di Madrid, bukti terakhir sangkaan itu akan diumumkan secara "rasmi" dan, mungkin, yang akan dianugerahkan Hadiah Institut Tanah Liat. Di samping itu, terdapat khabar angin bahawa Grigory Perelman akan menjadi salah satu daripada empat Pemenang Pingat Fields, penghormatan tertinggi untuk ahli matematik muda.

PERMAINAN MINDA

Sehingga baru-baru ini, matematik tidak menjanjikan sama ada kemasyhuran atau kekayaan kepada "imam"nya. Mereka malah Hadiah Nobel Mereka tidak memberikannya. Tiada pencalonan seperti itu. Lagipun, menurut legenda yang sangat popular, isteri Nobel pernah menipunya dengan seorang ahli matematik. Dan sebagai balasan, orang kaya itu telah melucutkan penghormatan dan hadiah wang dari semua saudara mereka yang bengkok.

Keadaan berubah pada tahun 2000. Institut Matematik swasta Institut Matematik Tanah Liat memilih tujuh masalah yang paling sukar. Dan dia berjanji untuk membayar setiap orang satu juta dolar untuk keputusan mereka. Mereka memandang ahli matematik dengan hormat. Pada tahun 2001, filem "A Beautiful Mind" telah dikeluarkan, watak utamanya adalah seorang ahli matematik.

Sekarang hanya orang yang jauh dari tamadun tidak sedar: salah satu daripada berjuta-juta yang dijanjikan - yang pertama - telah dianugerahkan. Dianugerahkan warganegara Rusia, penduduk St. Petersburg Grigory Perelman kerana menyelesaikan tekaan Poincaré, yang melalui usahanya menjadi teorem. Lelaki berjanggut berusia 44 tahun itu telah menyapu hidung seluruh dunia. Dan kini ia terus mengekalkannya - dunia - dalam ketegangan. Memandangkan tidak diketahui sama ada ahli matematik itu akan mengambil jutaan dolar atau menolak. Orang awam yang progresif di banyak negara sememangnya bimbang. Sekurang-kurangnya akhbar di semua benua menceritakan tipu daya kewangan dan matematik.

Dan dengan latar belakang aktiviti yang menarik ini - meramal dan membahagikan wang orang lain - makna pencapaian Perelman entah bagaimana hilang. Presiden Institut Tanah Liat, Jim Carlson, sudah tentu, menyatakan pada satu masa bahawa tujuan tabung hadiah bukanlah untuk mencari jawapan semata-mata sebagai percubaan untuk meningkatkan prestij sains matematik dan menarik minat golongan muda di dalamnya. Tetapi masih, apa gunanya?

HIPOTESIS POINCARE - APA ITU?

Teka-teki yang diselesaikan oleh genius Rusia itu menyentuh asas-asas cabang matematik yang dipanggil topologi. Topologinya sering dipanggil "geometri kepingan getah." Ia berkaitan dengan sifat-sifat bentuk geometri yang dikekalkan jika bentuk itu diregangkan, dipintal atau dibengkokkan. Dalam erti kata lain, ia cacat tanpa koyak, luka atau melekat.

Topologi adalah penting kepada fizik matematik kerana ia membolehkan kita memahami sifat-sifat ruang. Atau menilainya tanpa dapat melihat bentuk ruang ini dari luar. Sebagai contoh, kepada Alam Semesta kita.

Apabila menerangkan tekaan Poincaré, mereka bermula seperti ini: bayangkan sfera dua dimensi - ambil cakera getah dan tariknya ke atas bola. Supaya lilitan cakera dikumpul pada satu titik. Dengan cara yang sama, sebagai contoh, anda boleh mengikat beg galas sukan dengan kord. Hasilnya akan menjadi sfera: bagi kita - tiga dimensi, tetapi dari sudut pandangan matematik - hanya dua dimensi.

Kemudian mereka menawarkan untuk menarik cakera yang sama ke atas donat. Nampaknya ia akan berjaya. Tetapi tepi cakera akan menumpu menjadi bulatan, yang tidak lagi boleh ditarik ke satu titik - ia akan memotong donat.

Sebagai seorang ahli matematik Rusia yang lain, Vladimir Uspensky, menulis dalam bukunya yang popular, "tidak seperti sfera dua dimensi, sfera tiga dimensi tidak boleh diakses oleh pemerhatian langsung kita, dan sukar untuk kita membayangkannya seperti yang dibayangkan oleh Vasily Ivanovich. trinomial segi empat sama dari jenaka yang terkenal.”

Jadi, menurut hipotesis Poincaré, sfera tiga dimensi ialah satu-satunya benda tiga dimensi yang permukaannya boleh ditarik ke satu titik oleh beberapa "hiperkod" hipotesis.

Jules Henri Poincaré mencadangkan ini pada tahun 1904. Kini Perelman telah meyakinkan semua orang yang memahami bahawa ahli topologi Perancis itu betul. Dan mengubah hipotesisnya menjadi teorem.

Buktinya membantu memahami bentuk alam semesta kita. Dan ia membolehkan kita dengan sangat munasabah menganggap bahawa ia adalah sfera tiga dimensi yang sama. Tetapi jika Alam Semesta adalah satu-satunya "angka" yang boleh dikontrakkan ke satu titik, maka, mungkin, ia boleh diregangkan dari satu titik. Ini berfungsi sebagai pengesahan tidak langsung teori Big Bang, yang menyatakan bahawa Alam Semesta berasal dari satu titik.

Ternyata Perelman, bersama Poincaré, mengecewakan mereka yang dipanggil pencipta - penyokong permulaan alam semesta yang ilahi. Dan mereka menumpahkan pasir kepada kilang ahli fizik materialis.

DAN PADA MASA INI

Genius itu belum melepaskan satu juta dolar lagi

Ahli matematik itu berdegil enggan berkomunikasi dengan wartawan. Bagi kami - sama sekali: dia tidak meninggikan suaranya. Barat - melontarkan kenyataan pintu tertutup. Seperti, tinggalkan saya sendiri. Genius itu nampaknya hanya berkomunikasi dengan presiden Institut Tanah Liat, Jim Carlson.

Sejurus selepas ia diketahui mengenai juta dolar Grigory Perelman, Carlson menjawab soalan "Apa yang diputuskan oleh genius itu?" menjawab: "Dia akan memberitahu saya pada waktunya." Iaitu, dia membayangkan bahawa dia berhubung dengan Grigory.

Pada hari yang lain kami menerima mesej baru daripada Presiden. Dia dilaporkan kepada umum oleh akhbar British The Telegraph: “Dia berkata dia akan memaklumkan kepada saya keputusannya pada satu ketika. Tetapi dia tidak memberitahu sekurang-kurangnya bilakah ini akan berlaku. Saya tidak fikir ia akan betul esok."

Menurut presiden, genius itu bercakap dengan kasar tetapi sopan. Ia ringkas. Dalam mempertahankan Perelman, Carlson menyatakan: "Bukan setiap hari seseorang secara bergurau memikirkan kemungkinan melepaskan satu juta dolar."

DENGAN CARANYA

Mengapa lagi mereka akan memberikan satu juta dolar?

1. Masalah tukang masak

Adalah perlu untuk menentukan sama ada menyemak ketepatan penyelesaian kepada masalah boleh mengambil masa lebih lama daripada mendapatkan penyelesaian itu sendiri. ini masalah logik penting untuk pakar dalam kriptografi - penyulitan data.

2. Hipotesis Riemann

Ada yang dipanggil nombor perdana, contohnya 2, 3, 5, 7, dsb., yang hanya boleh dibahagikan dengan sendirinya. Berapa jumlah keseluruhannya tidak diketahui. Riemann percaya bahawa ini boleh ditentukan dan corak pengedarannya boleh ditemui. Sesiapa yang menemuinya juga akan menyediakan perkhidmatan kriptografi.

3. Konjektur Birch dan Swinnerton-Dyer

Masalahnya melibatkan penyelesaian persamaan dengan tiga perkara yang tidak diketahui dibangkitkan kepada kuasa. Kita perlu memikirkan cara untuk menyelesaikannya, tanpa mengira kerumitan.

4. Tekaan Hodge

Pada abad kedua puluh, ahli matematik menemui kaedah untuk mengkaji bentuk objek kompleks. Ideanya ialah menggunakan "bata" ringkas dan bukannya objek itu sendiri, yang dilekatkan bersama dan membentuk rupanya. Ia adalah perlu untuk membuktikan bahawa ini sentiasa dibenarkan.

5. Navier - persamaan Stokes

Ia bernilai mengingati mereka di dalam pesawat. Persamaan menerangkan arus udara yang mengekalkannya di udara. Sekarang persamaan diselesaikan lebih kurang, menggunakan formula anggaran. Kita perlu mencari yang tepat dan membuktikan bahawa dalam ruang tiga dimensi terdapat penyelesaian kepada persamaan yang sentiasa benar.

6. Yang - Persamaan Mills

Dalam dunia fizik terdapat hipotesis: jika zarah asas mempunyai jisim, maka terdapat had yang lebih rendah. Tetapi yang mana satu tidak jelas. Kita perlu pergi kepadanya. Ini mungkin tugas yang paling sukar. Untuk menyelesaikannya, perlu mencipta "teori segala-galanya" - persamaan yang menyatukan semua daya dan interaksi dalam alam semula jadi. Sesiapa yang boleh melakukannya mungkin akan menerima Hadiah Nobel.

Henri Poincaré (1854-1912), salah seorang ahli matematik terhebat, telah merumuskan idea terkenal tentang sfera tiga dimensi yang cacat pada tahun 1904 dan, dalam bentuk nota birai kecil yang diletakkan di hujung 65 muka surat. artikel yang dikhaskan untuk isu yang sama sekali berbeza, menulis beberapa baris hipotesis yang agak pelik dengan perkataan: "Nah, soalan ini boleh membawa kita terlalu jauh"...

Marcus Du Sautoy dari Universiti Oxford percaya bahawa Teorem Poincaré- "Ini masalah utama matematik dan fizik , percubaan untuk memahami bentuk apa Boleh jadi alam semesta , sangat sukar untuk mendekatinya."

Sekali seminggu, Grigory Perelman pergi ke Princeton untuk mengambil bahagian dalam seminar di Institut Kajian Lanjutan. Pada seminar itu, salah seorang ahli matematik di Universiti Harvard menjawab soalan Perelman: "Teori William Thurston (1946-2012, ahli matematik, bekerja dalam bidang "Geometri dan topologi tiga dimensi"), dipanggil hipotesis geometrisasi, menerangkan semua kemungkinan permukaan tiga dimensi dan merupakan satu langkah ke hadapan berbanding dengan konjektur Poincaré. Jika anda membuktikan hipotesis William Thurston, maka sangkaan Poincaré akan membuka semua pintunya kepada anda, dan lebih-lebih lagi penyelesaiannya akan mengubah keseluruhan landskap topologi sains moden ».

Pada Mac 2003, enam universiti terkemuka Amerika telah menjemput Perelman untuk memberikan satu siri syarahan yang menerangkan kerjanya. Pada April 2003, Perelman membuat lawatan saintifik. Kuliahnya menjadi acara ilmiah yang luar biasa. John Ball (pengerusi Kesatuan Matematik Antarabangsa), Andrew Wiles (ahli matematik, bekerja dalam bidang aritmetik lengkung eliptik, membuktikan teorem Fermat pada tahun 1994), John Nash (ahli matematik yang bekerja dalam bidang teori permainan dan geometri pembezaan) datang ke dengar dia di Princeton.

Grigory Perelman berjaya menyelesaikan satu daripada tujuh masalah milenium Dan huraikan secara matematik kononnya formula alam semesta , buktikan sangkaan Poincaré. Fikiran yang paling terang telah bergelut dengan hipotesis ini selama lebih daripada 100 tahun, dan untuk buktinya komuniti matematik dunia (Institut Matematik Tanah Liat) menjanjikan $1 juta pembentangannya berlangsung pada 8 Jun 2010. Grigory Perelman tidak muncul padanya, dan komuniti matematik dunia " Jaws dropped."

Pada tahun 2006, ahli matematik itu telah dianugerahkan anugerah matematik tertinggi - Fields Medal - untuk menyelesaikan tekaan Poincaré. John Ball secara peribadi melawat St. Petersburg untuk memujuknya menerima anugerah itu. Dia enggan menerimanya dengan kata-kata: “ Masyarakat tidak mungkin dapat menilai kerja saya dengan serius».

“Pingat Fields (dan pingat) dianugerahkan setiap 4 tahun sekali di setiap kongres matematik antarabangsa kepada saintis muda (bawah 40 tahun) yang telah memberikan sumbangan besar kepada pembangunan matematik. Sebagai tambahan kepada pingat, para penerima dianugerahkan 15 ribu dolar Kanada ($13,000).”

Dalam rumusan asalnya, tekaan Poincaré berbunyi seperti berikut: "Setiap pancarongga tiga dimensi padat yang disambungkan secara ringkas tanpa sempadan adalah homeomorfik kepada sfera tiga dimensi." DALAM terjemahan ke dalam bahasa yang sama, ini bermakna bahawa mana-mana objek tiga dimensi, sebagai contoh, kaca, boleh diubah menjadi bola dengan ubah bentuk sahaja, iaitu, ia tidak perlu dipotong atau dilekatkan bersama. Dalam erti kata lain, Poincaré menganggap itu ruang bukan tiga dimensi, tetapi mengandungi ketara bilangan yang lebih besar ukuran , dan Perelman 100 tahun kemudian membuktikannya secara matematik .

Ungkapan Grigory Perelman tentang teorem Poincaré mengenai transformasi jirim ke dalam keadaan lain, bentuk, adalah serupa dengan pengetahuan yang dibentangkan dalam buku Anastasia Novykh "Sensei IV": "Sebenarnya, seluruh Alam Semesta ini, yang tidak terhingga bagi kita, menduduki ruang berbilion kali. lebih kecil daripada hujung jarum perubatan yang paling nipis". Dan juga keupayaan untuk mengawal bahan Alam Semesta melalui transformasi yang diperkenalkan oleh Pemerhati daripada dimensi mengawal di atas keenam (dari 7 hingga 72 termasuk) (laporkan "" topik "Kekisi Ezoosmik").

Grigory Perelman dibezakan oleh pertapaan hidupnya dan keterukan tuntutan etika yang diletakkan pada dirinya sendiri dan orang lain. Melihat dia, seseorang mendapat perasaan bahawa dia adil hidup jasmani secara umum dengan semua sezaman yang lain angkasa lepas , A Secara rohani dalam beberapa cara lain , di mana pun untuk $1 juta mereka tidak pergi ke yang paling "tidak bersalah" berkompromi dengan hati nurani . Dan apakah jenis ruang ini, dan adakah mungkin untuk melihatnya dari sudut mata anda?..

Luar biasa kepentingan hipotesis, dikemukakan kira-kira satu abad yang lalu oleh ahli matematik Poincare, melibatkan struktur tiga dimensi dan merupakan elemen utama penyelidikan moden asas alam semesta . Teka-teki ini, menurut pakar dari Institut Tanah Liat, adalah salah satu daripada tujuh asas penting untuk pembangunan matematik masa depan.

Perelman, menolak pingat dan hadiah, bertanya: “Mengapa saya memerlukannya? Mereka langsung tidak berguna kepada saya. Semua orang faham bahawa jika bukti itu betul, maka tiada pengiktirafan lain diperlukan. Sehingga saya timbul syak wasangka, saya mempunyai pilihan sama ada untuk bercakap lantang tentang perpecahan komuniti matematik secara keseluruhan, disebabkan tahap moralnya yang rendah, atau tidak berkata apa-apa dan membiarkan diri saya dilayan seperti lembu. Sekarang saya menjadi lebih curiga, saya tidak boleh kekal sebagai lembu dan terus berdiam diri, jadi saya hanya boleh pergi."

Untuk melibatkan diri dalam matematik moden, anda perlu mempunyai minda yang benar-benar murni, tanpa sedikit pun campuran yang menghancurkannya, mengelirukan, menggantikan nilai, dan menerima hadiah ini bermakna menunjukkan kelemahan. Seorang saintis yang ideal hanya terlibat dalam sains, tidak mempedulikan apa-apa lagi (kuasa dan modal), dia mesti mempunyai fikiran yang murni, dan bagi Perelman tidak ada kepentingan yang lebih besar daripada hidup mengikut cita-cita ini. Adakah keseluruhan idea berjuta-juta ini berguna untuk matematik, dan adakah saintis sebenar memerlukan insentif sedemikian? Dan bukankah keinginan modal untuk membeli dan menundukkan segala-galanya di dunia ini menyinggung perasaan? Atau anda boleh menjual kesucian awak untuk sejuta? Wang, tidak kira berapa banyak yang ada, adalah setara kebenaran Jiwa ? Lagipun, kita sedang berhadapan dengan penilaian apriori tentang masalah yang mana wang tidak sepatutnya ada kaitan, bukan?! Untuk membuat sesuatu seperti lotto-juta atau pertaruhan daripada semua ini bermakna untuk memanjakan perpecahan saintifik, dan masyarakat manusia secara keseluruhannya (Lihat laporan dan 50 muka surat terakhir dalam buku AllatRa tentang laluan untuk membina masyarakat kreatif). DAN tunai(tenaga), yang ahli perniagaan bersedia untuk memberi kepada sains, jika mereka perlu digunakan, maka dengan betul, atau sesuatu, tanpa memalukan Semangat Perkhidmatan Sejati , tidak kira bagaimana anda melihatnya, tidak ternilai dari segi kewangan: “ Apakah satu juta jika dibandingkan? , dengan kesucian, atau kebesaran mereka sfera (tentang dimensi Alam Semesta global dan tentang Dunia rohani lihat buku "AllatRa" dan laporan ) , di mana tidak dapat menembusi walaupun manusia imaginasi (fikiran) ?! Apakah sejuta langit berbintang untuk masa?!”

Marilah kita memberi tafsiran bagi istilah yang tinggal yang terdapat dalam rumusan hipotesis:

- Topologi- (daripada bahasa Yunani topos - tempat dan logos - pengajaran) - satu cabang matematik yang mengkaji sifat topologi rajah, i.e. sifat yang tidak berubah di bawah sebarang ubah bentuk yang dihasilkan tanpa pecah dan melekat (lebih tepat, dengan pemetaan satu sama satu dan berterusan). Contoh sifat topologi rajah ialah dimensi, bilangan lengkung yang membatasi kawasan tertentu, dsb. Oleh itu, bulatan, elips, dan garis besar segi empat sama mempunyai sifat topologi yang sama, kerana garisan ini boleh diubah bentuk menjadi satu sama lain mengikut cara yang diterangkan di atas; pada masa yang sama, cincin dan bulatan mempunyai sifat topologi yang berbeza: bulatan dihadkan oleh satu kontur, dan cincin dengan dua.

- Homeomorfisme(Greek ομοιο - serupa, μορφη - bentuk) - surat-menyurat satu-dengan-satu antara dua ruang topologi, di mana kedua-dua peta saling songsang yang ditakrifkan oleh surat-menyurat ini adalah berterusan. Pemetaan ini dipanggil homeomorphic, atau pemetaan topologi, serta homeomorphism, dan ruang dikatakan tergolong dalam jenis topologi yang sama dan dipanggil homeomorphic, atau setara dari segi topologi.

- Manifold tiga dimensi tanpa tepi. Ini adalah objek geometri di mana setiap titik mempunyai kejiranan dalam bentuk bola tiga dimensi. Contoh 3-manifold termasuk, pertama, keseluruhan ruang tiga dimensi, dilambangkan dengan R3, serta mana-mana set mata terbuka dalam R3, contohnya, bahagian dalam torus pepejal (donut). Jika kita menganggap torus pepejal tertutup, i.e. tambahkan titik sempadannya (permukaan torus), maka kita mendapat manifold dengan tepi - titik tepi tidak mempunyai kejiranan dalam bentuk bola, tetapi hanya dalam bentuk setengah bola.

- torus penuh (torus penuh)- homeomorfik jasad geometri hasil darab cakera dua dimensi dan bulatan D 2 * S 1. Secara tidak formal, torus pepejal ialah donat, manakala torus hanyalah permukaannya (ruang berongga roda).

- Bersambung sahaja. Ini bermakna bahawa sebarang lengkung tertutup berterusan yang terletak sepenuhnya dalam manifold tertentu boleh dikontrak dengan lancar ke satu titik tanpa meninggalkan manifold ini. Sebagai contoh, sfera dua dimensi biasa dalam R3 disambungkan secara ringkas (gelang getah, diletakkan dalam apa-apa cara pada permukaan epal, boleh ditarik bersama dengan lancar ke satu titik tanpa mengoyakkan gelang getah daripada epal). Sebaliknya, bulatan dan torus tidak hanya disambungkan.

- Padat. Manifold adalah padat jika mana-mana imej homeomorfiknya mempunyai dimensi sempadan. Sebagai contoh, selang terbuka pada garisan (semua titik segmen kecuali hujungnya) adalah tidak padat, kerana ia boleh terus dilanjutkan ke garisan tak terhingga. Tetapi segmen tertutup (dengan hujung) ialah manifold padat dengan tepi: untuk sebarang ubah bentuk berterusan, hujung pergi ke beberapa titik tertentu, dan keseluruhan segmen mesti masuk ke lengkung terikat yang menghubungkan titik-titik ini.

Ilnaz Basharov

kesusasteraan:

Laporkan “THE PRIMORDIAL FIZIC OF ALLATRA” oleh sekumpulan saintis antarabangsa pergerakan sosial ALLATRA, ed. Anastasia Novykh, 2015;

yang baru. A. “AllatRa”, K.: AllatRa, 2013.

Teorem Poincaré – formula matematik"Alam Semesta". Grigory Perelman. Bahagian 1 (dari siri "Lelaki Sejati dalam Sains")

Marcus Du Sautoy dari Universiti Oxford percaya bahawa teorem Poincaré "adalah masalah utama matematik dan fizik, percubaan untuk memahami bentuk apa Boleh jadi alam semesta, sangat sukar untuk mendekatinya."

Sekali seminggu, Grigory Perelman pergi ke Princeton untuk mengambil bahagian dalam seminar di Institut Kajian Lanjutan. Pada seminar itu, salah seorang ahli matematik di Universiti Harvard menjawab soalan Perelman: "Teori William Thurston (1946-2012, ahli matematik, bekerja dalam bidang "Geometri dan topologi tiga dimensi"), dipanggil hipotesis geometrisasi, menerangkan semua kemungkinan permukaan tiga dimensi dan merupakan satu langkah ke hadapan berbanding dengan konjektur Poincaré. Jika anda membuktikan hipotesis William Thurston, maka sangkaan Poincaré akan membuka semua pintunya kepada anda, dan lebih-lebih lagi penyelesaiannya akan mengubah keseluruhan landskap topologi sains moden».

Grigory Perelman berjaya menyelesaikan satu daripada tujuh masalah milenium Dan huraikan secara matematik kononnya formula alam semesta, buktikan sangkaan Poincaré. Fikiran yang paling terang telah bergelut dengan hipotesis ini selama lebih daripada 100 tahun, dan untuk buktinya komuniti matematik dunia (Institut Matematik Tanah Liat) menjanjikan $1 juta pembentangannya berlangsung pada 8 Jun 2010. Grigory Perelman tidak muncul padanya, dan komuniti matematik dunia " Jaws dropped."

Pada tahun 2006, ahli matematik itu telah dianugerahkan anugerah matematik tertinggi - Fields Medal - untuk menyelesaikan tekaan Poincaré. John Ball secara peribadi melawat St. Petersburg untuk memujuknya menerima anugerah itu. Dia enggan menerimanya dengan kata-kata: "Masyarakat tidak mungkin dapat menilai kerja saya dengan serius."

Dalam rumusan asalnya, konjektur Poincaré berbunyi seperti berikut: "Setiap pancarongga tiga dimensi padat ringkas tanpa sempadan adalah homeomorfik kepada sfera tiga dimensi." Diterjemahkan ke dalam bahasa biasa, ini bermakna bahawa mana-mana objek tiga dimensi, sebagai contoh, kaca, boleh diubah menjadi bola dengan ubah bentuk sahaja, iaitu, ia tidak perlu dipotong atau dilekatkan bersama. Dalam erti kata lain, Poincaré menganggap itu ruang bukan tiga dimensi, tetapi mengandungi bilangan dimensi yang jauh lebih besar, dan Perelman 100 tahun kemudian membuktikannya secara matematik.

Ungkapan Grigory Perelman tentang teorem Poincaré mengenai transformasi jirim ke dalam keadaan lain, bentuk, adalah serupa dengan pengetahuan yang dibentangkan dalam buku Anastasia Novykh "Sensei IV": "Sebenarnya, seluruh Alam Semesta ini, yang tidak terhingga bagi kita, menduduki ruang berbilion kali. lebih kecil daripada hujung jarum perubatan yang paling nipis". Dan juga keupayaan untuk mengawal Alam Semesta material melalui transformasi yang diperkenalkan oleh Pemerhati daripada dimensi mengawal di atas keenam (dari 7 hingga 72 termasuk) (laporkan topik "PRIMODIUM ALLATRA FIZIK" topik "Kekisi Ezoosmik").

Grigory Perelman dibezakan oleh pertapaan hidupnya dan keterukan tuntutan etika yang diletakkan pada dirinya sendiri dan orang lain. Melihat dia, seseorang mendapat perasaan bahawa dia adil hidup jasmani secara umum dengan semua sezaman yang lain angkasa lepas, A Secara rohani dalam beberapa cara lain, di mana pun untuk $1 juta mereka tidak pergi ke yang paling "tidak bersalah" berkompromi dengan hati nurani. Dan apakah jenis ruang ini, dan adakah mungkin untuk melihatnya dari sudut mata anda?..

Kepentingan luar biasa hipotesis yang dikemukakan kira-kira satu abad yang lalu oleh ahli matematik Poincaré menyangkut struktur tiga dimensi dan merupakan elemen utama penyelidikan moden asas alam semesta. Teka-teki ini, menurut pakar dari Institut Tanah Liat, adalah salah satu daripada tujuh asas penting untuk pembangunan matematik masa depan.

Untuk melibatkan diri dalam matematik moden, anda perlu mempunyai minda yang benar-benar murni, tanpa sedikit pun campuran yang menghancurkannya, mengelirukan, menggantikan nilai, dan menerima hadiah ini bermakna menunjukkan kelemahan. Seorang saintis yang ideal hanya terlibat dalam sains, tidak mempedulikan apa-apa lagi (kuasa dan modal), dia mesti mempunyai fikiran yang murni, dan bagi Perelman tidak ada kepentingan yang lebih besar daripada hidup mengikut cita-cita ini. Adakah keseluruhan idea berjuta-juta ini berguna untuk matematik, dan adakah saintis sebenar memerlukan insentif sedemikian? Dan bukankah keinginan modal untuk membeli dan menundukkan segala-galanya di dunia ini menyinggung perasaan? Atau anda boleh menjual kesucian awak untuk sejuta? Wang, tidak kira berapa banyak yang ada, adalah setara kebenaran Jiwa? Lagipun, kita sedang berhadapan dengan penilaian apriori tentang masalah yang mana wang tidak sepatutnya ada kaitan, bukan?! Untuk membuat sesuatu seperti lotto-juta atau pertaruhan daripada semua ini bermakna untuk memanjakan perpecahan saintifik, dan masyarakat manusia secara keseluruhannya(lihat laporan "FIZIK PRIMODIUM ALLATRA" dan dalam buku "AllatRa" 50 halaman terakhir tentang laluan untuk membina masyarakat kreatif). Dan wang (tenaga) yang ahli perniagaan bersedia untuk memberi kepada sains, jika ia perlu digunakan, ia harus digunakan dengan betul, atau sesuatu, tanpa memalukan. Semangat Perkhidmatan Sejati, tidak kira bagaimana anda melihatnya, tidak ternilai dari segi kewangan: “ Apakah satu juta jika dibandingkan?, dengan kesucian, atau kebesaran sfera tersebut (mengenai dimensi Alam Semesta global dan dunia Rohani, lihat buku itu"AllatRa" dan laporan"PRIMODIUM ALLATRA FIZIK"), di mana tidak dapat menembusi walaupun manusia imaginasi (fikiran)?! Apakah sejuta langit berbintang untuk masa?!”

Marilah kita memberi tafsiran bagi istilah yang tinggal yang terdapat dalam rumusan hipotesis:

Topologi - (daripada bahasa Yunani topos - tempat dan logos - pengajaran) - satu cabang matematik yang mengkaji sifat topologi rajah, i.e. sifat yang tidak berubah di bawah sebarang ubah bentuk yang dihasilkan tanpa pecah dan melekat (lebih tepat, dengan pemetaan satu sama satu dan berterusan). Contoh sifat topologi rajah ialah dimensi, bilangan lengkung yang membatasi kawasan tertentu, dsb. Oleh itu, bulatan, elips, dan garis besar segi empat sama mempunyai sifat topologi yang sama, kerana garisan ini boleh diubah bentuk menjadi satu sama lain mengikut cara yang diterangkan di atas; pada masa yang sama, cincin dan bulatan mempunyai sifat topologi yang berbeza: bulatan dihadkan oleh satu kontur, dan cincin dengan dua.

Homeomorfisme (Greek ομοιο - serupa, μορφη - bentuk) ialah korespondensi satu dengan satu antara dua ruang topologi, di mana kedua-dua peta saling songsang yang ditakrifkan oleh surat-menyurat ini adalah berterusan. Pemetaan ini dipanggil homeomorphic, atau pemetaan topologi, serta homeomorphism, dan ruang dikatakan tergolong dalam jenis topologi yang sama dan dipanggil homeomorphic, atau setara dari segi topologi.

Manifold tiga dimensi tanpa tepi. Ini adalah objek geometri di mana setiap titik mempunyai kejiranan dalam bentuk bola tiga dimensi. Contoh 3-manifold termasuk, pertama, keseluruhan ruang tiga dimensi, dilambangkan dengan R3, serta mana-mana set mata terbuka dalam R3, contohnya, bahagian dalam torus pepejal (donut). Jika kita menganggap torus pepejal tertutup, i.e. tambahkan titik sempadannya (permukaan torus), maka kita mendapat manifold dengan tepi - titik tepi tidak mempunyai kejiranan dalam bentuk bola, tetapi hanya dalam bentuk setengah bola.

Torus pepejal (torus pepejal) ialah homeomorfik badan geometri kepada hasil cakera dua dimensi dan bulatan D2 * S1. Secara tidak formal, torus pepejal ialah donat, manakala torus hanyalah permukaannya (ruang berongga roda).

Bersambung sahaja. Ini bermakna bahawa sebarang lengkung tertutup berterusan yang terletak sepenuhnya dalam manifold tertentu boleh dikontrak dengan lancar ke satu titik tanpa meninggalkan manifold ini. Sebagai contoh, sfera dua dimensi biasa dalam R3 disambungkan secara ringkas (gelang getah, diletakkan dalam apa-apa cara pada permukaan epal, boleh ditarik bersama dengan lancar ke satu titik tanpa mengoyakkan gelang getah daripada epal). Sebaliknya, bulatan dan torus tidak hanya disambungkan.

Padat. Manifold adalah padat jika mana-mana imej homeomorfiknya mempunyai dimensi sempadan. Sebagai contoh, selang terbuka pada garisan (semua titik segmen kecuali hujungnya) adalah tidak padat, kerana ia boleh terus dilanjutkan ke garisan tak terhingga. Tetapi segmen tertutup (dengan hujung) ialah manifold padat dengan tepi: untuk sebarang ubah bentuk berterusan, hujung pergi ke beberapa titik tertentu, dan keseluruhan segmen mesti masuk ke lengkung terikat yang menghubungkan titik-titik ini.

Bersambung...

Ilnaz Basharov

kesusasteraan:

– Laporkan “PRIMODIUM ALLATRA FIZICS” oleh sekumpulan saintis antarabangsa International Social Movement “ALLATRA”, ed. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Yang baru. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013. http://schambala.com.ua/book/a... .

- Yang baru. A., "Sensei-IV", K.: LOTOS, 2013, 632 p. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, Doktor Fizik dan Matematik. Sains, penyelidik kanan di cawangan St. Petersburg Institut Matematik Akademi Sains Rusia

Institut Matematik Tanah Liat menganugerahkan Hadiah Milenium kepada Grigory Perelman, dengan itu secara rasmi mengiktiraf bukti ahli matematik Rusia tentang sangkaan Poincaré sebagai betul. Perlu diperhatikan bahawa dalam kes ini institut terpaksa melanggar peraturan sendiri- menurut mereka, hanya pengarang yang telah menerbitkan karyanya dalam jurnal semakan rakan sebaya boleh mendakwa menerima kira-kira satu juta dolar, ini adalah saiz anugerah. Karya Grigory Perelman tidak pernah secara rasmi melihat cahaya hari - ia kekal sebagai satu set beberapa pracetak di tapak web arXiv.org (satu, dua dan tiga). Walau bagaimanapun, tidak begitu penting apa yang menyebabkan keputusan institut itu - penganugerahan Hadiah Milenium menamatkan sejarah yang lebih daripada 100 tahun lamanya.

Sebuah cawan, donat dan beberapa topologi

Sebelum mengetahui apa itu tekaan Poincaré, adalah perlu untuk memahami jenis cabang matematik itu - topologi - yang mana hipotesis ini tergolong. Topologi manifold berkaitan dengan sifat permukaan yang tidak berubah di bawah ubah bentuk tertentu. Mari kita terangkan dengan contoh klasik. Mari kita anggap bahawa pembaca mempunyai donat di hadapannya dan cawan kosong. Dari sudut geometri dan akal fikiran- Ini objek yang berbeza jika hanya kerana anda tidak akan dapat minum kopi dari donat walaupun anda mahu.

Walau bagaimanapun, ahli topologi akan mengatakan bahawa cawan dan donat adalah perkara yang sama. Dan dia akan menerangkannya dengan cara ini: bayangkan bahawa cawan dan donat adalah permukaan berongga yang diperbuat daripada bahan yang sangat elastik (ahli matematik akan mengatakan bahawa terdapat sepasang manifold dua dimensi padat). Mari kita jalankan eksperimen spekulatif: mula-mula kita tiup bahagian bawah cawan, dan kemudian pemegangnya, selepas itu ia akan berubah menjadi torus (ini adalah nama matematik untuk bentuk donat). Anda boleh melihat rupa proses ini.

Sudah tentu, pembaca yang ingin tahu mempunyai soalan: kerana permukaan boleh berkedut, bagaimana seseorang boleh membezakan antara mereka? Lagipun, sebagai contoh, ia jelas secara intuitif - tidak kira betapa besar torus itu, anda tidak boleh mendapatkan sfera daripadanya tanpa pecah dan melekat. Di sinilah invarian yang dipanggil - ciri permukaan yang tidak berubah semasa ubah bentuk - konsep yang diperlukan untuk penggubalan hipotesis Poincaré.

Akal sehat memberitahu kita bahawa perbezaan antara torus dan sfera ialah lubang. Walau bagaimanapun, lubang adalah jauh dari konsep matematik, jadi ia perlu diformalkan. Ini dilakukan dengan cara ini: bayangkan bahawa pada permukaan kita mempunyai benang elastik yang sangat nipis membentuk gelung (dalam eksperimen spekulatif ini, tidak seperti yang sebelumnya, kita menganggap permukaan itu sendiri sebagai pepejal). Kami akan menggerakkan gelung tanpa mengangkatnya dari permukaan atau mengoyakkannya. Jika benang boleh ditarik ke bulatan yang sangat kecil (hampir satu titik), maka gelung itu dikatakan boleh menguncup. Jika tidak gelung dipanggil tidak boleh dikontrak.

Kumpulan asas torus dilambangkan dengan n 1 (T 2). Kerana ia tidak remeh, lengan tetikus membentuk gelung yang tidak boleh dikontrak. Kesedihan di wajah haiwan itu adalah hasil daripada menyedari hakikat ini.

Jadi, mudah untuk melihat bahawa pada sfera mana-mana gelung boleh dikontrak (anda boleh melihat rupanya), tetapi untuk torus ini tidak lagi benar: pada donat terdapat dua gelung - satu diikat ke dalam lubang, dan yang satu lagi mengelilingi lubang "di sepanjang perimeter", - yang tidak boleh ditarik keluar. Dalam gambar ini, contoh gelung tidak boleh ditarik ditunjukkan dalam warna merah dan ungu masing-masing. Apabila terdapat gelung di permukaan, ahli matematik mengatakan bahawa "kumpulan asas varieti adalah tidak penting," dan jika tidak ada gelung sedemikian, maka ia adalah remeh.

Sekarang, untuk merumuskan tekaan Poincaré secara jujur, pembaca yang ingin tahu perlu bersabar sedikit lagi: kita perlu memikirkan apakah manifold tiga dimensi secara umum dan sfera tiga dimensi khususnya.

Mari kita kembali sebentar ke permukaan yang kita bincangkan di atas. Setiap daripada mereka boleh dipotong menjadi kepingan kecil yang setiap satu akan hampir menyerupai sekeping satah. Oleh kerana satah hanya mempunyai dua dimensi, mereka mengatakan bahawa manifold adalah dua dimensi. Manifold tiga dimensi ialah permukaan yang boleh dipotong menjadi kepingan kecil, setiap satunya sangat serupa dengan sekeping ruang tiga dimensi biasa.

utama" pelakon"hipotesis ialah sfera tiga dimensi. Mungkin mustahil untuk membayangkan sfera tiga dimensi sebagai analog sfera biasa dalam ruang empat dimensi tanpa kehilangan fikiran anda. Walau bagaimanapun, agak mudah untuk menggambarkan objek ini, jadi untuk bercakap, "sebahagian." telah melihat dunia, mereka tahu bahawa sfera biasa boleh dilekatkan bersama dari utara dan hemisfera selatan sepanjang khatulistiwa. Jadi, sfera tiga dimensi dilekatkan bersama dari dua bola (utara dan selatan) di sepanjang sfera, yang merupakan analog khatulistiwa.

Pada manifold tiga dimensi kita boleh mempertimbangkan gelung yang sama yang kita ambil pada permukaan biasa. Jadi, konjektur Poincaré menyatakan: "Jika kumpulan asas manifold tiga dimensi adalah remeh, maka ia adalah homeomorfik kepada sfera." Frasa yang tidak dapat difahami "homeomorphic to a sfera" apabila diterjemahkan ke dalam bahasa tidak formal bermaksud bahawa permukaan boleh diubah bentuk menjadi sfera.

Sedikit sejarah

Secara umumnya, dalam matematik kita boleh merumus bilangan yang besar pernyataan yang kompleks. Walau bagaimanapun, apakah yang menjadikan hipotesis ini atau itu hebat, membezakannya daripada yang lain? Anehnya, hipotesis yang hebat itu dibezakan oleh sejumlah besar bukti yang tidak betul, yang masing-masing mengandungi ralat besar - ketidaktepatan yang sering membawa kepada kemunculan cabang matematik yang baru.

Jadi, pada mulanya Henri Poincaré, yang dibezakan, antara lain, dengan keupayaannya membuat kesilapan yang cemerlang, merumuskan hipotesis dalam bentuk yang sedikit berbeza daripada yang kami tulis di atas. Beberapa lama kemudian, dia memberikan contoh balas kepada kenyataannya, yang dikenali sebagai homological Poincaré 3-sfera, dan pada tahun 1904 dia merumuskan satu tekaan yang sudah ada dalam bentuk moden. Sfera, dengan cara itu, baru-baru ini digunakan oleh saintis dalam astrofizik - ternyata Alam Semesta mungkin berubah menjadi Poincaré 3-sfera homologi.

Harus dikatakan bahawa hipotesis itu tidak menimbulkan keseronokan di kalangan rakan-rakan geometer. Ini berlaku sehingga tahun 1934, apabila ahli matematik British John Henry Whitehead membentangkan versi bukti hipotesisnya. Tidak lama kemudian, bagaimanapun, dia sendiri mendapati kesilapan dalam penalarannya, yang kemudiannya membawa kepada kemunculan keseluruhan teori varieti Whitehead.

Selepas ini, hipotesis secara beransur-ansur memperoleh reputasi tugas yang sangat sukar. Ramai ahli matematik yang hebat cuba mengatasinya. Sebagai contoh, Er Ash Bing Amerika (R.H.Bing), seorang ahli matematik, yang (secara rasminya) mempunyai inisial yang ditulis dalam dokumennya dan bukannya namanya. Dia membuat beberapa percubaan yang tidak berjaya untuk membuktikan hipotesis, merumuskan pernyataannya sendiri semasa proses ini - apa yang dipanggil "dugaan P harta" (dugaan Harta P). Perlu diperhatikan bahawa kenyataan ini, yang dianggap oleh Bing sebagai perantaraan, ternyata hampir lebih sukar daripada bukti sangkaan Poincaré itu sendiri.

Di kalangan saintis juga ada orang yang berkorban untuk membuktikan fakta matematik ini. Sebagai contoh, ahli matematik terkenal asal Yunani Christos Papakiriakopoulos. Selama lebih daripada sepuluh tahun, semasa bekerja di Princeton, dia cuba membuktikan hipotesis itu tetapi tidak berjaya. Dia meninggal dunia akibat kanser pada tahun 1976.

Perlu diperhatikan bahawa generalisasi konjektur Poincaré kepada manifold dimensi yang lebih tinggi daripada tiga ternyata lebih mudah daripada yang asal - dimensi tambahan memudahkan untuk memanipulasi manifold. Oleh itu, untuk manifold n-dimensi (untuk n sekurang-kurangnya 5), tekaan telah dibuktikan oleh Stephen Smale pada tahun 1961. Untuk n = 4, tekaan telah dibuktikan menggunakan kaedah yang sama sekali berbeza daripada Smail pada tahun 1982 oleh Michael Friedman. Sebagai buktinya, yang terakhir menerima Pingat Fields, anugerah tertinggi untuk ahli matematik.

Kerja yang diterangkan jauh dari senarai penuh percubaan untuk menyelesaikan hipotesis lebih daripada abad lamanya. Dan walaupun setiap karya membawa kepada kemunculan keseluruhan arah dalam matematik dan boleh dianggap berjaya dan penting dalam pengertian ini, hanya Grigory Perelman Rusia yang akhirnya dapat membuktikan sangkaan Poincaré.

Perelman dan bukti

Pada tahun 1992, Grigory Perelman, kemudian seorang pekerja Institut Matematik dinamakan sempena. Steklov, menghadiri kuliah oleh Richard Hamilton. Ahli matematik Amerika itu bercakap tentang aliran Ricci - alat baru untuk mengkaji tekaan geometri Thurston - fakta yang mana sangkaan Poincaré diperoleh sebagai akibat mudah. Aliran ini, agak serupa dengan persamaan pemindahan haba, menyebabkan permukaan berubah bentuk dari semasa ke semasa dengan cara yang sama seperti kami mengubah bentuk permukaan dua dimensi pada permulaan artikel ini. Ternyata dalam beberapa kes hasil ubah bentuk tersebut adalah objek yang strukturnya mudah difahami. Kesukaran utama ialah semasa ubah bentuk, ciri-ciri dengan kelengkungan tak terhingga timbul, analog dari segi tertentu dengan lubang hitam dalam astrofizik.

Selepas kuliah, Perelman menghampiri Hamilton. Dia kemudiannya berkata bahawa Richard dengan senang hati mengejutkannya: “Dia tersenyum dan sangat sabar memberitahu saya beberapa fakta yang diterbitkan hanya beberapa tahun kemudian dia melakukannya tanpa teragak-agak cukup." bahawa kebanyakan ahli matematik moden berkelakuan seperti ini."

Selepas perjalanan ke Amerika Syarikat, Perelman kembali ke Rusia, di mana dia mula berusaha menyelesaikan masalah singulariti aliran Ricci dan membuktikan hipotesis geometrisasi (dan bukan tekaan Poincaré) secara rahsia daripada semua orang. Tidak menghairankan bahawa kemunculan pracetak pertama Perelman pada 11 November 2002 mengejutkan komuniti matematik. Selepas beberapa lama, beberapa karya lagi muncul.

Selepas ini, Perelman menarik diri daripada membincangkan pembuktian malah, kata mereka, berhenti membuat matematik. Dia tidak mengganggu gaya hidupnya yang terpencil walaupun pada tahun 2006, apabila dia dianugerahkan Fields Medal, anugerah paling berprestij untuk ahli matematik. Tidak masuk akal untuk membincangkan sebab-sebab kelakuan pengarang ini - seorang jenius mempunyai hak untuk berkelakuan aneh (contohnya, semasa di Amerika, Perelman tidak memotong kukunya, membenarkan mereka berkembang dengan bebas).

Walau apa pun, bukti Perelman mengambil kehidupan yang berasingan daripadanya: tiga cetakan awal menghantui ahli matematik moden. Keputusan pertama untuk menguji idea ahli matematik Rusia muncul pada tahun 2006 - ahli geometer terkenal Bruce Kleiner dan John Lott dari Universiti Michigan menerbitkan pracetak karya mereka sendiri, lebih seperti buku dalam saiz - 213 halaman. Dalam karya ini, saintis memeriksa dengan teliti semua pengiraan Perelman, menerangkan secara terperinci pelbagai pernyataan yang hanya digariskan secara ringkas dalam kerja ahli matematik Rusia. Keputusan penyelidik adalah jelas: buktinya betul-betul betul.

Satu giliran yang tidak dijangka dalam cerita ini datang pada bulan Julai tahun yang sama. Dalam majalah Jurnal Matematik Asia Artikel oleh ahli matematik China Xiping Zhu dan Huaidong Cao bertajuk "Bukti lengkap sangkaan geometri Thurston dan sangkaan Poincaré" muncul. Dalam rangka kerja ini, keputusan Perelman dianggap penting, berguna, tetapi secara eksklusif pertengahan. kerja ini menyebabkan kejutan di kalangan pakar di Barat, tetapi menerima ulasan yang sangat baik di Timur. Secara khususnya, hasilnya disokong oleh Shintan Yau, salah seorang pengasas teori Calabi-Yau, yang meletakkan asas bagi teori rentetan, serta guru Cao dan Ju. Secara kebetulan, Yau yang merupakan ketua pengarang majalah itu Jurnal Matematik Asia, di mana karya itu diterbitkan.

Selepas ini, ahli matematik mula mengembara ke seluruh dunia memberikan kuliah popular, bercakap tentang pencapaian ahli matematik Cina. Akibatnya, terdapat bahaya bahawa tidak lama lagi keputusan Perelman dan juga Hamilton akan diturunkan ke latar belakang. Ini telah berlaku lebih daripada sekali dalam sejarah matematik - banyak teorem yang mengandungi nama ahli matematik tertentu telah dicipta oleh orang yang sama sekali berbeza.

Bagaimanapun, ini tidak berlaku dan mungkin tidak akan berlaku sekarang. Menyampaikan Hadiah Clay Perelman (walaupun dia enggan) selama-lamanya mengukuhkan dalam kesedaran umum suatu fakta: Ahli matematik Rusia Grigory Perelman membuktikan sangkaan Poincaré. Dan tidak mengapa sebenarnya dia membuktikan fakta yang lebih umum, mengembangkan sepanjang jalan teori yang sama sekali baru tentang keanehan Ricci mengalir. Sekurang-kurangnya dengan cara itu. Ganjaran telah menemui wira.

Ahli matematik Yakov Perelman: sumbangan kepada sains. Ahli matematik terkenal Rusia Grigory Perelman

Pemulihan kata laluan