Ahli matematik Yakov Perelman: sumbangan kepada sains. Ahli matematik terkenal Rusia Grigory Perelman

Sejarah umat manusia mengenali ramai orang yang, berkat kebolehan mereka yang luar biasa, menjadi terkenal. Walau bagaimanapun, patut dikatakan bahawa jarang ada di antara mereka yang berjaya menjadi legenda sebenar sepanjang hayat mereka dan mencapai kemasyhuran bukan sahaja dalam bentuk meletakkan potret dalam buku teks sekolah. Beberapa selebriti telah mencapai tahap kemasyhuran sedemikian, yang disahkan oleh perbualan di seluruh dunia. komuniti saintifik, dan nenek duduk di bangku di pintu masuk.

Tetapi di Rusia ada orang seperti itu. Dan dia hidup pada zaman kita. Ini adalah ahli matematik Grigory Yakovlevich Perelman. Pencapaian utama saintis Rusia yang hebat ini adalah bukti dugaan Poincaré.

Malah mana-mana orang Sepanyol biasa tahu bahawa Grigory Perelman adalah ahli matematik paling terkenal di dunia. Lagipun, saintis ini enggan menerima Hadiah Fields, yang sepatutnya disampaikan kepadanya oleh Raja Sepanyol sendiri. Dan, tanpa sebarang keraguan, hanya orang terhebat yang mampu melakukan ini.

Keluarga

Grigory Perelman dilahirkan pada 13 Jun 1966 di Ibu kota utara Rusia - bandar Leningrad. Bapa genius masa depan adalah seorang jurutera. Pada tahun 1993, dia meninggalkan keluarganya dan berhijrah ke Israel.

Ibu Gregory, Lyubov Leibovna, bekerja sebagai guru matematik di sebuah sekolah vokasional. Dia, bermain biola, menanamkan kepada anaknya cinta muzik klasik.

Grigory Perelman bukanlah satu-satunya anak dalam keluarga itu. Dia mempunyai seorang kakak yang 10 tahun lebih muda daripadanya. Nama dia Elena. Dia juga seorang ahli matematik; dia lulus dari Universiti St. Petersburg (pada tahun 1998). Pada tahun 2003, Elena Perelman mempertahankan disertasinya untuk ijazah Doktor Falsafah di Institut Reizmann di Rehovot. Sejak 2007 dia telah tinggal di Stockholm, di mana dia bekerja sebagai pengaturcara.

Tahun persekolahan

Grigory Perelman, yang biografinya sedemikian rupa sehingga hari ini dia adalah ahli matematik paling terkenal di dunia, adalah seorang budak Yahudi yang pemalu dan pendiam semasa kecil. Walau bagaimanapun, walaupun ini, dia jauh lebih unggul daripada rakan-rakannya dalam pengetahuan. Dan ini membolehkan dia berkomunikasi dengan orang dewasa hampir pada istilah yang sama. Rakan sebayanya masih bermain di halaman rumah dan membuat kek pasir, tetapi Grisha sudah memahami sepenuhnya asas sains matematik. Buku-buku yang ada di perpustakaan keluarga membolehkannya melakukan ini. Ibu kepada saintis masa depan, yang hanya cinta dengan sains tepat ini, juga menyumbang kepada pemerolehan pengetahuan. Juga, ahli matematik Rusia masa depan Grigory Perelman bersemangat tentang sejarah dan bermain catur yang sangat baik, yang diajar oleh bapanya kepadanya.

Tiada siapa yang memaksa budak itu duduk di atas buku teks. Ibu bapa Grigory Perelman tidak pernah menyeksa anak mereka dengan ajaran moral bahawa ilmu adalah kuasa. Dia menemui dunia sains sepenuhnya secara semula jadi dan tanpa sebarang ketegangan. Dan ini sepenuhnya difasilitasi oleh keluarga, yang kultus utamanya bukanlah wang, tetapi pengetahuan. Ibu bapa tidak pernah memarahi Grisha kerana butang yang hilang atau lengan baju yang kotor. Walau bagaimanapun, ia dianggap memalukan, sebagai contoh, untuk memalsukan melodi pada biola.

Ahli matematik masa depan Perelman pergi ke sekolah pada usia enam tahun. Pada usia ini, beliau telah berpengetahuan menyeluruh dalam semua mata pelajaran. Grisha dengan mudah menulis, membaca dan membuat persembahan operasi matematik, menggunakan nombor tiga digit. Dan inilah masanya rakan sekelasnya baru belajar mengira hingga seratus.

Di sekolah, ahli matematik masa depan Perelman adalah salah seorang pelajar yang paling kuat. Dia berulang kali menjadi pemenang pertandingan matematik All-Russian. Sehingga gred ke-9, saintis Rusia masa depan hadir sekolah menengah, terletak di pinggir Leningrad, tempat keluarganya tinggal. Kemudian dia berpindah ke sekolah 239. Dia mempunyai latar belakang fizik dan matematik. Di samping itu, dari gred kelima, Gregory menghadiri pusat matematik yang dibuka di Istana Perintis. Kelas di sini dijalankan di bawah bimbingan Sergei Rukshin, seorang profesor bersekutu di Universiti Pedagogi Negeri Rusia. Pelajar ahli matematik ini sentiasa memenangi anugerah di pelbagai Olimpik matematik.

Pada tahun 1982, Grigory, sebagai sebahagian daripada pasukan pelajar sekolah Soviet, mempertahankan kehormatan negara di Olimpik Matematik Antarabangsa, yang diadakan di Hungary. Lelaki kami kemudiannya mendapat tempat pertama. Dan Perelman, yang memperoleh mata maksimum yang mungkin, menerima pingat emas untuk penyempurnaan sempurna semua tugas yang dicadangkan di Olimpik. Hari ini kita boleh mengatakan bahawa ini adalah anugerah terakhir yang dia terima untuk kerjanya.

Nampaknya Gregory, seorang pelajar cemerlang dalam semua mata pelajaran, tanpa sebarang keraguan, sepatutnya lulus dari sekolah dengan pingat emas. Walau bagaimanapun, dia dikecewakan oleh pendidikan jasmani, yang mana dia tidak dapat melepasi standard yang diperlukan. Guru kelas hanya perlu memohon kepada guru untuk memberikan budak lelaki itu B pada sijilnya. Ya, Grisha tidak suka aktiviti sukan. Walau bagaimanapun, dia sama sekali tidak mempunyai kerumitan tentang perkara ini. Pendidikan jasmani tidak begitu menarik minatnya seperti disiplin lain. Dia selalu berkata bahawa dia yakin bahawa badan kita memerlukan latihan, tetapi pada masa yang sama dia lebih suka melatih bukan tangan dan kaki kita, tetapi otak kita.

Hubungan dalam pasukan

Di sekolah, ahli matematik masa depan Perelman adalah kegemaran. Bukan sahaja guru-gurunya, malah rakan sekelasnya turut bersimpati dengannya. Grisha bukanlah seorang pengacau atau nerd. Dia tidak membenarkan dirinya untuk mempamerkan ilmu yang diperolehnya, yang kedalamannya kadang-kadang mengelirukan juga guru-gurunya. Dia hanya seorang kanak-kanak yang berbakat, berminat bukan sahaja dalam membuktikan teorem kompleks, tetapi juga dalam muzik klasik. Kanak-kanak perempuan menghargai rakan sekelas mereka kerana kesipian dan kepintarannya, dan lelaki kerana perwatakannya yang tegas dan tenang. Grisha bukan sahaja belajar dengan mudah. Dia juga membantu rakan sekelasnya yang ketinggalan dalam menguasai ilmu.

DALAM zaman Soviet Setiap pelajar miskin diberikan seorang pelajar yang kuat yang membantunya meningkatkan dalam beberapa mata pelajaran. Perintah yang sama diberikan kepada Gregory. Dia terpaksa membantu rakan sekelas yang langsung tidak berminat untuk belajar. Tidak sampai dua bulan kelas telah berlalu sebelum Grisha mengubah seorang pelajar miskin menjadi pelajar yang mantap. Dan ini tidak menghairankan. Lagipun, menyampaikan bahan kompleks pada tahap yang boleh diakses adalah salah satu kebolehan unik ahli matematik terkenal Rusia. Terima kasih kepada kualiti ini, teorem Poincaré telah dibuktikan pada masa hadapan oleh Gregory Perelman.

Tahun pelajar

Selepas berjaya disiapkan sekolah Grigory Perelman menjadi pelajar di Leningradsky universiti negeri. Tanpa sebarang peperiksaan, beliau telah mendaftar di Fakulti Matematik dan Mekanik institusi pengajian tinggi ini.

Perelman tidak kehilangan minatnya dalam matematik semasa zaman pelajarnya. Dia sentiasa menjadi pemenang Olimpik universiti, bandar, dan semua-Kesatuan. Ahli matematik Rusia masa depan belajar dengan jayanya seperti di sekolah. Atas pengetahuan cemerlangnya, beliau telah dianugerahkan Biasiswa Lenin.

Latihan lanjutan

Selepas menamatkan pengajian dengan kepujian dari universiti, Grigory Perelman memasuki sekolah siswazah. Penyelia saintifiknya pada tahun-tahun itu ialah ahli matematik terkenal NERAKA. Alexandrov.

Sekolah siswazah itu terletak di cawangan Leningrad Institut Matematik yang dinamakan selepas itu. V.A. Steklova. Pada tahun 1992, Grigory Yakovlevich mempertahankan tesis Ph.D. Topik kerjanya berkenaan permukaan pelana dalam ruang Euclidean. Kemudian, Perelman kekal bekerja di institut yang sama, mengambil jawatan penyelidik kanan di makmal fizik matematik. Dalam tempoh ini, beliau terus mengkaji teori ruang dan dapat membuktikan beberapa hipotesis.

Bekerja di Amerika Syarikat

Pada tahun 1992, Grigory Perelman telah dijemput ke Universiti Stony Brook dan Universiti New York. Ini institusi pendidikan Amerika menjemput saintis itu untuk menghabiskan satu semester di sana.

Pada tahun 1993, Grigory Yakovlevich terus mengajar di Berkeley, dan pada masa yang sama memimpin di sana. kerja saintifik. Pada masa inilah Grigory Perelman mula berminat dengan teorem Poincaré. Ini adalah masalah paling kompleks dalam matematik moden yang belum diselesaikan pada masa itu.

Kembali ke Rusia

Pada tahun 1996, Grigory Yakovlevich kembali ke St. Petersburg. Beliau sekali lagi menerima jawatan sebagai penyelidik di Institut. Steklova. Pada masa yang sama, dia bekerja sendiri pada tekaan Poincaré.

Penerangan tentang teori

Masalahnya timbul pada tahun 1904. Pada masa itu ahli sains Perancis Andry Poincaré, yang dalam kalangan saintifik dianggap sebagai universalis matematik kerana pembangunan kaedah baru mekanik cakerawala dan penciptaan topologi, mengemukakan hipotesis matematik baru. Dia mencadangkan bahawa ruang di sekeliling kita adalah sfera tiga dimensi.

Agak sukar untuk menerangkan intipati hipotesis untuk orang biasa. Terlalu banyak ilmu di dalamnya. Sebagai contoh, seseorang boleh membayangkan yang biasa belon. Dalam sarkas, pelbagai jenis figura boleh dibuat daripadanya. Ini boleh menjadi anjing, arnab dan bunga. Jadi apa hasilnya? Bola tetap sama. Dia tidak mengubahnya sifat fizikal, mahupun komposisi molekul.

Begitu juga dengan hipotesis ini. Topik beliau berkaitan dengan topologi. Ini adalah cabang geometri yang mengkaji kepelbagaian yang ada pada objek spatial. Topologi mengkaji pelbagai objek yang secara lahiriah tidak serupa antara satu sama lain dan mencari ciri-ciri umum di dalamnya.

Poincaré cuba membuktikan fakta bahawa Alam Semesta kita mempunyai bentuk sfera. Menurut teorinya, semua manifold tiga dimensi yang disambungkan secara ringkas mempunyai struktur yang sama. Mereka hanya disambungkan kerana kehadiran satu kawasan berterusan badan di mana tiada lubang melalui. Ia boleh menjadi sekeping kertas dan gelas, tali dan epal. Tetapi colander dan cawan dengan pemegang adalah objek yang sama sekali berbeza dalam intipatinya.

Konsep geomorfisme mengikuti dari topologi. Ia termasuk konsep objek geomorfik, iaitu apabila seseorang boleh diperolehi daripada yang lain dengan meregangkan atau memampatkan. Sebagai contoh, bola (sekeping tanah liat) dari mana tukang periuk membuat periuk biasa. Dan jika tuan tidak menyukai produk itu, dia boleh segera mengubahnya kembali menjadi bola. Jika tukang periuk membuat keputusan untuk membuat cawan, maka pemegangnya perlu dibuat secara berasingan. Iaitu, dia mencipta objeknya dengan cara yang berbeza, mendapatkan bukan pepejal, tetapi produk komposit.

Mari kita anggap bahawa semua objek di dunia kita terdiri daripada bahan elastik, tetapi pada masa yang sama tidak melekit. Bahan ini tidak membenarkan kami melekatkan bahagian individu dan menutup lubang. Ia hanya boleh digunakan untuk memerah atau memerah. Hanya dalam kes ini borang baru akan diperolehi.

Ini adalah maksud utama sangkaan Poincaré. Ia mengatakan bahawa jika anda mengambil apa-apa objek tiga dimensi yang tidak mempunyai lubang, maka, apabila melakukan pelbagai manipulasi, tetapi tanpa melekat dan memotong, ia boleh mengambil bentuk bola.

Walau bagaimanapun, hipotesis hanyalah versi yang dinyatakan. Dan ini berterusan sehingga penjelasan yang tepat ditemui. Andaian Poincaré kekal sedemikian sehingga ia disahkan oleh pengiraan tepat ahli matematik muda Rusia itu.

Mengusahakan masalah

Grigory Perelman menghabiskan beberapa tahun hidupnya membuktikan sangkaan Poincaré. Selama ini dia hanya memikirkan tentang kerjanya sahaja. Dia sentiasa mencari cara dan pendekatan yang betul untuk menyelesaikan masalah dan menyedari bahawa buktinya berada di suatu tempat yang berdekatan. Dan ahli matematik itu tidak silap.

Walaupun semasa tahun pelajarnya, saintis masa depan sering mengulangi frasa bahawa tidak ada masalah yang tidak dapat diselesaikan. Ada sahaja yang sukar dikawal. Dia sentiasa percaya bahawa segala-galanya hanya bergantung pada data awal dan masa yang digunakan untuk mencari yang hilang.

Semasa tinggal di Amerika, Grigory Yakovlevich sering menghadiri pelbagai acara. Perelman sangat berminat dengan kuliah yang diketuai oleh ahli matematik Richard Hamilton. Saintis ini juga cuba membuktikan sangkaan Poincaré. Hamilton juga membangunkan kaedah aliran Ricci sendiri, yang, sebaliknya, bukan milik matematik, tetapi fizik. Walau bagaimanapun, semua ini berminat Grigory Yakovlevich sangat.

Selepas kembali ke Rusia, Perelman benar-benar terjun ke dalam menyelesaikan masalah itu. Dan selepas tempoh yang singkat, dia berjaya membuat kemajuan yang ketara dalam perkara ini. Dia mendekati penyelesaian masalah dengan cara yang sama sekali tidak konvensional. Dia menggunakan aliran Ricci sebagai alat bukti.

Perelman menghantar pengiraannya kepada rakan sekerjanya dari Amerika. Walau bagaimanapun, dia tidak cuba menyelidiki pengiraan saintis muda itu dan dengan tegas menolak untuk menjalankan kerja bersama.

Sudah tentu, keraguannya dapat dijelaskan dengan mudah. Lagipun, apabila memberikan keterangan, Perelman lebih bergantung pada postulat yang terdapat dalam fizik teori. Topologi masalah geometri diselesaikan oleh beliau dengan bantuan ilmu-ilmu yang berkaitan. Kaedah ini benar-benar tidak dapat difahami pada pandangan pertama. Hamilton tidak memahami pengiraan dan ragu-ragu tentang simbiosis yang tidak dijangka yang digunakan sebagai bukti.

Dia melakukan apa yang menarik baginya

Untuk membuktikan teorem Poincaré (rumus matematik Alam Semesta), Grigory Perelman tidak muncul dalam kalangan saintifik selama tujuh tahun yang panjang. Rakan sekerja tidak tahu perkembangan apa yang dia lakukan atau bidang pengajiannya. Ramai yang tidak dapat menjawab soalan "Di manakah Grigory Perelman sekarang?"

Segala-galanya telah diselesaikan pada November 2002. Dalam tempoh inilah salah satu sumber saintifik di mana seseorang boleh berkenalan dengan perkembangan terkini dan artikel oleh ahli fizik, kertas 39 halaman oleh Perelman muncul, di mana bukti teorem geometri telah diberikan. Konjektur Poincaré dianggap sebagai contoh khusus untuk menjelaskan intipati kajian.

Serentak dengan penerbitan ini, Grigory Yakovlevich menghantar karya yang telah disiapkannya kepada Richard Hamilton, dan juga kepada ahli matematik Ren Tian dari China, yang telah berkomunikasi dengannya di New York. Beberapa saintis lain, yang pendapatnya sangat dipercayai oleh Perelman, juga menerima bukti teorem itu.

Mengapakah kerja beberapa tahun kehidupan seorang ahli matematik begitu mudah dilepaskan, kerana bukti ini boleh sahaja dicuri? Bagaimanapun, Perelman yang menyelesaikan kerja berjuta-juta itu langsung tidak mahu mengaut keuntungan daripadanya atau menekankan keunikan dirinya. Beliau percaya jika terdapat kesilapan dalam keterangannya, maka ia boleh diambil sebagai asas oleh saintis lain. Dan ini sudah pasti memberinya kepuasan.

Ya, Grigory Yakovlevich tidak pernah menjadi orang baru. Dia sentiasa tahu apa yang dia mahukan dari kehidupan, dan mempunyai pendapat sendiri tentang apa-apa perkara, yang sering berbeza daripada yang diterima umum.

Wang tidak membeli kebahagiaan

Apakah keunikan Grigory Perelman? Bukan sahaja kerana dia membuktikan hipotesis termasuk dalam senarai tujuh masalah matematik alaf yang belum diselesaikan oleh saintis. Hakikatnya ialah Grigory Perelman menolak bonus berjuta-juta dolar bahawa Institut Matematik Boston bersedia untuk membayarnya. tanah liat. Dan ini tidak disertakan dengan sebarang penjelasan.

Sudah tentu, Perelman benar-benar mahu membuktikan sangkaan Poincaré. Dia bermimpi untuk menyelesaikan teka-teki yang tiada siapa yang menemui penyelesaiannya. Dan di sini saintis Rusia menunjukkan keghairahan seorang penyelidik. Pada masa yang sama, ia terjalin dengan perasaan memabukkan untuk menyedari diri sebagai penemu.

Kepentingan Grigory Yakovlevich dalam hipotesis berpindah ke dalam kategori "perkara yang telah dilakukan." Adakah seorang ahli matematik sejati memerlukan satu juta dolar? Tidak! Perkara utama baginya ialah perasaan kemenangannya sendiri. Dan adalah mustahil untuk mengukurnya dengan piawaian duniawi.

Mengikut peraturan, Hadiah Tanah Liat boleh diberikan apabila seseorang yang telah menyelesaikan satu atau beberapa "Masalah Milenium" menghantar artikel saintifiknya kepada editor jurnal institut itu. Di sini ia diperiksa secara terperinci dan diperiksa dengan teliti. Dan hanya selepas dua tahun keputusan boleh dibuat yang akan mengesahkan atau menyangkal ketepatan keputusan itu.

Pengesahan keputusan yang diperolehi oleh Perelman telah dijalankan dari tahun 2004 hingga 2006. Tiga kumpulan ahli matematik bebas terlibat dalam kerja ini. Mereka semua membuat kesimpulan yang jelas bahawa sangkaan Poincaré telah terbukti sepenuhnya.

Hadiah itu telah diberikan kepada Grigory Perelman pada Mac 2010. Buat pertama kali dalam sejarah, anugerah itu akan diberikan untuk menyelesaikan salah satu masalah dalam senarai "masalah matematik alaf". Bagaimanapun, Perelman langsung tidak hadir ke persidangan di Paris. Pada 1 Julai 2010, beliau secara terbuka mengumumkan penolakannya terhadap anugerah itu.

Sudah tentu, bagi kebanyakan orang perbuatan Perelman nampaknya tidak dapat dijelaskan. Lelaki itu mudah melepaskan penghormatan dan kemuliaan, dan juga terlepas peluang untuk berpindah ke Amerika dan tinggal dengan selesa di sana sepanjang hari-harinya. Walau bagaimanapun, untuk Grigory Yakovlevich semua ini tidak membawa apa-apa makna. Sama seperti dulu pelajaran sekolah pendidikan jasmani.

Penafian

Hari ini, Grigory Perelman tidak mengingatkan dirinya dalam perkataan atau perbuatan. Di manakah yang ini tinggal? lelaki yang cemerlang? Di Leningrad, di salah satu bangunan tinggi biasa di Kupchino. Grigory Perelman tinggal bersama ibunya. Kehidupan peribadinya tidak berjaya. Bagaimanapun, ahli matematik itu tidak berputus asa untuk membina keluarga.

Grigory Yakovlevich tidak berkomunikasi dengan wartawan Rusia. Dia mengekalkan hubungannya hanya dengan akhbar asing. Walau bagaimanapun, walaupun tertutup, minat terhadap orang ini tidak pudar. Buku ditulis tentang dia. Grigory Perelman sering disebut dalam artikel dan esei saintifik. Di manakah Grigory Perelman sekarang? Masih di tanah air saya. Ramai yang percaya bahawa mereka akan mendengar nama ini lebih daripada sekali, dan mungkin berkaitan dengan penyelesaian kepada "masalah milenium" seterusnya.

"Kenapa saya perlukan satu juta?"

Seluruh dunia mengetahui kisah tentang ahli matematik cemerlang Grigory Perelman, yang membuktikan sangkaan Poincaré dan menolak satu juta dolar. Baru-baru ini, saintis tertutup itu akhirnya menjelaskan mengapa dia tidak mengambil hadiah yang sepatutnya.

Semuanya bermula dengan fakta bahawa wartawan dan penerbit syarikat filem "President Film" Alexander Zabrovsky meneka untuk menghubungi ibu Grigory Yakovlevich melalui komuniti Yahudi St. Lagipun, sebelum ini, semua wartawan tidak berjaya duduk di tangga rumah ahli matematik yang hebat untuk menemu bualnya. Si ibu bercakap dengan anaknya, memberikan penerangan yang baik kepada wartawan, dan hanya selepas itu Perelman bersetuju dengan pertemuan itu.

Menurut Zabrovsky, Grigory Yakovlevich adalah orang yang benar-benar waras dan mencukupi, dan semua yang dikatakan tentangnya sebelum ini adalah omong kosong. Dia melihat di hadapannya matlamat tertentu dan tahu bagaimana untuk mendekatinya.

Syarikat filem "President Film", dengan persetujuan Perelman, merancang untuk membuat filem cereka tentangnya, "Formula of the Universe". Ahli matematik membuat hubungan demi filem ini, yang bukan tentang dia, tetapi mengenai kerjasama dan konfrontasi tiga sekolah matematik dunia utama: Rusia, Cina dan Amerika, yang paling maju di sepanjang laluan belajar dan mengurus Alam Semesta . Kepada soalan tentang juta itu, yang begitu membimbangkan semua yang terkejut dan ingin tahu, Perelman menjawab: “Saya tahu bagaimana untuk menguruskan Alam Semesta. Dan beritahu saya, mengapa saya perlu berlari untuk sejuta?”

Saintis itu juga bercakap tentang mengapa dia tidak berkomunikasi dengan wartawan. Sebabnya ialah mereka tidak mengambil berat tentang sains, tetapi tentang kehidupan peribadi mereka - memotong kuku dan sejuta. Dia tersinggung apabila akhbar memanggilnya Grisha;

Sejak zaman persekolahannya, Grigory Perelman terbiasa "melatih otaknya," iaitu menyelesaikan masalah yang memaksanya berfikir secara abstrak. Dan untuk mencari penyelesaian yang betul, adalah perlu untuk membayangkan "sekeping dunia." Sebagai contoh, seorang ahli matematik diminta mengira berapa laju Yesus Kristus perlu berjalan di atas air agar tidak terjatuh. Di sinilah timbul keinginan Perelman untuk mengkaji sifat-sifat ruang tiga dimensi Alam Semesta.

Mengapa perlu berjuang selama bertahun-tahun untuk membuktikan sangkaan Poincaré? Intipatinya ialah ini: jika permukaan tiga dimensi agak serupa dengan sfera, maka ia boleh diluruskan menjadi sfera. Pernyataan Poincaré dipanggil "Formula Alam Semesta" kerana kepentingannya dalam kajian proses fizikal yang kompleks dalam teori alam semesta dan kerana ia menjawab soalan tentang bentuk Alam Semesta.

Grigory Yakovlevich mencapai pengetahuan super yang membantu memahami alam semesta. Dan kini ahli matematik sentiasa di bawah pengawasan perkhidmatan perisikan Rusia dan asing: bagaimana jika Perelman menimbulkan ancaman kepada manusia? Lagipun, jika dengan bantuan pengetahuannya adalah mungkin untuk meruntuhkan Alam Semesta menjadi satu titik dan kemudian mengembangkannya, maka kita boleh mati atau dilahirkan semula dalam kapasiti yang berbeza? Dan kemudian adakah ia akan menjadi kita? Dan adakah kita perlu mengawal Alam Semesta?

Bukti yang bertahan satu abad

Grigory Perelman akhirnya dan tidak boleh ditarik balik memasuki sejarah

Institut Matematik Tanah Liat menganugerahkan Hadiah Milenium kepada Grigory Perelman, dengan itu secara rasmi mengiktiraf bukti ahli matematik Rusia tentang sangkaan Poincaré sebagai betul. Perlu diperhatikan bahawa dalam kes ini institut terpaksa melanggar peraturan sendiri- menurut mereka, hanya pengarang yang telah menerbitkan karyanya dalam jurnal semakan rakan sebaya boleh mendakwa menerima kira-kira satu juta dolar, ini adalah saiz anugerah. Karya Grigory Perelman tidak pernah secara rasmi melihat cahaya hari - ia kekal sebagai satu set beberapa pracetak di tapak web arXiv.org (satu, dua dan tiga). Walau bagaimanapun, tidak begitu penting apa yang menyebabkan keputusan institut itu - penganugerahan Hadiah Milenium menamatkan sejarah yang lebih daripada 100 tahun lamanya.

Sebuah cawan, donat dan beberapa topologi

Sebelum anda mengetahui apa itu tekaan Poincaré, anda perlu memikirkan jenis cabang matematik itu - topologi - yang mana hipotesis ini tergolong. Topologi manifold berkaitan dengan sifat permukaan yang tidak berubah di bawah ubah bentuk tertentu. Mari kita terangkan dengan contoh klasik. Mari kita anggap bahawa pembaca mempunyai donat di hadapannya dan cawan kosong. Dari sudut geometri dan akal, ini adalah objek yang berbeza jika hanya kerana anda tidak akan dapat minum kopi dari donat walaupun anda mahu.

Walau bagaimanapun, ahli topologi akan mengatakan bahawa cawan dan donat adalah perkara yang sama. Dan dia akan menerangkannya dengan cara ini: bayangkan bahawa cawan dan donat adalah permukaan berongga yang diperbuat daripada bahan yang sangat elastik (ahli matematik akan mengatakan bahawa terdapat sepasang manifold dua dimensi padat). Mari kita jalankan eksperimen spekulatif: mula-mula kita tiup bahagian bawah cawan, dan kemudian pemegangnya, selepas itu ia akan berubah menjadi torus (ini adalah nama matematik untuk bentuk donat). Anda boleh melihat bagaimana proses ini kelihatan.

Sudah tentu, pembaca yang ingin tahu mempunyai soalan: kerana permukaan boleh berkedut, bagaimana seseorang boleh membezakan antara mereka? Lagipun, sebagai contoh, ia jelas secara intuitif - tidak kira betapa besar torus itu, anda tidak boleh mendapatkan sfera daripadanya tanpa pecah dan melekat. Di sinilah invarian yang dipanggil - ciri permukaan yang tidak berubah semasa ubah bentuk - konsep yang diperlukan untuk penggubalan hipotesis Poincaré.

Akal sehat memberitahu kita bahawa perbezaan antara torus dan sfera ialah lubang. Walau bagaimanapun, lubang adalah jauh dari konsep matematik, jadi ia perlu diformalkan. Ini dilakukan dengan cara ini: bayangkan bahawa pada permukaan kita mempunyai benang elastik yang sangat nipis membentuk gelung (dalam eksperimen spekulatif ini, tidak seperti yang sebelumnya, kita menganggap permukaan itu sendiri sebagai pepejal). Kami akan menggerakkan gelung tanpa mengangkatnya dari permukaan atau mengoyakkannya. Jika benang boleh ditarik ke bulatan yang sangat kecil (hampir satu titik), maka gelung itu dikatakan boleh menguncup. Jika tidak gelung dipanggil tidak boleh dikontrak.

Oleh itu, mudah untuk melihat bahawa pada sfera mana-mana gelung boleh dikontrak (anda boleh melihat bagaimana rupanya secara kasar), tetapi untuk torus ini tidak lagi berlaku: pada donat terdapat dua gelung keseluruhan - satu diikat ke dalam lubang, dan satu lagi mengelilingi lubang "di sepanjang perimeter", - yang tidak boleh ditarik keluar.

Dalam gambar ini, contoh gelung tidak boleh ditarik ditunjukkan dalam warna merah dan ungu masing-masing. Apabila terdapat gelung di permukaan, ahli matematik mengatakan bahawa "kumpulan asas varieti adalah tidak penting," dan jika tidak ada gelung sedemikian, maka ia adalah remeh.

Kumpulan asas torus dilambangkan n1 (T2). Kerana ia tidak remeh, lengan tetikus membentuk gelung yang tidak boleh dikontrak. Kesedihan di wajah haiwan itu adalah akibat menyedari hakikat ini.

Oleh itu, adalah mudah untuk melihat bahawa pada sfera mana-mana gelung boleh dikontrak, tetapi untuk torus ini tidak lagi berlaku: pada donat terdapat dua gelung keseluruhan - satu diikat ke dalam lubang, dan yang lain mengelilingi lubang "sekitar perimeter" - yang tidak boleh diketatkan. Dalam gambar ini, contoh gelung tidak boleh renggang ditunjukkan dalam warna merah dan ungu, masing-masing.

Sekarang, untuk merumuskan tekaan Poincaré secara jujur, pembaca yang ingin tahu perlu bersabar sedikit lagi: kita perlu memikirkan apakah manifold tiga dimensi secara umum dan sfera tiga dimensi khususnya.

Mari kita kembali sebentar ke permukaan yang kita bincangkan di atas. Setiap daripada mereka boleh dipotong menjadi kepingan kecil yang setiap satu akan hampir menyerupai sekeping satah. Oleh kerana satah hanya mempunyai dua dimensi, mereka mengatakan bahawa manifold adalah dua dimensi. Manifold tiga dimensi ialah permukaan yang boleh dipotong menjadi kepingan kecil, setiap satunya sangat serupa dengan sekeping ruang tiga dimensi biasa.

utama" pelakon"hipotesis ialah sfera tiga dimensi. Mungkin mustahil untuk membayangkan sfera tiga dimensi sebagai analog sfera biasa dalam ruang empat dimensi tanpa kehilangan fikiran anda. Walau bagaimanapun, agak mudah untuk menggambarkan objek ini, jadi untuk bercakap, "sebahagian." telah melihat dunia, mereka tahu bahawa sfera biasa boleh dilekatkan bersama dari utara dan hemisfera selatan sepanjang khatulistiwa. Jadi, sfera tiga dimensi dilekatkan bersama dari dua bola (utara dan selatan) di sepanjang sfera, yang merupakan analog khatulistiwa.

Pada manifold tiga dimensi kita boleh mempertimbangkan gelung yang sama yang kita ambil pada permukaan biasa. Jadi, konjektur Poincaré menyatakan: "Jika kumpulan asas manifold tiga dimensi adalah remeh, maka ia adalah homeomorfik kepada sfera." Frasa yang tidak dapat difahami "homeomorphic to a sfera" apabila diterjemahkan ke dalam bahasa tidak formal bermaksud bahawa permukaan boleh diubah bentuk menjadi sfera.

Sedikit sejarah

Pada tahun 1887, Poincaré menyerahkan karya kepada pertandingan matematik yang didedikasikan untuk ulang tahun ke-60 Raja Oscar II dari Sweden. Kesilapan telah ditemui di dalamnya, yang membawa kepada kemunculan teori huru-hara.

Secara umumnya, dalam matematik kita boleh merumus bilangan yang besar pernyataan yang kompleks. Walau bagaimanapun, apakah yang menjadikan hipotesis ini atau itu hebat, membezakannya daripada yang lain? Anehnya, hipotesis yang hebat itu dibezakan oleh sejumlah besar bukti yang tidak betul, yang masing-masing mengandungi ralat besar - ketidaktepatan yang sering membawa kepada kemunculan cabang matematik yang baru.

Jadi, pada mulanya Henri Poincaré, yang dibezakan, antara lain, dengan keupayaannya membuat kesilapan yang cemerlang, merumuskan hipotesis dalam bentuk yang sedikit berbeza daripada yang kami tulis di atas. Beberapa lama kemudian, dia memberikan contoh balas kepada kenyataannya, yang dikenali sebagai homological Poincaré 3-sfera, dan pada tahun 1904 dia merumuskan satu tekaan yang sudah ada dalam bentuk moden. Sfera, dengan cara itu, baru-baru ini digunakan oleh saintis dalam astrofizik - ternyata Alam Semesta mungkin berubah menjadi Poincaré 3-sfera homologi.

Harus dikatakan bahawa hipotesis itu tidak menimbulkan keseronokan di kalangan rakan-rakan geometer. Ini berlaku sehingga tahun 1934, apabila ahli matematik British John Henry Whitehead membentangkan versi bukti hipotesisnya. Tidak lama kemudian, bagaimanapun, dia sendiri mendapati kesilapan dalam penalarannya, yang kemudiannya membawa kepada kemunculan keseluruhan teori varieti Whitehead.

Selepas ini, hipotesis secara beransur-ansur memperoleh reputasi tugas yang sangat sukar. Ramai ahli matematik yang hebat cuba mengatasinya. Sebagai contoh, Er Ash Bing Amerika (R.H. Bing), seorang ahli matematik, yang (secara rasminya) mempunyai inisial yang ditulis dalam dokumennya dan bukannya namanya. Dia membuat beberapa percubaan yang tidak berjaya untuk membuktikan hipotesis, merumuskan pernyataannya sendiri semasa proses ini - apa yang dipanggil "dugaan P harta" (dugaan Harta P). Perlu diperhatikan bahawa kenyataan ini, yang dianggap oleh Bing sebagai perantaraan, ternyata hampir lebih sukar daripada bukti sangkaan Poincaré itu sendiri.

Di kalangan saintis juga ada orang yang berkorban untuk membuktikan fakta matematik ini. Sebagai contoh, ahli matematik terkenal asal Yunani Christos Papakiriakopoulos. Selama lebih daripada sepuluh tahun, perlu diperhatikan bahawa generalisasi konjektur Poincaré kepada manifold dimensi yang lebih tinggi daripada tiga ternyata lebih mudah daripada yang asal - dimensi tambahan memudahkan untuk memanipulasi manifold. Oleh itu, untuk manifold n-dimensi (untuk n sekurang-kurangnya 5), ​​tekaan telah dibuktikan oleh Stephen Smale pada tahun 1961. Untuk n = 4, sangkaan telah dibuktikan menggunakan kaedah yang sama sekali berbeza daripada Smail pada tahun 1982 oleh Michael Friedman. Sebagai buktinya, yang terakhir menerima Pingat Fields, anugerah tertinggi untuk ahli matematik. Semasa bekerja di Princeton, dia cuba membuktikan hipotesis itu dengan tidak berjaya. Dia meninggal dunia akibat kanser pada tahun 1976. Perlu diperhatikan bahawa generalisasi konjektur Poincaré kepada manifold dimensi yang lebih tinggi daripada tiga ternyata lebih mudah daripada yang asal - dimensi tambahan memudahkan untuk memanipulasi manifold. Oleh itu, untuk manifold n-dimensi (untuk n sekurang-kurangnya 5), ​​tekaan telah dibuktikan oleh Stephen Smale pada tahun 1961. Untuk n = 4, sangkaan telah dibuktikan menggunakan kaedah yang sama sekali berbeza daripada Smail pada tahun 1982 oleh Michael Friedman.
Kerja yang diterangkan jauh dari senarai penuh percubaan untuk menyelesaikan hipotesis lebih daripada abad lamanya. Dan walaupun setiap karya membawa kepada kemunculan keseluruhan arah dalam matematik dan boleh dianggap berjaya dan penting dalam pengertian ini, hanya Grigory Perelman Rusia yang akhirnya dapat membuktikan sangkaan Poincaré.

Perelman dan bukti

Pada tahun 1992, Grigory Perelman, kemudian seorang pekerja Institut Matematik yang dinamakan sempena. Steklov, menghadiri kuliah oleh Richard Hamilton. Ahli matematik Amerika itu bercakap tentang aliran Ricci - alat baru untuk mengkaji tekaan geometri Thurston - fakta yang mana sangkaan Poincaré diperoleh sebagai akibat mudah. Aliran ini, agak serupa dengan persamaan pemindahan haba, menyebabkan permukaan berubah bentuk dari semasa ke semasa dengan cara yang sama seperti kami mengubah bentuk permukaan dua dimensi pada permulaan artikel ini. Ternyata dalam beberapa kes hasil ubah bentuk tersebut adalah objek yang strukturnya mudah difahami. Kesukaran utama ialah semasa ubah bentuk, ciri-ciri dengan kelengkungan tak terhingga timbul, analog dari segi tertentu dengan lubang hitam dalam astrofizik.

Selepas kuliah, Perelman menghampiri Hamilton. Dia kemudiannya berkata bahawa Richard dengan senang hati mengejutkannya: “Dia tersenyum dan sangat sabar memberitahu saya beberapa fakta yang diterbitkan hanya beberapa tahun kemudian dia melakukannya tanpa teragak-agak cukup." bahawa kebanyakan ahli matematik moden berkelakuan seperti ini."

Selepas perjalanan ke Amerika Syarikat, Perelman kembali ke Rusia, di mana dia mula berusaha menyelesaikan masalah singulariti aliran Ricci dan membuktikan hipotesis geometrisasi (dan bukan tekaan Poincaré) secara rahsia daripada semua orang. Tidak menghairankan bahawa kemunculan pracetak pertama Perelman pada 11 November 2002 mengejutkan komuniti matematik. Selepas beberapa lama, beberapa karya lagi muncul.

Selepas ini, Perelman menarik diri daripada membincangkan pembuktian malah, kata mereka, berhenti membuat matematik. Dia tidak mengganggu gaya hidupnya yang terpencil walaupun pada tahun 2006, apabila dia dianugerahkan Fields Medal, anugerah paling berprestij untuk ahli matematik. Tidak masuk akal untuk membincangkan sebab-sebab kelakuan pengarang ini - seorang jenius mempunyai hak untuk berkelakuan aneh (contohnya, semasa di Amerika, Perelman tidak memotong kukunya, membenarkan mereka berkembang dengan bebas).

Walau apa pun, bukti Perelman telah sembuh
kehidupan yang terpisah daripadanya: tiga cetakan awal menghantui ahli matematik moden. Keputusan pertama untuk menguji idea ahli matematik Rusia muncul pada tahun 2006 - ahli geometer terkenal Bruce Kleiner dan John Lott dari Universiti Michigan menerbitkan pracetak karya mereka sendiri, lebih seperti buku dalam saiz - 213 halaman. Dalam karya ini, saintis memeriksa dengan teliti semua pengiraan Perelman, menerangkan secara terperinci pelbagai pernyataan yang hanya digariskan secara ringkas dalam kerja ahli matematik Rusia. Keputusan penyelidik adalah jelas: buktinya betul-betul betul.

Satu giliran yang tidak dijangka dalam cerita ini datang pada bulan Julai tahun yang sama. The Asian Journal of Mathematics menerbitkan artikel oleh ahli matematik China Xiping Zhu dan Huaidong Cao bertajuk "A Complete Proof of Thurston's Geometrization Conjecture and Poincaré's Conjecture." Dalam rangka kerja ini, keputusan Perelman dianggap penting, berguna, tetapi secara eksklusif pertengahan. kerja ini menyebabkan kejutan di kalangan pakar di Barat, tetapi menerima ulasan yang sangat baik di Timur. Secara khususnya, hasilnya disokong oleh Shintan Yau, salah seorang pengasas teori Calabi-Yau, yang meletakkan asas bagi teori rentetan, serta guru Cao dan Ju. Secara kebetulan, Yau yang merupakan ketua pengarang Asian Journal of Mathematics, di mana karya itu diterbitkan.

Selepas ini, ahli matematik mula mengembara ke seluruh dunia memberikan kuliah popular, bercakap tentang pencapaian ahli matematik Cina. Akibatnya, terdapat bahaya bahawa tidak lama lagi keputusan Perelman dan juga Hamilton akan diturunkan ke latar belakang. Ini telah berlaku lebih daripada sekali dalam sejarah matematik - banyak teorem yang mengandungi nama ahli matematik tertentu telah dicipta oleh orang yang sama sekali berbeza.

Walau bagaimanapun, ini tidak berlaku dan mungkin tidak akan berlaku sekarang. Menyampaikan Hadiah Clay Perelman (walaupun dia enggan) selama-lamanya mengukuhkan dalam kesedaran umum suatu fakta: Ahli matematik Rusia Grigory Perelman membuktikan sangkaan Poincaré. Dan tidak mengapa sebenarnya dia membuktikan fakta yang lebih umum, mengembangkan sepanjang jalan teori yang sama sekali baru tentang keanehan Ricci mengalir. Sekurang-kurangnya dengan cara itu. Ganjaran telah menemui wira.
Andrey Konyaev

Disediakan oleh: Sergey Koval

Pencapaian hebat terakhir matematik tulen dianggap sebagai bukti oleh penduduk St. Petersburg Grigory Perelman pada tahun 2002–2003 tentang sangkaan Poincaré, yang dinyatakan pada tahun 1904 dan menyatakan: “setiap pancarongga tiga dimensi yang disambungkan secara ringkas dan padat tanpa sempadan adalah homeomorfik kepada sfera S 3.”

Terdapat beberapa istilah dalam frasa ini yang akan saya cuba jelaskan supaya maksud amnya jelas kepada bukan ahli matematik (saya menganggap bahawa pembaca telah tamat pengajian dari sekolah menengah dan masih mengingati sebahagian daripada matematik sekolahnya).

Mari kita mulakan dengan konsep homeomorphism, yang merupakan pusat kepada topologi. Secara umum, topologi sering ditakrifkan sebagai "geometri getah," iaitu, sebagai sains sifat imej geometri yang tidak berubah semasa ubah bentuk licin tanpa pecah dan melekat, atau lebih tepat, jika mungkin untuk mewujudkan satu-ke- satu dan saling bersambungan antara dua objek .

Idea utama adalah paling mudah untuk dijelaskan menggunakan contoh klasik cawan dan donat. Yang pertama boleh diubah menjadi yang kedua dengan ubah bentuk berterusan.

Angka-angka ini jelas menunjukkan bahawa cawan adalah homeomorfik kepada donat, dan fakta ini benar untuk permukaannya (manifold dua dimensi dipanggil torus) dan untuk badan berisi (manifold tiga dimensi dengan tepi).

Mari kita berikan tafsiran tentang baki istilah yang terdapat dalam rumusan hipotesis.

1. Manifold tiga dimensi tanpa tepi. Ini adalah objek geometri di mana setiap titik mempunyai kejiranan dalam bentuk bola tiga dimensi. Contoh 3-manifold termasuk, pertama, keseluruhan ruang tiga dimensi, dilambangkan dengan R 3 , serta mana-mana set mata terbuka dalam R 3 , contohnya, bahagian dalam torus pepejal (donut). Jika kita menganggap torus pepejal tertutup, iaitu, menambah titik sempadannya (permukaan torus), maka kita memperoleh manifold dengan tepi - titik tepi tidak mempunyai kejiranan dalam bentuk bola, tetapi hanya dalam bentuk daripada separuh bola.
2. Bersambung. Konsep ketersambungan di sini adalah yang paling mudah. Pancarongga disambungkan jika ia terdiri daripada satu bahagian, atau, apa yang sama, mana-mana dua titiknya boleh disambungkan dengan garis berterusan yang tidak melepasi sempadannya.
3. Bersambung sahaja. Konsep keterkaitan semata-mata adalah lebih kompleks. Ini bermakna bahawa sebarang lengkung tertutup berterusan yang terletak sepenuhnya dalam manifold tertentu boleh dikontrak dengan lancar ke satu titik tanpa meninggalkan manifold ini. Sebagai contoh, sfera dua dimensi biasa dalam R 3 disambungkan dengan mudah (gelang getah, diletakkan dalam apa jua cara pada permukaan epal, boleh ditarik dengan lancar ke satu titik dengan ubah bentuk licin tanpa mengoyakkan gelang getah dari epal) . Sebaliknya, bulatan dan torus tidak hanya disambungkan.
4. Padat. Manifold adalah padat jika mana-mana imej homeomorfiknya mempunyai dimensi sempadan. Sebagai contoh, selang terbuka pada garisan (semua titik segmen kecuali hujungnya) adalah tidak padat, kerana ia boleh terus dilanjutkan ke garisan tak terhingga. Tetapi segmen tertutup (dengan hujung) ialah manifold padat dengan sempadan: untuk sebarang ubah bentuk berterusan, hujung pergi ke beberapa titik tertentu, dan keseluruhan segmen mesti masuk ke lengkung terikat yang menghubungkan titik-titik ini.

Dimensi manifold ialah bilangan darjah kebebasan titik yang "hidup" di atasnya. Setiap titik mempunyai kejiranan dalam bentuk cakera dengan dimensi yang sepadan, iaitu, selang garis dalam kes satu dimensi, bulatan pada satah dalam dua dimensi, bola dalam tiga dimensi, dll. Dari titik Dari segi topologi, terdapat hanya dua manifold bersambung satu dimensi tanpa tepi: garis dan bulatan. Daripada jumlah ini, hanya bulatan yang padat.

Contoh ruang yang bukan manifold ialah, sebagai contoh, sepasang garis bersilang - lagipun, pada titik persilangan dua garis, mana-mana kejiranan mempunyai bentuk salib, ia tidak mempunyai kejiranan yang akan itu sendiri hanyalah selang (dan semua titik lain mempunyai kejiranan sedemikian). Dalam kes sedemikian, ahli matematik mengatakan bahawa kita sedang berhadapan dengan varieti istimewa yang mempunyai satu titik istimewa.

Manifold padat dua dimensi terkenal. Jika kita pertimbangkan sahaja berorientasikan manifold tanpa sempadan, kemudian dari sudut topologi mereka membentuk senarai yang mudah, walaupun tidak terhingga: dan sebagainya. Setiap manifold tersebut diperolehi daripada sfera dengan melekatkan beberapa pemegang, yang bilangannya dipanggil genus permukaan.

Rajah menunjukkan permukaan genus 0, 1, 2 dan 3. Apakah yang membuatkan sfera itu menonjol daripada semua permukaan dalam senarai ini? Ternyata ia hanya disambungkan: pada sfera mana-mana lengkung tertutup boleh menguncup ke satu titik, tetapi pada mana-mana permukaan lain seseorang sentiasa boleh menunjukkan lengkung yang tidak boleh menguncup ke satu titik di sepanjang permukaan.

Adalah aneh bahawa manifold padat tiga dimensi tanpa sempadan boleh diklasifikasikan dalam erti kata tertentu, iaitu, disusun dalam senarai tertentu, walaupun tidak semudah dalam kes dua dimensi, tetapi mempunyai agak struktur kompleks. Walau bagaimanapun, sfera 3D S 3 menonjol dalam senarai ini sama seperti sfera 2D dalam senarai di atas. Hakikat bahawa mana-mana lengkung pada S 3 menguncup ke satu titik dibuktikan sama seperti dalam kes dua dimensi. Tetapi kenyataan yang bertentangan, iaitu sifat ini unik khusus untuk sfera, iaitu, pada mana-mana manifold tiga dimensi yang lain terdapat lengkung yang tidak boleh dikontrak, adalah sangat sukar dan betul-betul membentuk kandungan tekaan Poincaré yang kita bicarakan. .

Adalah penting untuk memahami bahawa kepelbagaian boleh hidup dengan sendiri; ia boleh dianggap sebagai objek bebas, tidak bersarang di mana-mana. (Bayangkan hidup sebagai makhluk dua dimensi di permukaan sfera biasa, tidak menyedari kewujudan dimensi ketiga.) Nasib baik, semua permukaan dua dimensi dalam senarai di atas boleh bersarang dalam ruang R3 biasa, menjadikannya lebih mudah untuk memvisualisasikan. Untuk sfera tiga dimensi S 3 (dan secara umum untuk mana-mana manifold tiga dimensi padat tanpa sempadan) ini tidak lagi berlaku, jadi beberapa usaha diperlukan untuk memahami strukturnya.

nampaknya cara paling mudah terangkan struktur topologi bagi sfera tiga dimensi S 3 menggunakan pemadatan satu titik. Iaitu, sfera tiga dimensi S 3 ialah pemadatan satu titik bagi ruang tiga dimensi (tidak terbatas) biasa R 3 .

Mari kita terangkan dahulu pembinaan ini dalam contoh mudah. Mari kita ambil garis lurus tak terhingga biasa (analog ruang satu dimensi) dan tambah padanya satu titik "jauh tak terhingga", dengan mengandaikan bahawa apabila kita bergerak di sepanjang garis lurus ke kanan atau kiri, akhirnya kita sampai ke titik ini. Dari sudut topologi, tiada perbezaan antara garis tak terhingga dan segmen garisan terbuka bersempadan (tanpa titik akhir). Segmen sedemikian boleh dibengkokkan secara berterusan dalam bentuk arka, mendekatkan hujungnya dan melekatkan titik yang hilang di persimpangan. Kami jelas akan mendapat bulatan - analog satu dimensi sfera.

Dengan cara yang sama, jika saya mengambil satah tak terhingga dan menambah satu titik pada tak terhingga, yang mana semua garis lurus satah asal, yang melalui mana-mana arah, cenderung, maka kita mendapat sfera dua dimensi (biasa) S 2. Prosedur ini boleh diperhatikan menggunakan unjuran stereografik, yang bagi setiap titik P sfera, dengan pengecualian kutub utara N, mengaitkan titik tertentu pada pesawat P."

Oleh itu, sfera tanpa satu titik secara topologi adalah sama dengan satah, dan menambah satu titik mengubah satah menjadi sfera.

Pada dasarnya, pembinaan yang betul-betul sama boleh digunakan untuk sfera tiga dimensi dan ruang tiga dimensi, hanya untuk pelaksanaannya perlu memasuki dimensi keempat, dan ini tidak begitu mudah untuk digambarkan dalam lukisan. Oleh itu, saya akan menghadkan diri saya kepada penerangan lisan tentang pemadatan satu titik ruang R 3 .

Bayangkan bahawa pada ruang fizikal kita (yang kita, mengikut Newton, anggap sebagai ruang Euclidean tanpa had dengan tiga koordinat x, y, z) satu titik "pada infiniti" ditambah dengan cara yang apabila bergerak dalam garis lurus dalam mana-mana arah yang anda sampai ke sana (iaitu, setiap garisan ruang ditutup ke dalam bulatan). Kemudian kita mendapat manifold tiga dimensi padat, yang mengikut definisi adalah sfera S 3 .

Adalah mudah untuk memahami bahawa sfera S 3 hanya disambungkan. Malah, sebarang lengkung tertutup pada sfera ini boleh dianjakkan sedikit supaya ia tidak melalui titik tambahan. Kemudian kita mendapat lengkung dalam ruang biasa R 3, yang mudah menguncup ke satu titik melalui homotheties, iaitu, mampatan berterusan dalam ketiga-tiga arah.

Untuk memahami bagaimana varieti S 3 distrukturkan, adalah sangat berguna untuk mempertimbangkan pembahagiannya kepada dua tori pepejal. Jika kita mengeluarkan torus pepejal dari ruang R 3, maka sesuatu yang tidak begitu jelas akan kekal. Dan jika ruang dipadatkan menjadi sfera, maka pelengkap ini juga berubah menjadi torus pepejal. Iaitu, sfera S 3 dibahagikan kepada dua tori pepejal yang mempunyai sempadan yang sama - torus.

Begini cara anda boleh memahaminya. Mari kita benamkan torus dalam R 3 seperti biasa, dalam bentuk donat bulat, dan lukis garis menegak - paksi putaran donat ini. Kami melukis satah sewenang-wenangnya melalui paksi; ia akan menyilang torus pepejal kami di sepanjang dua bulatan, ditunjukkan dalam warna hijau dalam rajah, dan bahagian tambahan satah dibahagikan kepada keluarga bulatan merah yang berterusan. Ini termasuk paksi tengah, diserlahkan dengan lebih berani, kerana dalam sfera S 3 garis lurus menutup menjadi bulatan. Gambar tiga dimensi diperoleh daripada gambar dua dimensi ini dengan putaran mengelilingi paksi. Satu set lengkap bulatan berputar akan mengisi badan tiga dimensi, homeomorfik kepada torus pepejal, hanya kelihatan luar biasa.

Malah, paksi tengah akan menjadi bulatan paksi di dalamnya, dan selebihnya akan memainkan peranan selari - bulatan yang membentuk torus pepejal biasa.

Untuk mempunyai sesuatu untuk membandingkan 3-sfera dengannya, saya akan memberikan satu lagi contoh 3-manifold padat, iaitu torus tiga dimensi. torus tiga dimensi boleh dibina seperti berikut. Mari kita ambil kubus tiga dimensi biasa sebagai bahan permulaan:

Ia mempunyai tiga pasang tepi: kiri dan kanan, atas dan bawah, depan dan belakang. Dalam setiap pasangan muka selari, kami mengenal pasti secara berpasangan mata yang diperolehi antara satu sama lain dengan memindahkan sepanjang tepi kubus. Iaitu, kita akan menganggap (secara abstrak semata-mata, tanpa menggunakan ubah bentuk fizikal) bahawa, sebagai contoh, A dan A" adalah titik yang sama, dan B dan B" juga adalah satu titik, tetapi berbeza daripada titik A. Semua titik dalaman daripada kubus Kami akan menganggapnya seperti biasa. Kiub itu sendiri adalah manifold dengan tepi, tetapi selepas gluing selesai, tepi menutup sendiri dan hilang. Sebenarnya, kejiranan titik A dan A" dalam kubus (ia terletak di kiri dan kanan muka berlorek) adalah separuh bola, yang, selepas melekatkan muka bersama, bergabung menjadi bola keseluruhan, yang berfungsi sebagai kejiranan titik sepadan torus tiga dimensi.

Untuk merasakan struktur 3-torus berdasarkan idea harian tentang ruang fizikal, anda perlu memilih tiga arah yang saling berserenjang: ke hadapan, kiri dan atas - dan secara mental mempertimbangkan, seperti dalam cerita fiksyen sains, bahawa apabila bergerak ke mana-mana arah ini , masa yang agak lama tetapi terhad, kita akan kembali ke titik permulaan, tetapi dari arah yang bertentangan. Ini juga merupakan "pemadatan ruang", tetapi bukan satu titik yang digunakan sebelum ini untuk membina sfera, tetapi yang lebih kompleks.

Terdapat laluan tidak boleh dikontrak pada torus tiga dimensi; sebagai contoh, ini ialah segmen AA" dalam rajah (pada torus ia mewakili laluan tertutup). Ia tidak boleh dikontrak, kerana untuk sebarang titik ubah bentuk berterusan A dan A" mesti bergerak di sepanjang muka mereka, kekal bertentangan dengan satu sama lain ( jika tidak lengkung akan terbuka).

Jadi, kita melihat bahawa terdapat 3 manifold padat yang disambungkan dan tidak disambungkan secara ringkas. Perelman membuktikan bahawa manifold yang disambungkan secara ringkas adalah betul-betul satu.

Idea awal bukti adalah menggunakan apa yang dipanggil "aliran Ricci": kami mengambil 3-manifold padat yang disambungkan secara ringkas, memberikannya dengan geometri sewenang-wenangnya (iaitu, memperkenalkan beberapa metrik dengan jarak dan sudut), dan kemudian pertimbangkan evolusinya sepanjang aliran Ricci. Richard Hamilton, yang mencadangkan idea ini pada tahun 1981, berharap bahawa evolusi ini akan mengubah kepelbagaian kita menjadi sfera. Ternyata ini tidak benar - dalam kes tiga dimensi, aliran Ricci mampu merosakkan manifold, iaitu, menjadikannya bukan manifold (sesuatu dengan titik tunggal, seperti dalam contoh garis bersilang di atas) . Perelman, dengan mengatasi kesukaran teknikal yang luar biasa, menggunakan alat berat persamaan pembezaan separa, berjaya memperkenalkan pembetulan ke dalam aliran Ricci berhampiran titik tunggal sedemikian rupa sehingga semasa evolusi topologi manifold tidak berubah, tiada titik tunggal timbul, dan akhirnya, ia bertukar menjadi bulat satu sfera. Tetapi akhirnya kita mesti menjelaskan apakah aliran Ricci ini. Aliran yang digunakan oleh Hamilton dan Perelman merujuk kepada perubahan dalam metrik intrinsik pada manifold abstrak, dan ini agak sukar untuk dijelaskan, jadi saya akan mengehadkan diri saya untuk menerangkan aliran Ricci "luaran" pada manifold satu dimensi yang tertanam dalam satah.

Mari kita bayangkan lengkung tertutup licin pada satah Euclidean, pilih arah di atasnya dan pertimbangkan vektor tangen unit panjang pada setiap titik. Kemudian, apabila mengelilingi lengkung dalam arah yang dipilih, vektor ini akan berputar dengan beberapa halaju sudut, yang dipanggil kelengkungan. Di tempat-tempat di mana lengkung melengkung lebih curam, kelengkungan (oleh nilai mutlak) akan menjadi lebih besar, dan di mana ia lebih licin, kelengkungan akan menjadi kurang.

Kami akan menganggap kelengkungan sebagai positif jika vektor halaju bertukar ke arah bahagian dalam satah, dibahagikan dengan lengkung kami kepada dua bahagian, dan negatif jika ia bertukar ke luar. Konvensyen ini adalah bebas daripada arah di mana lengkung dilalui. Pada titik infleksi, di mana putaran berubah arah, kelengkungan akan menjadi 0. Contohnya, bulatan jejari 1 mempunyai kelengkungan positif malar 1 (jika diukur dalam radian).

Sekarang mari kita lupakan tentang vektor tangen dan, sebaliknya, lampirkan pada setiap titik lengkung vektor yang berserenjang dengannya, sama panjang dengan kelengkungan pada titik tertentu dan diarahkan ke dalam jika kelengkungan positif, dan ke luar jika ia negatif , dan kemudian buat setiap titik bergerak ke arah vektor yang sepadan dengan kelajuan berkadar dengan panjangnya. Berikut ialah contoh:

Ternyata mana-mana lengkung tertutup pada satah berkelakuan dengan cara yang sama semasa evolusi sedemikian, iaitu, ia akhirnya bertukar menjadi bulatan. Ini adalah bukti analog satu dimensi konjektur Poincaré menggunakan aliran Ricci (namun, kenyataan itu sendiri dalam kes ini sudah jelas, cuma kaedah pembuktian menggambarkan apa yang berlaku dalam dimensi 3).

Mari kita ambil perhatian sebagai kesimpulan bahawa alasan Perelman membuktikan bukan sahaja sangkaan Poincaré, tetapi juga sangkaan geometri Thurston yang lebih umum, yang dalam erti kata tertentu menggambarkan struktur semua manifold tiga dimensi yang padat secara amnya. Tetapi subjek ini terletak di luar skop artikel asas ini.

Kerana kekurangan ruang, saya tidak akan bercakap tentang manifold tidak berorientasikan, contohnya adalah botol Klein yang terkenal - permukaan yang tidak boleh dibenamkan di angkasa tanpa persimpangan diri.

PERMAINAN MINDA

Sehingga baru-baru ini, matematik tidak menjanjikan sama ada kemasyhuran atau kekayaan kepada "imam"nya. Mereka malah Hadiah Nobel Mereka tidak memberikannya. Tiada pencalonan seperti itu. Lagipun, menurut legenda yang sangat popular, isteri Nobel pernah menipunya dengan seorang ahli matematik. Dan sebagai balasan, orang kaya itu telah melucutkan penghormatan dan hadiah wang dari semua saudara mereka yang bengkok.

Keadaan berubah pada tahun 2000. Institut Matematik swasta Institut Matematik Tanah Liat memilih tujuh masalah yang paling sukar. Dan dia berjanji untuk membayar setiap orang satu juta dolar untuk keputusan mereka. Mereka memandang ahli matematik dengan hormat. Pada tahun 2001, filem "A Beautiful Mind" telah dikeluarkan, watak utamanya adalah seorang ahli matematik.

Sekarang hanya orang yang jauh dari tamadun tidak sedar: salah satu daripada berjuta-juta yang dijanjikan - yang pertama - telah dianugerahkan. Dianugerahkan warganegara Rusia, penduduk St. Petersburg Grigory Perelman kerana menyelesaikan tekaan Poincaré, yang melalui usahanya menjadi teorem. Lelaki berjanggut berusia 44 tahun itu telah menyapu hidung seluruh dunia. Dan kini ia terus mengekalkannya - dunia - dalam ketegangan. Memandangkan tidak diketahui sama ada ahli matematik itu akan mengambil jutaan dolar atau menolak. Orang awam yang progresif di banyak negara sememangnya bimbang. Sekurang-kurangnya akhbar di semua benua mencatatkan tipu daya kewangan dan matematik.

Dan dengan latar belakang aktiviti yang menarik ini - meramal dan membahagikan wang orang lain - makna pencapaian Perelman entah bagaimana hilang. Presiden Institut Tanah Liat, Jim Carlson, sudah tentu, menyatakan pada satu masa bahawa tujuan tabung hadiah bukanlah untuk mencari jawapan semata-mata sebagai percubaan untuk meningkatkan prestij sains matematik dan menarik minat golongan muda di dalamnya. Tetapi masih, apa gunanya?

HIPOTESIS POINCARE - APA ITU?

Teka-teki yang diselesaikan oleh genius Rusia itu menyentuh asas-asas cabang matematik yang dipanggil topologi. Topologinya sering dipanggil "geometri kepingan getah." Ia berkaitan dengan sifat-sifat bentuk geometri yang dikekalkan jika bentuk itu diregangkan, dipintal atau dibengkokkan. Dalam erti kata lain, ia cacat tanpa koyak, luka atau gam.

Topologi adalah penting kepada fizik matematik kerana ia membolehkan kita memahami sifat-sifat ruang. Atau menilainya tanpa dapat melihat bentuk ruang ini dari luar. Sebagai contoh, kepada Alam Semesta kita.

Apabila menerangkan tekaan Poincaré, mereka bermula seperti ini: bayangkan sfera dua dimensi - ambil cakera getah dan tariknya ke atas bola. Supaya lilitan cakera dikumpulkan pada satu titik. Dengan cara yang sama, sebagai contoh, anda boleh mengikat beg galas sukan dengan kord. Hasilnya akan menjadi sfera: bagi kita - tiga dimensi, tetapi dari sudut pandangan matematik - hanya dua dimensi.

Kemudian mereka menawarkan untuk menarik cakera yang sama ke atas donat. Nampaknya ia akan berjaya. Tetapi tepi cakera akan menumpu ke dalam bulatan, yang tidak lagi boleh ditarik ke satu titik - ia akan memotong donat.

Sebagai seorang ahli matematik Rusia yang lain, Vladimir Uspensky, menulis dalam bukunya yang popular, "tidak seperti sfera dua dimensi, sfera tiga dimensi tidak boleh diakses oleh pemerhatian langsung kita, dan sukar untuk kita membayangkannya seperti yang dibayangkan oleh Vasily Ivanovich. trinomial segi empat sama dari jenaka yang terkenal.”

Jadi, menurut hipotesis Poincaré, sfera tiga dimensi ialah satu-satunya benda tiga dimensi yang permukaannya boleh ditarik ke satu titik oleh beberapa "hiperkod" hipotesis.

Jules Henri Poincaré mencadangkan ini pada tahun 1904. Kini Perelman telah meyakinkan semua orang yang memahami bahawa ahli topologi Perancis itu betul. Dan mengubah hipotesisnya menjadi teorem.

Buktinya membantu memahami bentuk alam semesta kita. Dan ia membolehkan kita dengan sangat munasabah menganggap bahawa ia adalah sfera tiga dimensi yang sama. Tetapi jika Alam Semesta adalah satu-satunya "angka" yang boleh dikontrakkan ke satu titik, maka, mungkin, ia boleh diregangkan dari satu titik. Ini berfungsi sebagai pengesahan tidak langsung teori Big Bang, yang menyatakan bahawa Alam Semesta berasal dari satu titik.

Ternyata Perelman, bersama Poincaré, mengecewakan mereka yang dipanggil pencipta - penyokong permulaan alam semesta yang ilahi. Dan mereka menumpahkan pasir kepada kilang ahli fizik materialis.

DAN PADA MASA INI

Genius itu belum melepaskan satu juta dolar lagi

Ahli matematik itu berdegil enggan berkomunikasi dengan wartawan. Bagi kami - sama sekali: dia tidak meninggikan suaranya. Barat - melontarkan kenyataan pintu tertutup. Seperti, tinggalkan saya sendiri. Genius itu nampaknya hanya berkomunikasi dengan presiden Institut Tanah Liat, Jim Carlson.

Sejurus selepas ia diketahui mengenai juta dolar Grigory Perelman, Carlson menjawab soalan "Apa yang diputuskan oleh genius itu?" menjawab: "Dia akan memberitahu saya pada waktunya." Iaitu, dia membayangkan bahawa dia berhubung dengan Grigory.

Pada hari yang lain kami menerima mesej baru daripada Presiden. Dia dilaporkan kepada umum oleh akhbar British The Telegraph: “Dia berkata dia akan memaklumkan kepada saya keputusannya pada satu ketika. Tetapi dia tidak memberitahu sekurang-kurangnya bilakah ini akan berlaku. Saya tidak fikir ia akan betul esok."

Menurut presiden, genius itu bercakap dengan kasar tetapi sopan. Ia ringkas. Dalam mempertahankan Perelman, Carlson menyatakan: "Bukan setiap hari seseorang secara bergurau memikirkan kemungkinan melepaskan satu juta dolar."

DENGAN CARANYA

Mengapa lagi mereka akan memberikan satu juta dolar?

1. Masalah tukang masak

Adalah perlu untuk menentukan sama ada menyemak ketepatan penyelesaian kepada masalah boleh mengambil masa lebih lama daripada mendapatkan penyelesaian itu sendiri. ini masalah logik penting untuk pakar dalam kriptografi - penyulitan data.

2. Hipotesis Riemann

Ada yang dipanggil nombor perdana, contohnya 2, 3, 5, 7, dsb., yang hanya boleh dibahagikan dengan sendirinya. Berapa jumlah keseluruhannya tidak diketahui. Riemann percaya bahawa ini boleh ditentukan dan corak pengedarannya boleh ditemui. Sesiapa yang menemuinya juga akan menyediakan perkhidmatan kriptografi.

3. Konjektur Birch dan Swinnerton-Dyer

Masalahnya melibatkan penyelesaian persamaan dengan tiga perkara yang tidak diketahui dibangkitkan kepada kuasa. Anda perlu memikirkan cara untuk menyelesaikannya, tanpa mengira kerumitan.

4. Tekaan Hodge

Pada abad kedua puluh, ahli matematik menemui kaedah untuk mengkaji bentuk objek kompleks. Ideanya ialah menggunakan "bata" ringkas dan bukannya objek itu sendiri, yang dilekatkan bersama dan membentuk rupanya. Ia adalah perlu untuk membuktikan bahawa ini sentiasa dibenarkan.

5. Navier - persamaan Stokes

Ia bernilai mengingati mereka di dalam pesawat. Persamaan menerangkan arus udara yang mengekalkannya di udara. Sekarang persamaan diselesaikan lebih kurang, menggunakan formula anggaran. Kita perlu mencari yang tepat dan membuktikan bahawa dalam ruang tiga dimensi terdapat penyelesaian kepada persamaan yang sentiasa benar.

6. Yang - Persamaan Mills

Dalam dunia fizik terdapat hipotesis: jika zarah asas mempunyai jisim, maka terdapat had yang lebih rendah. Tetapi yang mana satu tidak jelas. Kita perlu pergi kepadanya. Ini mungkin tugas yang paling sukar. Untuk menyelesaikannya, perlu mencipta "teori segala-galanya" - persamaan yang menyatukan semua daya dan interaksi dalam alam semula jadi. Sesiapa yang boleh melakukannya mungkin akan menerima Hadiah Nobel.

Henri Poincaré (1854-1912), salah seorang ahli matematik terhebat, telah merumuskan idea terkenal tentang sfera tiga dimensi yang cacat pada tahun 1904 dan, dalam bentuk nota birai kecil yang diletakkan di hujung 65 muka surat. artikel yang dikhaskan untuk isu yang sama sekali berbeza, menulis beberapa baris hipotesis yang agak pelik dengan perkataan: "Nah, soalan ini boleh membawa kita terlalu jauh"...

Marcus Du Sautoy dari Universiti Oxford percaya bahawa Teorem Poincaré- "Ini masalah utama matematik dan fizik , percubaan untuk memahami bentuk apa Boleh jadi alam semesta , sangat sukar untuk mendekatinya."

Sekali seminggu, Grigory Perelman pergi ke Princeton untuk mengambil bahagian dalam seminar di Institut Kajian Lanjutan. Pada seminar itu, salah seorang ahli matematik di Universiti Harvard menjawab soalan Perelman: "Teori William Thurston (1946-2012, ahli matematik, bekerja dalam bidang "Geometri dan topologi tiga dimensi"), dipanggil hipotesis geometrisasi, menerangkan semua kemungkinan permukaan tiga dimensi dan merupakan satu langkah ke hadapan berbanding dengan konjektur Poincaré. Jika anda membuktikan hipotesis William Thurston, maka sangkaan Poincaré akan membuka semua pintunya kepada anda, dan lebih-lebih lagi penyelesaiannya akan mengubah keseluruhan landskap topologi sains moden ».

Pada Mac 2003, enam universiti terkemuka Amerika telah menjemput Perelman untuk memberikan satu siri syarahan yang menerangkan kerjanya. Pada April 2003, Perelman membuat lawatan saintifik. Kuliahnya menjadi acara ilmiah yang luar biasa. John Ball (pengerusi Kesatuan Matematik Antarabangsa), Andrew Wiles (ahli matematik, bekerja dalam bidang aritmetik lengkung eliptik, membuktikan teorem Fermat pada tahun 1994), John Nash (ahli matematik yang bekerja dalam bidang teori permainan dan geometri pembezaan) datang ke dengar dia di Princeton.

Grigory Perelman berjaya menyelesaikan satu daripada tujuh masalah milenium Dan huraikan secara matematik kononnya formula alam semesta , buktikan sangkaan Poincaré. Fikiran yang paling terang telah bergelut dengan hipotesis ini selama lebih daripada 100 tahun, dan untuk buktinya komuniti matematik dunia (Institut Matematik Tanah Liat) menjanjikan $1 juta pembentangannya berlangsung pada 8 Jun 2010. Grigory Perelman tidak muncul padanya, dan komuniti matematik dunia " Jaws dropped."

Pada tahun 2006, ahli matematik itu telah dianugerahkan anugerah matematik tertinggi - Fields Medal - untuk menyelesaikan tekaan Poincaré. John Ball secara peribadi melawat St. Petersburg untuk memujuknya menerima anugerah itu. Dia enggan menerimanya dengan kata-kata: “ Masyarakat tidak mungkin dapat menilai kerja saya dengan serius».

“Pingat Fields (dan pingat) dianugerahkan setiap 4 tahun sekali di setiap kongres matematik antarabangsa kepada saintis muda (bawah 40 tahun) yang telah memberikan sumbangan besar kepada pembangunan matematik. Sebagai tambahan kepada pingat, para penerima dianugerahkan 15 ribu dolar Kanada ($13,000).”

Dalam rumusan asalnya, konjektur Poincaré berbunyi seperti berikut: "Setiap pancarongga tiga dimensi padat ringkas tanpa sempadan adalah homeomorfik kepada sfera tiga dimensi." DALAM terjemahan ke dalam bahasa yang sama, ini bermakna bahawa mana-mana objek tiga dimensi, sebagai contoh, kaca, boleh diubah menjadi bola dengan ubah bentuk sahaja, iaitu, ia tidak perlu dipotong atau dilekatkan bersama. Dalam erti kata lain, Poincaré menganggap itu ruang bukan tiga dimensi, tetapi mengandungi ketara bilangan yang lebih besar ukuran , dan Perelman 100 tahun kemudian membuktikannya secara matematik .

Ungkapan Grigory Perelman tentang teorem Poincaré mengenai transformasi jirim ke dalam keadaan lain, bentuk, adalah serupa dengan pengetahuan yang dibentangkan dalam buku Anastasia Novykh "Sensei IV": "Sebenarnya, seluruh Alam Semesta ini, yang tidak terhingga bagi kita, menduduki ruang berbilion kali. lebih kecil daripada hujung jarum perubatan yang paling nipis". Dan juga keupayaan untuk mengawal bahan Alam Semesta melalui transformasi yang diperkenalkan oleh Pemerhati daripada dimensi mengawal di atas keenam (dari 7 hingga 72 termasuk) (laporkan "" topik "Kekisi Ezoosmik").

Grigory Perelman dibezakan oleh pertapaan hidupnya dan keterukan tuntutan etika yang diletakkan pada dirinya dan orang lain. Melihat dia, seseorang mendapat perasaan bahawa dia adil hidup jasmani secara umum dengan semua sezaman yang lain angkasa lepas , A Secara rohani dalam beberapa cara lain , di mana pun untuk $1 juta mereka tidak pergi ke yang paling "tidak bersalah" berkompromi dengan hati nurani . Dan apakah jenis ruang ini, dan adakah mungkin untuk melihatnya dari sudut mata anda?..

Luar biasa kepentingan hipotesis, dikemukakan kira-kira satu abad yang lalu oleh ahli matematik Poincare, melibatkan struktur tiga dimensi dan merupakan elemen utama penyelidikan moden asas alam semesta . Teka-teki ini, menurut pakar Clay Institute, adalah salah satu daripada tujuh asas penting untuk pembangunan matematik masa depan.

Perelman, menolak pingat dan hadiah, bertanya: “Mengapa saya memerlukannya? Mereka langsung tidak berguna kepada saya. Semua orang faham bahawa jika bukti itu betul, maka tiada pengiktirafan lain diperlukan. Sehingga saya timbul syak wasangka, saya mempunyai pilihan sama ada untuk bercakap lantang tentang perpecahan komuniti matematik secara keseluruhan, disebabkan tahap moralnya yang rendah, atau tidak berkata apa-apa dan membiarkan diri saya dilayan seperti lembu. Sekarang saya menjadi lebih curiga, saya tidak boleh kekal sebagai lembu dan terus berdiam diri, jadi saya hanya boleh pergi."

Untuk melibatkan diri dalam matematik moden, anda perlu mempunyai minda yang benar-benar murni, tanpa sedikit pun campuran yang menghancurkannya, mengelirukan, menggantikan nilai, dan menerima hadiah ini bermakna menunjukkan kelemahan. Ahli sains yang ideal hanya terlibat dalam sains, tidak mempedulikan apa-apa lagi (kuasa dan modal), dia mesti mempunyai fikiran yang murni, dan bagi Perelman tidak ada kepentingan yang lebih besar daripada hidup mengikut cita-cita ini. Adakah keseluruhan idea dengan berjuta-juta ini berguna untuk matematik, dan adakah saintis sebenar memerlukan insentif sedemikian? Dan bukankah keinginan modal untuk membeli dan menundukkan segala-galanya di dunia ini menyinggung perasaan? Atau anda boleh menjual kesucian awak untuk satu juta? Wang, tidak kira berapa banyak yang ada, adalah setara kebenaran Jiwa ? Lagipun, kita sedang berhadapan dengan penilaian apriori tentang masalah yang mana wang tidak sepatutnya ada kaitan, bukan?! Untuk membuat sesuatu seperti lotto-juta atau pertaruhan daripada semua ini bermakna untuk memanjakan perpecahan saintifik, dan masyarakat manusia secara keseluruhannya (Lihat laporan dan 50 muka surat terakhir dalam buku AllatRa tentang laluan untuk membina masyarakat kreatif). DAN tunai(tenaga), yang ahli perniagaan bersedia untuk memberi kepada sains, jika mereka perlu digunakan, maka dengan betul, atau sesuatu, tanpa memalukan Semangat Perkhidmatan Sejati , tidak kira bagaimana anda melihatnya, tidak ternilai dari segi kewangan: “ Apakah satu juta jika dibandingkan? , dengan kesucian, atau kebesaran mereka sfera (tentang dimensi Alam Semesta global dan tentang Dunia rohani lihat buku "AllatRa" dan laporan ) , di mana tidak dapat menembusi walaupun manusia imaginasi (fikiran) ?! Apakah sejuta langit berbintang untuk masa?!”

Marilah kita memberi tafsiran bagi istilah yang tinggal yang terdapat dalam rumusan hipotesis:

- Topologi- (daripada bahasa Yunani topos - tempat dan logos - pengajaran) - cabang matematik yang mengkaji sifat topologi rajah, i.e. sifat yang tidak berubah di bawah sebarang ubah bentuk yang dihasilkan tanpa pecah dan melekat (lebih tepat, dengan pemetaan satu sama satu dan berterusan). Contoh sifat topologi rajah ialah dimensi, bilangan lengkung yang membatasi kawasan tertentu, dsb. Oleh itu, bulatan, elips, dan kontur segi empat sama mempunyai sifat topologi yang sama, kerana garisan ini boleh diubah bentuk menjadi satu sama lain mengikut cara yang diterangkan di atas; pada masa yang sama, cincin dan bulatan mempunyai sifat topologi yang berbeza: bulatan dihadkan oleh satu kontur, dan cincin dengan dua.

- Homeomorfisme(Greek ομοιο - serupa, μορφη - bentuk) - surat-menyurat satu-dengan-satu antara dua ruang topologi, di mana kedua-dua peta saling songsang yang ditakrifkan oleh surat-menyurat ini adalah berterusan. Pemetaan ini dipanggil homeomorphic, atau pemetaan topologi, serta homeomorphism, dan ruang dikatakan tergolong dalam jenis topologi yang sama dan dipanggil homeomorphic, atau setara dari segi topologi.

- Manifold tiga dimensi tanpa tepi. Ini adalah objek geometri di mana setiap titik mempunyai kejiranan dalam bentuk bola tiga dimensi. Contoh 3-manifold termasuk, pertama, keseluruhan ruang tiga dimensi, dilambangkan dengan R3, serta mana-mana set mata terbuka dalam R3, contohnya, bahagian dalam torus pepejal (donut). Jika kita menganggap torus pepejal tertutup, i.e. tambahkan titik sempadannya (permukaan torus), maka kita mendapat manifold dengan tepi - titik tepi tidak mempunyai kejiranan dalam bentuk bola, tetapi hanya dalam bentuk setengah bola.

- torus penuh (torus penuh)- homeomorfik jasad geometri hasil darab cakera dua dimensi dan bulatan D 2 * S 1. Secara tidak formal, torus pepejal ialah donat, manakala torus hanyalah permukaannya (ruang berongga roda).

- Bersambung sahaja. Ini bermakna bahawa sebarang lengkung tertutup berterusan yang terletak sepenuhnya dalam manifold tertentu boleh dikontrak dengan lancar ke satu titik tanpa meninggalkan manifold ini. Sebagai contoh, sfera dua dimensi biasa dalam R3 disambungkan secara ringkas (gelang getah, diletakkan dalam apa-apa cara pada permukaan epal, boleh ditarik bersama dengan lancar ke satu titik tanpa mengoyakkan gelang getah daripada epal). Sebaliknya, bulatan dan torus tidak hanya disambungkan.

- Padat. Manifold adalah padat jika mana-mana imej homeomorfiknya mempunyai dimensi sempadan. Sebagai contoh, selang terbuka pada garisan (semua titik segmen kecuali hujungnya) adalah tidak padat, kerana ia boleh terus dilanjutkan ke garisan tak terhingga. Tetapi segmen tertutup (dengan hujung) ialah manifold padat dengan tepi: untuk sebarang ubah bentuk berterusan, hujung pergi ke beberapa titik tertentu, dan keseluruhan segmen mesti masuk ke lengkung terikat yang menghubungkan titik-titik ini.

Ilnaz Basharov

kesusasteraan:

Laporkan "PRIMODIUM ALLATRA FIZIK" oleh kumpulan saintis antarabangsa Antarabangsa pergerakan sosial ALLATRA, ed. Anastasia Novykh, 2015;

yang baru. A. “AllatRa”, K.: AllatRa, 2013.