Menambah dan menolak pecahan tak wajar. Bagaimana untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama

Untuk menambah nombor bulat kepada pecahan, sudah cukup untuk melakukan satu siri tindakan, atau lebih tepatnya pengiraan.

Sebagai contoh, anda mempunyai 7 - integer anda perlu menambahnya kepada pecahan 1/2.

Kami meneruskan seperti berikut:

• Kita darab 7 dengan penyebut (2), kita dapat 14,
• tambah kepada 14 bahagian atas(1), keluar 15,
• dan gantikan penyebutnya.
• hasilnya ialah 15/2.

Dengan cara mudah ini anda boleh menambah nombor bulat kepada pecahan.

Dan untuk mengasingkan nombor bulat daripada pecahan, anda perlu membahagikan pengangka dengan penyebut, dan selebihnya - dan akan ada pecahan.

Operasi menambah integer kepada pecahan biasa wajar tidaklah rumit dan kadangkala hanya melibatkan pembentukan pecahan bercampur di mana keseluruhan bahagian diletakkan di sebelah kiri bahagian pecahan, sebagai contoh, pecahan tersebut akan bercampur:

Walau bagaimanapun, lebih kerap daripada tidak, menambah nombor bulat kepada pecahan menghasilkan pecahan tidak wajar di mana pengangkanya lebih besar daripada penyebutnya. Operasi ini dilakukan seperti berikut: nombor bulat diwakili sebagai pecahan tak wajar dengan penyebut yang sama dengan pecahan yang ditambah, dan kemudian pengangka kedua-dua pecahan hanya ditambah. Dalam contoh ia akan kelihatan seperti ini:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

Saya fikir ia sangat mudah.

Sebagai contoh, kita mempunyai pecahan 1/4 (ini adalah sama dengan 0.25, iaitu suku daripada nombor bulat).

Dan pada suku ini anda boleh menambah sebarang integer, contohnya 3. Anda dapat tiga dan suku:

3.25. Atau dalam pecahan ia dinyatakan seperti ini: 3 1/4

Menggunakan contoh ini, anda boleh menambah sebarang pecahan dengan sebarang integer.

Anda perlu menaikkan nombor bulat kepada pecahan dengan penyebut 10 (6/10). Seterusnya, bawa pecahan sedia ada kepada penyebut sepunya 10 (35=610). Nah, lakukan operasi seperti dengan pecahan biasa 610+610=1210 jumlah 12.

Terdapat dua cara untuk melakukan ini.

1). Pecahan boleh ditukar kepada nombor bulat dan penambahan boleh dilakukan. Sebagai contoh, 1/2 ialah 0.5; 1/4 bersamaan dengan 0.25; 2/5 ialah 0.4, dsb.

Ambil integer 5, yang mana anda perlu menambah pecahan 4/5. Mari kita tukar pecahan: 4/5 ialah 4 dibahagikan dengan 5 dan kita dapat 0.8. Menambah 0.8 kepada 5 dan kita mendapat 5.8 atau 5 4/5.

2). Kaedah kedua: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

Menambah pecahan ialah operasi matematik yang mudah, contohnya, anda perlu menambah integer 3 dan pecahan 1/7. Untuk menambah dua nombor ini anda mesti mempunyai satu penyebut, jadi anda mesti darab tiga dengan tujuh dan bahagi dengan angka itu, kemudian anda mendapat 21/7+1/7, penyebut satu, tambah 21 dan 1, anda mendapat jawapan 22/7 .

Hanya ambil dan tambah integer pada pecahan ini. Katakan anda memerlukan 6 + 1/2 = 6 1/2. Nah, jika ini adalah pecahan perpuluhan, maka anda boleh melakukannya seperti ini: 6+1.2=7.2.

Untuk menambah pecahan dan integer, anda perlu menambah pecahan kepada integer dan menuliskannya sebagai nombor kompleks, sebagai contoh, apabila menambah pecahan biasa dengan integer, kita mendapat: 1/2 +3 = 3 1/ 2; apabila menambah pecahan perpuluhan: 0.5 +3 =3.5.

Pecahan itu sendiri bukanlah nombor bulat, kerana kuantitinya tidak mencapainya, dan oleh itu tidak perlu menukar nombor bulat kepada pecahan ini. Oleh itu, integer kekal sebagai integer dan menunjukkan nilai penuh sepenuhnya, dan pecahan ditambah kepadanya, dan menunjukkan berapa banyak integer ini hilang sebelum menambah mata penuh seterusnya.

Contoh akademik.

10 + 7/3 = 10 keseluruhan dan 7/3.

Jika, sudah tentu, terdapat integer, maka ia dijumlahkan dengan integer.

12 + 5 7/9 = 17 dan 7/9.

Ia bergantung pada integer dan pecahan mana.

Jika kedua-dua istilah adalah positif, pecahan ini hendaklah ditambah kepada nombor bulat. Hasilnya akan menjadi nombor bercampur. Lebih-lebih lagi, mungkin ada 2 kes.

Kes 1.

• Pecahan itu betul, i.e. pengangka kurang daripada penyebut. Kemudian nombor bercampur yang diperoleh selepas tugasan akan menjadi jawapannya.

4/9 + 10 = 10 4/9 (sepuluh koma empat persembilan).



Kes 2.

• Pecahan adalah tidak wajar, i.e. pengangka lebih besar daripada penyebut. Kemudian sedikit penukaran diperlukan. Pecahan tak wajar hendaklah ditukar kepada nombor bercampur, dengan kata lain, keseluruhan bahagian hendaklah diasingkan. Ini dilakukan seperti ini:



Selepas ini, anda perlu menambah keseluruhan bahagian pecahan tidak wajar kepada nombor bulat dan menambah bahagian pecahannya kepada jumlah yang terhasil. Dengan cara yang sama, satu keseluruhan ditambah kepada nombor bercampur.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 mata tiga suku).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 mata satu).

Jika salah satu syarat atau kedua-duanya negatif, kemudian kami melakukan penambahan mengikut peraturan untuk menambah nombor dengan tanda yang berbeza atau sama. Nombor bulat diwakili sebagai nisbah nombor itu dan 1, dan kemudian kedua-dua pengangka dan penyebut didarab dengan nombor yang sama dengan penyebut pecahan yang nombor bulat itu ditambah.

3) 1/5 + (-2)= 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (tolak 1 mata empat perlima).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (tolak 8 mata satu pertiga).

Komen.

Selepas berjumpa nombor negatif, apabila belajar operasi dengan mereka, pelajar gred 6 harus memahami bahawa menambah integer positif kepada pecahan negatif adalah sama seperti menolak pecahan daripada nombor asli. Tindakan ini diketahui dilakukan seperti ini:



Malah, untuk menambah pecahan dan integer, anda hanya perlu menukar integer sedia ada kepada pecahan, dan melakukan ini semudah membedil pear. Anda hanya perlu mengambil penyebut pecahan (dalam contoh) dan menjadikannya penyebut bagi nombor bulat dengan mendarabnya dengan penyebut itu dan membahagi, berikut ialah contoh:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

Pecahan bercampur, sama seperti pecahan mudah, boleh ditolak. Untuk menolak nombor pecahan bercampur anda perlu mengetahui beberapa peraturan penolakan. Mari kita kaji peraturan ini dengan contoh.

Menolak pecahan bercampur dengan penyebut yang sama.

Mari kita pertimbangkan contoh dengan syarat bahawa integer dikurangkan dan bahagian pecahan adalah lebih besar daripada integer dan bahagian pecahan masing-masing ditolak. Dalam keadaan sedemikian, penolakan berlaku secara berasingan. Kami menolak bahagian integer daripada keseluruhan bahagian, dan bahagian pecahan daripada bahagian pecahan.

Mari lihat contoh:

Tolak pecahan bercampur \(5\frac(3)(7)\) dan \(1\frac(1)(7)\).

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)

Ketepatan penolakan diperiksa dengan penambahan. Mari kita semak penolakan:

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)

Mari kita pertimbangkan contoh dengan keadaan apabila bahagian pecahan minuend adalah kurang daripada bahagian pecahan sepadan subtrahend. Dalam kes ini, kami meminjam satu daripada keseluruhan dalam minuend.

Mari lihat contoh:

Tolak pecahan bercampur \(6\frac(1)(4)\) dan \(3\frac(3)(4)\).

Minuend \(6\frac(1)(4)\) mempunyai bahagian pecahan yang lebih kecil daripada bahagian pecahan subtrahend \(3\frac(3)(4)\). Iaitu, \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \warna(merah) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(merah) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(align)\)

Contoh seterusnya:

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

Menolak pecahan bercampur daripada nombor bulat.

Contoh: \(3-1\frac(2)(5)\)

Minuend 3 tidak mempunyai bahagian pecahan, jadi kita tidak boleh segera menolak. Mari meminjam satu daripada keseluruhan bahagian 3, dan kemudian lakukan penolakan. Kami akan menulis unit sebagai \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(merah) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(merah) (\frac(5 )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

Menolak pecahan bercampur dengan penyebut yang berbeza.

Mari kita pertimbangkan contoh dengan syarat bahawa jika bahagian pecahan minuend dan subtrahend adalah penyebut yang berbeza. Anda perlu membawanya ke penyebut biasa, dan kemudian melakukan penolakan.

Tolak dua pecahan bercampur dengan penyebut yang berbeza \(2\frac(2)(3)\) dan \(1\frac(1)(4)\).

Penyebut biasa ialah nombor 12.

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(merah) (4))(3 \times \color(merah) (4) )-1\frac(1 \times \color(merah) (3))(4 \times \color(merah) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)

Soalan berkaitan:
Bagaimana hendak menolak pecahan bercampur? Bagaimana untuk menyelesaikan pecahan bercampur?
Jawapan: anda perlu memutuskan jenis ungkapan itu dan gunakan algoritma penyelesaian berdasarkan jenis ungkapan. Daripada bahagian integer kita tolak integer, dari bahagian pecahan kita tolak bahagian pecahan.

Bagaimana untuk menolak pecahan daripada nombor bulat? Bagaimana untuk menolak pecahan daripada nombor bulat?
Jawapan: anda perlu mengambil unit daripada integer dan menulis unit ini sebagai pecahan

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

dan kemudian tolak keseluruhan daripada keseluruhan, tolak bahagian pecahan daripada bahagian pecahan. Contoh:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(merah) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(merah) (\frac(7) )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

Contoh #1:
Tolak pecahan wajar daripada satu: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)

Penyelesaian:
a) Mari kita bayangkan unit sebagai pecahan dengan penyebut 33. Kita dapat \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

b) Mari kita bayangkan satu sebagai pecahan dengan penyebut 7. Kita dapat \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)

Contoh #2:
Tolak pecahan bercampur daripada nombor bulat: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)

Penyelesaian:
a) Mari kita meminjam 21 unit daripada integer dan menulisnya seperti ini \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)

b) Mari kita ambil satu daripada integer 2 dan tulis seperti ini \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)

Contoh #3:
Tolak integer daripada pecahan bercampur: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)

a) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

b) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

Contoh #4:
Tolak pecahan wajar daripada pecahan bercampur: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)

Contoh #5:
Kira \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(merah) ( 2))(8 \kali \warna(merah) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(merah) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \warna(merah) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(merah) (\frac(21 )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \end(align)\)

Beri perhatian! Sebelum menulis jawapan akhir anda, lihat jika anda boleh memendekkan pecahan yang anda terima.

Menolak pecahan dengan penyebut yang sama, contoh:

,

,

Menolak pecahan wajar daripada satu.

Jika perlu untuk menolak pecahan daripada unit yang wajar, unit itu ditukar kepada bentuk pecahan tak wajar, penyebutnya adalah sama dengan penyebut pecahan yang ditolak.

Contoh penolakan pecahan wajar daripada satu:

Penyebut pecahan yang hendak ditolak = 7 , iaitu, kita mewakili satu sebagai pecahan tak wajar 7/7 dan menolaknya mengikut peraturan untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama.

Menolak pecahan wajar daripada nombor bulat.

Peraturan untuk menolak pecahan - betul daripada nombor bulat (nombor asli):

• Kami menukar pecahan yang diberi yang mengandungi bahagian integer kepada yang tidak wajar. Kami mendapat istilah biasa (tidak kira jika ia mempunyai penyebut yang berbeza), yang kami kira mengikut peraturan yang diberikan di atas;
• Seterusnya, kami mengira perbezaan antara pecahan yang kami terima. Akibatnya, kita hampir akan menemui jawapannya;
• Kami melakukan transformasi songsang, iaitu, kami menyingkirkan pecahan tidak wajar - kami memilih keseluruhan bahagian dalam pecahan.

Menolak pecahan wajar daripada nombor bulat: mewakili nombor asli sebagai nombor bercampur. Itu. Kami mengambil unit dalam nombor asli dan menukarnya kepada bentuk pecahan tak wajar, penyebutnya sama dengan pecahan yang ditolak.

Contoh penolakan pecahan:

Dalam contoh, kita menggantikan satu dengan pecahan tak wajar 7/7 dan bukannya 3 kita menulis nombor bercampur dan menolak pecahan daripada bahagian pecahan.

Menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza.

Atau, dengan kata lain, menolak pecahan yang berbeza.

Peraturan untuk menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza. Untuk menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza, adalah perlu, pertama, untuk mengurangkan pecahan ini kepada penyebut biasa (LCD) terendah, dan hanya selepas ini, lakukan penolakan seperti dengan pecahan dengan penyebut yang sama.

Penyebut sepunya bagi beberapa pecahan ialah LCM (bilangan sepunya terkecil) nombor asli, yang merupakan penyebut bagi pecahan ini.

Perhatian! Jika dalam pecahan akhir pengangka dan penyebut mempunyai faktor sepunya, maka pecahan itu mesti dikurangkan. Pecahan tak wajar paling baik diwakili sebagai pecahan bercampur. Membiarkan hasil penolakan tanpa mengurangkan pecahan di mana mungkin adalah penyelesaian yang tidak lengkap untuk contoh!

Prosedur untuk menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza.

• cari LCM untuk semua penyebut;
• tambah faktor tambahan untuk semua pecahan;
• darab semua pengangka dengan faktor tambahan;
• Kami menulis produk yang terhasil ke dalam pengangka, menandatangani penyebut biasa di bawah semua pecahan;
• tolak pengangka pecahan, menandatangani penyebut biasa di bawah perbezaan.

Dengan cara yang sama, penambahan dan penolakan pecahan dilakukan jika terdapat huruf dalam pengangka.

Menolak pecahan, contoh:

Menolak pecahan bercampur.

Pada menolak pecahan bercampur (nombor) secara berasingan, bahagian integer ditolak daripada bahagian integer, dan bahagian pecahan ditolak daripada bahagian pecahan.

Pilihan pertama untuk menolak pecahan bercampur.

Jika bahagian pecahan serupa penyebut dan pengangka bahagian pecahan bagi minuend (kita tolak daripadanya) ≥ pengangka bahagian pecahan subtrahend (kita tolak).

Contohnya:

Pilihan kedua untuk menolak pecahan bercampur.

Apabila bahagian pecahan berbeza penyebut. Sebagai permulaan, kami membawa bahagian pecahan kepada penyebut biasa, dan selepas itu kami menolak keseluruhan bahagian daripada keseluruhan bahagian, dan bahagian pecahan daripada bahagian pecahan.

Contohnya:

Pilihan ketiga untuk menolak pecahan bercampur.

Bahagian pecahan minuend adalah kurang daripada bahagian pecahan subtrahend.

Contoh:

Kerana Bahagian pecahan mempunyai penyebut yang berbeza, yang bermaksud, seperti dalam pilihan kedua, kita mula-mula membawa pecahan biasa kepada penyebut biasa.

Pengangka bahagian pecahan minuend adalah kurang daripada pengangka bahagian pecahan subtrahend.3 < 14. Ini bermakna kita mengambil unit daripada keseluruhan bahagian dan mengurangkan unit ini kepada bentuk pecahan tak wajar dengan penyebut dan pengangka yang sama = 18.

Dalam pengangka di sebelah kanan kami menulis jumlah pengangka, kemudian kami membuka kurungan dalam pengangka di sebelah kanan, iaitu, kami mendarabkan segala-galanya dan memberikan yang serupa. Kami tidak membuka kurungan dalam penyebut. Adalah menjadi kebiasaan untuk meninggalkan produk dalam penyebut. Kami mendapat:

Pada abad kelima SM, ahli falsafah Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporia terkenalnya, yang paling terkenal ialah aporia "Achilles dan Kura-kura". Begini bunyinya:

Katakan Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat daripada kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Sepanjang masa yang diperlukan Achilles untuk berlari jarak ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Apabila Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak lagi sepuluh langkah, dan seterusnya. Proses ini akan diteruskan secara infinitum, Achilles tidak akan dapat mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logik untuk semua generasi berikutnya. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu cara atau yang lain. Kejutan itu sangat kuat sehingga" ...perbincangan berterusan sehingga hari ini, untuk mencapai pendapat umum tentang intipati paradoks komuniti saintifik setakat ini tidak mungkin... analisis matematik, teori set, pendekatan fizikal dan falsafah baru terlibat dalam kajian isu; tiada satu pun daripada mereka menjadi penyelesaian yang diterima umum untuk masalah itu..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Semua orang faham bahawa mereka sedang diperbodohkan, tetapi tiada siapa yang memahami apa itu penipuan.

Dari sudut pandangan matematik, Zeno dalam aporianya jelas menunjukkan peralihan daripada kuantiti kepada . Peralihan ini membayangkan aplikasi dan bukannya yang kekal. Setakat yang saya faham, radas matematik untuk menggunakan unit ukuran boleh ubah sama ada belum dibangunkan, atau ia belum digunakan pada aporia Zeno. Menggunakan logik biasa kita membawa kita ke dalam perangkap. Kami, disebabkan oleh inersia pemikiran, menggunakan unit masa yang tetap kepada nilai timbal balik. Dari sudut fizikal, ini kelihatan seperti masa semakin perlahan sehingga ia berhenti sepenuhnya pada saat Achilles mengejar penyu. Jika masa berhenti, Achilles tidak lagi boleh berlari lebih cepat daripada kura-kura.

Jika kita membalikkan logik biasa kita, semuanya akan menjadi tempatnya. Achilles berlari pada kelajuan tetap. Setiap segmen seterusnya dari laluannya adalah sepuluh kali lebih pendek daripada yang sebelumnya. Sehubungan itu, masa yang dihabiskan untuk mengatasinya adalah sepuluh kali ganda kurang daripada yang sebelumnya. Jika kita menggunakan konsep "infiniti" dalam situasi ini, maka adalah betul untuk mengatakan "Achilles akan mengejar penyu dengan cepat tanpa had."

Bagaimana untuk mengelakkan perangkap logik ini? Kekal dalam unit masa yang tetap dan jangan beralih kepada unit timbal balik. Dalam bahasa Zeno ia kelihatan seperti ini:

Dalam masa yang diperlukan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Semasa selang masa berikutnya sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Kini Achilles berada lapan ratus langkah di hadapan kura-kura.

Pendekatan ini menggambarkan realiti dengan secukupnya tanpa sebarang paradoks logik. Tetapi tidak penyelesaian yang lengkap masalah. Kenyataan Einstein tentang ketaktahan kelajuan cahaya sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan Kura-kura". Kita masih perlu mengkaji, memikirkan semula dan menyelesaikan masalah ini. Dan penyelesaian mesti dicari bukan dalam jumlah yang tidak terhingga, tetapi dalam unit ukuran.

Satu lagi aporia menarik Zeno menceritakan tentang anak panah terbang:

Anak panah terbang tidak bergerak, kerana pada setiap saat ia dalam keadaan rehat, dan kerana ia dalam keadaan rehat pada setiap saat, ia sentiasa dalam keadaan rehat.

Dalam aporia ini, paradoks logik diatasi dengan sangat mudah - sudah cukup untuk menjelaskan bahawa pada setiap saat anak panah terbang berada di tempat yang berbeza di angkasa, yang, sebenarnya, adalah gerakan. Satu lagi perkara perlu diperhatikan di sini. Dari satu gambar kereta di jalan raya adalah mustahil untuk menentukan sama ada fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan sama ada kereta sedang bergerak, anda memerlukan dua gambar yang diambil dari titik yang sama pada titik masa yang berbeza, tetapi anda tidak boleh menentukan jarak darinya. Untuk menentukan jarak ke kereta, anda memerlukan dua gambar yang diambil dari titik yang berbeza di angkasa pada satu masa, tetapi daripada mereka anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan (sudah tentu, anda masih memerlukan data tambahan untuk pengiraan, trigonometri akan membantu anda ). Apa yang saya ingin menarik perhatian khusus ialah dua titik dalam masa dan dua titik dalam ruang adalah perkara yang berbeza yang tidak boleh dikelirukan, kerana ia menyediakan peluang yang berbeza untuk penyelidikan.

Rabu, 4 Julai 2018

Perbezaan antara set dan multiset diterangkan dengan baik di Wikipedia. Jom tengok.

Seperti yang anda lihat, "tidak boleh ada dua elemen yang sama dalam set," tetapi jika terdapat elemen yang sama dalam set, set sedemikian dipanggil "multiset." Makhluk yang munasabah tidak akan memahami logik yang tidak masuk akal itu. Ini adalah tahap burung kakak tua bercakap dan monyet terlatih, yang tidak mempunyai kecerdasan daripada perkataan "sepenuhnya". Ahli matematik bertindak sebagai jurulatih biasa, memberitakan kepada kita idea-idea tidak masuk akal mereka.

Suatu ketika dahulu, jurutera yang membina jambatan itu berada di dalam bot di bawah jambatan semasa menguji jambatan. Jika jambatan itu runtuh, jurutera biasa-biasa itu mati di bawah runtuhan ciptaannya. Jika jambatan itu boleh menahan beban, jurutera berbakat membina jambatan lain.

Tidak kira bagaimana ahli matematik bersembunyi di sebalik frasa "fikirkan saya, saya di rumah," atau lebih tepat, "matematik mengkaji konsep abstrak," terdapat satu tali pusat yang menghubungkannya dengan realiti. Tali pusat ini adalah wang. Marilah kita mengaplikasikan teori set matematik kepada ahli matematik itu sendiri.

Kami belajar matematik dengan baik dan sekarang kami duduk di meja tunai, memberikan gaji. Jadi seorang ahli matematik datang kepada kami untuk mendapatkan wangnya. Kami mengira jumlah keseluruhan kepadanya dan meletakkannya di atas meja kami dalam longgokan yang berbeza, di mana kami meletakkan bil daripada denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu bil dari setiap longgokan dan memberi ahli matematik itu "set gaji matematiknya." Mari kita jelaskan kepada ahli matematik bahawa dia akan menerima baki bil hanya apabila dia membuktikan bahawa set tanpa unsur yang sama tidak sama dengan set dengan unsur yang sama. Di sinilah keseronokan bermula.

Pertama sekali, logik timbalan akan berfungsi: "Ini boleh digunakan untuk orang lain, tetapi tidak kepada saya!" Kemudian mereka akan mula meyakinkan kita bahawa bil daripada denominasi yang sama mempunyai nombor bil yang berbeza, yang bermaksud ia tidak boleh dianggap sebagai elemen yang sama. Baiklah, mari kita mengira gaji dalam syiling - tiada nombor pada syiling. Di sini ahli matematik akan mula panik mengingat fizik: pada syiling yang berbeza ada kuantiti yang berbeza kotoran, struktur kristal dan susunan atom setiap syiling adalah unik...

Dan sekarang saya mempunyai yang paling banyak soalan yang menarik: di manakah garisan di mana unsur-unsur himpunan berbilang bertukar menjadi unsur-unsur set dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak wujud - segala-galanya ditentukan oleh bomoh, sains tidak hampir dengan berbohong di sini.

Tengok sini. Kami memilih stadium bola sepak dengan keluasan padang yang sama. Kawasan medan adalah sama - yang bermaksud kita mempunyai multiset. Tetapi jika kita lihat nama stadium yang sama ini, kita dapat banyak, kerana nama berbeza. Seperti yang anda lihat, set elemen yang sama ialah set dan multiset. Mana yang betul? Dan di sini ahli matematik-bomoh-tajam mengeluarkan ace of trumps dari lengan bajunya dan mula memberitahu kita sama ada tentang set atau multiset. Walau apa pun, dia akan meyakinkan kita bahawa dia betul.

Untuk memahami bagaimana bomoh moden beroperasi dengan teori set, mengikatnya dengan realiti, sudah cukup untuk menjawab satu soalan: bagaimana unsur-unsur satu set berbeza daripada unsur set lain? Saya akan tunjukkan kepada anda, tanpa sebarang "boleh dibayangkan sebagai bukan satu keseluruhan" atau "tidak boleh difikirkan sebagai satu keseluruhan."

Ahad, 18 Mac 2018

Jumlah digit nombor ialah tarian bomoh dengan rebana, yang tiada kaitan dengan matematik. Ya, dalam pelajaran matematik kita diajar untuk mencari jumlah digit nombor dan menggunakannya, tetapi itulah sebabnya mereka adalah bomoh, untuk mengajar keturunan mereka kemahiran dan kebijaksanaan mereka, jika tidak bomoh akan mati begitu saja.

Adakah anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan cuba cari halaman "Jumlah digit nombor." Dia tidak wujud. Tiada formula dalam matematik yang boleh digunakan untuk mencari jumlah digit bagi sebarang nombor. Lagipun, nombor adalah simbol grafik yang kita gunakan untuk menulis nombor, dan dalam bahasa matematik tugasnya berbunyi seperti ini: "Cari jumlah simbol grafik yang mewakili sebarang nombor." Ahli matematik tidak dapat menyelesaikan masalah ini, tetapi bomoh boleh melakukannya dengan mudah.

Mari kita fikirkan apa dan bagaimana kita lakukan untuk mencari jumlah digit bagi nombor tertentu. Jadi, marilah kita mempunyai nombor 12345. Apakah yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah digit nombor ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah mengikut urutan.

1. Tulis nombor pada sekeping kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah menukar nombor tersebut kepada simbol nombor grafik. Ini bukan operasi matematik.

2. Potong satu gambar yang terhasil kepada beberapa gambar yang mengandungi nombor individu. Memotong gambar bukan operasi matematik.

3. Tukar simbol grafik individu kepada nombor. Ini bukan operasi matematik.

4. Tambahkan nombor yang terhasil. Sekarang ini adalah matematik.

Jumlah digit nombor 12345 ialah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" daripada bomoh yang digunakan oleh ahli matematik. Tetapi bukan itu sahaja.

Dari sudut matematik, tidak kira dalam sistem nombor mana kita menulis nombor. Jadi, dalam sistem nombor yang berbeza jumlah digit nombor yang sama akan berbeza. Dalam matematik, sistem nombor ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan nombor. DENGAN sebilangan besar 12345 Saya tidak mahu menipu kepala saya, mari kita lihat nombor 26 dari artikel tentang . Mari kita tulis nombor ini dalam sistem nombor perduaan, perlapanan, perpuluhan dan heksadesimal. Kami tidak akan melihat setiap langkah di bawah mikroskop; Jom tengok hasilnya.

Seperti yang anda lihat, dalam sistem nombor yang berbeza jumlah digit nombor yang sama adalah berbeza. Keputusan ini tiada kaitan dengan matematik. Ia sama seperti jika anda menentukan luas segi empat tepat dalam meter dan sentimeter, anda akan mendapat hasil yang sama sekali berbeza.

Sifar kelihatan sama dalam semua sistem nombor dan tidak mempunyai jumlah digit. Ini adalah satu lagi hujah yang memihak kepada fakta itu. Soalan untuk ahli matematik: bagaimanakah sesuatu yang bukan nombor ditetapkan dalam matematik? Apa, bagi ahli matematik tiada apa yang wujud kecuali nombor? Saya boleh membenarkan ini untuk bomoh, tetapi tidak untuk saintis. Realiti bukan hanya tentang angka.

Keputusan yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahawa sistem nombor adalah unit ukuran untuk nombor. Lagipun, kita tidak boleh membandingkan nombor dengan unit ukuran yang berbeza. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeza kuantiti yang sama membawa kepada hasil yang berbeza selepas membandingkan mereka, bermakna ia tidak ada kaitan dengan matematik.

Apakah matematik sebenar? Ini adalah apabila hasilnya operasi matematik tidak bergantung pada saiz nombor, unit ukuran yang digunakan dan siapa yang melakukan tindakan.

Tanda di pintu Dia membuka pintu dan berkata:

Oh! Bukankah ini tandas wanita?
- Wanita muda! Ini adalah makmal untuk mengkaji kesucian jiwa yang tidak sempurna semasa mereka naik ke syurga! Halo di atas dan anak panah ke atas. Tandas apa lagi?

Perempuan... Lingkaran di atas dan anak panah ke bawah adalah lelaki.

Jika karya seni reka bentuk seperti itu berkelip di hadapan mata anda beberapa kali sehari,

Maka tidak hairanlah anda tiba-tiba menjumpai ikon pelik di dalam kereta anda:

Secara peribadi, saya berusaha untuk melihat tolak empat darjah pada orang yang membuang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda tolak, nombor empat, penunjuk darjah). Dan saya tidak fikir gadis ini bodoh yang tidak tahu fizik. Dia hanya mempunyai stereotaip yang kuat untuk melihat imej grafik. Dan ahli matematik mengajar kita ini sepanjang masa. Berikut adalah contoh.

1A bukan "tolak empat darjah" atau "satu a". Ini ialah "lelaki buang air besar" atau nombor "dua puluh enam" dalam tatatanda heksadesimal. Mereka yang sentiasa bekerja dalam sistem nombor ini secara automatik menganggap nombor dan huruf sebagai satu simbol grafik.

Cari pengangka dan penyebut. Pecahan merangkumi dua nombor: nombor yang terletak di atas garis dipanggil pengangka, dan nombor yang terletak di bawah garis dipanggil penyebut. Penyebut bermaksud jumlah kuantiti bahagian yang sebahagian keseluruhannya dibahagikan, dan pengangka ialah bilangan yang dipertimbangkan bagi bahagian tersebut.

• Sebagai contoh, dalam pecahan ½ pengangka ialah 1 dan penyebutnya ialah 2.

Tentukan penyebutnya. Jika dua atau lebih pecahan mempunyai penyebut yang sama, pecahan tersebut mempunyai nombor yang sama di bawah garis, iaitu, dalam kes ini, keseluruhan tertentu dibahagikan kepada bilangan bahagian yang sama. Menambah pecahan dengan penyebut biasa adalah sangat mudah, kerana penyebut pecahan yang dijumlahkan akan sama dengan pecahan yang ditambah. Contohnya:

• Pecahan 3/5 dan 2/5 mempunyai penyebut sepunya 5.
• Pecahan 3/8, 5/8, 17/8 mempunyai penyebut sepunya 8.

Tentukan pembilang. Untuk menambah pecahan dengan penyebut biasa, tambahkan pengangkanya dan tulis hasilnya di atas penyebut pecahan yang ditambah.

• Pecahan 3/5 dan 2/5 mempunyai pembilang 3 dan 2.
• Pecahan 3/8, 5/8, 17/8 mempunyai pengangka 3, 5, 17.

Jumlahkan pembilang. Dalam masalah 3/5 + 2/5, tambahkan pengangka 3 + 2 = 5. Dalam masalah 3/8 + 5/8 + 17/8, tambahkan pengangka 3 + 5 + 17 = 25.

Tuliskan jumlah pecahan. Ingat bahawa apabila menambah pecahan dengan penyebut biasa, ia kekal tidak berubah - hanya pengangka yang ditambah.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Tukarkan pecahan jika perlu. Kadangkala pecahan boleh ditulis sebagai nombor bulat dan bukannya sebagai pecahan atau perpuluhan. Sebagai contoh, pecahan 5/5 dengan mudah boleh ditukar kepada 1, kerana mana-mana pecahan yang pengangkanya sama dengan penyebutnya ialah 1. Bayangkan sebiji pai dipotong kepada tiga bahagian. Jika anda makan ketiga-tiga bahagian, anda akan makan keseluruhan (satu) pai.

• saya suka pecahan sepunya boleh ditukar kepada perpuluhan; Untuk melakukan ini, bahagikan pengangka dengan penyebut. Sebagai contoh, pecahan 5/8 boleh ditulis seperti berikut: 5 ÷ 8 = 0.625.

Jika boleh, mudahkan pecahan itu. Pecahan mudah ialah pecahan yang pengangka dan penyebutnya tidak mempunyai faktor sepunya.

• Sebagai contoh, pertimbangkan pecahan 3/6. Di sini kedua-dua pengangka dan penyebut mempunyai pembahagi sepunya sama dengan 3, iaitu pengangka dan penyebut boleh dibahagikan sepenuhnya dengan 3. Oleh itu, pecahan 3/6 boleh ditulis seperti berikut: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½ .

Jika perlu, tukarkan pecahan tak wajar kepada pecahan bercampur (nombor bercampur). Pecahan tak wajar mempunyai pengangka yang lebih besar daripada penyebutnya, contohnya, 25/8 (pecahan wajar mempunyai pengangka kurang daripada penyebutnya). Pecahan tak wajar boleh ditukar kepada pecahan bercampur, yang terdiri daripada bahagian integer (iaitu nombor bulat) dan bahagian pecahan (iaitu pecahan wajar). Untuk menukar pecahan tak wajar, seperti 25/8, kepada nombor bercampur, ikut langkah berikut:

• Bahagikan pengangka bagi pecahan tak wajar dengan penyebutnya; tuliskan pecahan tidak lengkap (keseluruhan jawapan). Dalam contoh kami: 25 ÷ 8 = 3 campur beberapa baki. Dalam kes ini, keseluruhan jawapan adalah keseluruhan bahagian nombor bercampur.
• Cari bakinya. Dalam contoh kami: 8 x 3 = 24; tolak hasil yang terhasil daripada pengangka asal: 25 - 24 = 1, iaitu bakinya ialah 1. Dalam kes ini, bakinya ialah pengangka bahagian pecahan nombor bercampur.
• Tulis pecahan bercampur. Penyebutnya tidak berubah (iaitu, ia sama dengan penyebut pecahan tak wajar), jadi 25/8 = 3 1/8.