Pecahan, operasi dengan pecahan. Kalkulator dalam talian Mengira ungkapan dengan pecahan berangka

Isi pelajaran

Menambah pecahan dengan penyebut yang sama

Terdapat dua jenis penambahan pecahan:

1. Menambah pecahan dengan penyebut yang sama
2. Menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza

Mula-mula, mari kita pelajari penambahan pecahan dengan penyebut yang sama. Semuanya mudah di sini. Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya dan biarkan penyebutnya tidak berubah. Sebagai contoh, mari tambah pecahan dan . Tambahkan pengangka dan biarkan penyebut tidak berubah:

Contoh ini mudah difahami jika kita mengingati piza yang terbahagi kepada empat bahagian. Jika anda menambah piza pada piza, anda mendapat piza:

Contoh 2. Tambah pecahan dan .

Jawapannya ternyata pecahan yang tidak wajar. Apabila akhir tugas tiba, adalah kebiasaan untuk menyingkirkan pecahan yang tidak wajar. Untuk menyingkirkan pecahan tidak wajar, anda perlu memilih keseluruhan bahagiannya. Dalam kes kita keseluruhan bahagian menonjol dengan mudah - dua dibahagikan dengan dua sama dengan satu:

Contoh ini mudah difahami jika kita ingat tentang pizza yang terbahagi kepada dua bahagian. Jika anda menambah lebih banyak piza pada piza, anda akan mendapat satu keseluruhan piza:

Contoh 3. Tambah pecahan dan .

Sekali lagi, kami menjumlahkan pengangka dan membiarkan penyebut tidak berubah:

Contoh ini mudah difahami jika kita mengingati piza yang terbahagi kepada tiga bahagian. Jika anda menambah lebih banyak piza pada piza, anda akan mendapat piza:

Contoh 4. Cari nilai ungkapan

Contoh ini diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya. Pengangka mesti ditambah dan penyebut dibiarkan tidak berubah:

Mari cuba gambarkan penyelesaian kami menggunakan lukisan. Jika anda menambah pizza pada pizza dan menambah lagi pizza, anda akan mendapat 1 keseluruhan pizza dan satu lagi pizza.

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama. Ia cukup untuk memahami peraturan berikut:

1. Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya dan biarkan penyebutnya tidak berubah;

Menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza

Sekarang mari kita belajar cara menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza. Apabila menambah pecahan, penyebut pecahan mestilah sama. Tetapi mereka tidak selalu sama.

Sebagai contoh, pecahan boleh ditambah kerana ia mempunyai penyebut yang sama.

Tetapi pecahan tidak boleh ditambah serta-merta, kerana pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeza. Dalam kes sedemikian, pecahan mesti dikurangkan kepada penyebut yang sama (sepunya).

Terdapat beberapa cara untuk mengurangkan pecahan kepada penyebut yang sama. Hari ini kita akan melihat hanya satu daripada mereka, kerana kaedah lain mungkin kelihatan rumit untuk pemula.

Intipati kaedah ini ialah terlebih dahulu LCM penyebut kedua-dua pecahan dicari. LCM kemudiannya dibahagikan dengan penyebut pecahan pertama untuk mendapatkan faktor tambahan pertama. Mereka melakukan perkara yang sama dengan pecahan kedua - LCM dibahagikan dengan penyebut pecahan kedua dan faktor tambahan kedua diperolehi.

Pengangka dan penyebut pecahan kemudiannya didarab dengan faktor tambahannya. Hasil daripada tindakan ini, pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza ditukarkan kepada pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu cara menambah pecahan tersebut.

Contoh 1. Mari tambah pecahan dan

Pertama sekali, kita dapati gandaan sepunya terkecil bagi penyebut kedua-dua pecahan. Penyebut pecahan pertama ialah nombor 3, dan penyebut pecahan kedua ialah nombor 2. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini ialah 6

LCM (2 dan 3) = 6

Sekarang mari kita kembali kepada pecahan dan . Mula-mula, bahagikan LCM dengan penyebut pecahan pertama dan dapatkan faktor tambahan pertama. LCM ialah nombor 6, dan penyebut bagi pecahan pertama ialah nombor 3. Bahagi 6 dengan 3, kita dapat 2.

Nombor 2 yang terhasil ialah pengganda tambahan pertama. Kami menuliskannya kepada pecahan pertama. Untuk melakukan ini, buat garis serong kecil di atas pecahan dan tuliskan faktor tambahan yang terdapat di atasnya:

Kami melakukan perkara yang sama dengan pecahan kedua. Kami membahagikan LCM dengan penyebut pecahan kedua dan mendapatkan faktor tambahan kedua. LCM ialah nombor 6, dan penyebut bagi pecahan kedua ialah nombor 2. Bahagi 6 dengan 2, kita dapat 3.

Nombor 3 yang terhasil adalah pengganda tambahan kedua. Kami menuliskannya kepada pecahan kedua. Sekali lagi, kami membuat garis serong kecil di atas pecahan kedua dan tuliskan faktor tambahan yang terdapat di atasnya:

Sekarang kami mempunyai segala-galanya untuk penambahan. Ia kekal untuk mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya:

Lihat dengan teliti apa yang telah kita perolehi. Kami membuat kesimpulan bahawa pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu cara menambah pecahan tersebut. Mari kita ambil contoh ini hingga akhir:

Ini melengkapkan contoh. Ternyata menambah .

Mari cuba gambarkan penyelesaian kami menggunakan lukisan. Jika anda menambah piza pada piza, anda akan mendapat satu piza keseluruhan dan satu per enam lagi piza:

Mengurangkan pecahan kepada penyebut yang sama (sepunya) juga boleh digambarkan menggunakan gambar. Mengurangkan pecahan dan kepada penyebut biasa, kami mendapat pecahan dan . Kedua-dua pecahan ini akan diwakili oleh kepingan piza yang sama. Satu-satunya perbezaan ialah kali ini mereka akan dibahagikan kepada bahagian yang sama (dikurangkan kepada penyebut yang sama).

Lukisan pertama mewakili pecahan (empat keping daripada enam), dan lukisan kedua mewakili pecahan (tiga keping daripada enam). Menambah kepingan ini kita dapat (tujuh keping daripada enam). Pecahan ini tidak betul, jadi kami menyerlahkan keseluruhan bahagiannya. Hasilnya, kami mendapat (satu keseluruhan piza dan satu lagi piza keenam).

Sila ambil perhatian bahawa kami telah menerangkan contoh ini dengan terlalu terperinci. DALAM institusi pendidikan Ia bukan kebiasaan untuk menulis secara terperinci. Anda perlu dapat dengan cepat mencari LCM bagi kedua-dua penyebut dan faktor tambahan kepada mereka, serta dengan cepat mendarabkan faktor tambahan yang ditemui dengan pengangka dan penyebut anda. Jika kita berada di sekolah, kita perlu menulis contoh ini seperti berikut:

Tetapi terdapat juga sisi lain kepada syiling. Jika anda tidak mengambil nota terperinci pada peringkat pertama mempelajari matematik, maka soalan seumpama itu mula muncul. “Dari mana datangnya nombor itu?”, “Mengapa pecahan tiba-tiba bertukar menjadi pecahan yang berbeza sama sekali? «.

Untuk memudahkan menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza, anda boleh menggunakan arahan langkah demi langkah berikut:

1. Cari LCM bagi penyebut pecahan;
2. Bahagikan LCM dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan faktor tambahan bagi setiap pecahan;
3. Darabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya;
4. Tambah pecahan yang mempunyai penyebut yang sama;
5. Jika jawapannya ternyata pecahan tidak wajar, maka pilih keseluruhan bahagiannya;

Contoh 2. Cari nilai ungkapan .

Mari gunakan arahan yang diberikan di atas.

Langkah 1. Cari KPK bagi penyebut pecahan itu

Cari LCM bagi penyebut kedua-dua pecahan. Penyebut pecahan ialah nombor 2, 3 dan 4

Langkah 2. Bahagikan LCM dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan faktor tambahan bagi setiap pecahan

Bahagikan LCM dengan penyebut pecahan pertama. LCM ialah nombor 12, dan penyebut pecahan pertama ialah nombor 2. Bahagi 12 dengan 2, kita dapat 6. Kita dapat faktor tambahan pertama 6. Kita tulis di atas pecahan pertama:

Sekarang kita bahagikan LCM dengan penyebut pecahan kedua. LCM ialah nombor 12, dan penyebut bagi pecahan kedua ialah nombor 3. Bahagikan 12 dengan 3, kita dapat 4. Kita dapat faktor tambahan kedua 4. Kita tulis di atas pecahan kedua:

Sekarang kita bahagikan LCM dengan penyebut pecahan ketiga. LCM ialah nombor 12, dan penyebut bagi pecahan ketiga ialah nombor 4. Bahagi 12 dengan 4, kita dapat 3. Kita dapat faktor tambahan ketiga 3. Kita tulis di atas pecahan ketiga:

Langkah 3. Darabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya

Kami mendarabkan pengangka dan penyebut dengan faktor tambahannya:

Langkah 4. Tambah pecahan dengan penyebut yang sama

Kami membuat kesimpulan bahawa pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama (sepunya). Yang tinggal hanyalah menambah pecahan ini. Tambahnya:

Penambahan tidak sesuai pada satu baris, jadi kami mengalihkan ungkapan yang tinggal ke baris seterusnya. Ini dibenarkan dalam matematik. Apabila ungkapan tidak sesuai pada satu baris, ia dipindahkan ke baris seterusnya, dan perlu meletakkan tanda sama (=) pada penghujung baris pertama dan pada permulaan baris baharu. Tanda sama pada baris kedua menunjukkan bahawa ini adalah kesinambungan ungkapan yang berada pada baris pertama.

Langkah 5. Jika jawapan ternyata pecahan tak wajar, maka pilih keseluruhan bahagiannya

Jawapan kami ternyata pecahan tidak wajar. Kita perlu menyerlahkan sebahagian daripadanya. Kami menyerlahkan:

Kami menerima jawapan

Menolak pecahan dengan penyebut yang sama

Terdapat dua jenis penolakan pecahan:

1. Menolak pecahan dengan penyebut yang sama
2. Menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza

Mula-mula, mari belajar cara menolak pecahan dengan penyebut yang sama. Semuanya mudah di sini. Untuk menolak pecahan lain daripada satu pecahan, anda perlu menolak pengangka pecahan kedua daripada pengangka pecahan pertama, tetapi biarkan penyebutnya sama.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai ungkapan . Untuk menyelesaikan contoh ini, anda perlu menolak pengangka pecahan kedua daripada pengangka pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah. Mari lakukan ini:

Contoh ini mudah difahami jika kita mengingati piza yang terbahagi kepada empat bahagian. Jika anda memotong piza daripada piza, anda mendapat piza:

Contoh 2. Cari nilai ungkapan itu.

Sekali lagi, daripada pengangka bagi pecahan pertama, tolak pengangka bagi pecahan kedua, dan biarkan penyebutnya tidak berubah:

Contoh ini mudah difahami jika kita mengingati piza yang terbahagi kepada tiga bahagian. Jika anda memotong piza daripada piza, anda mendapat piza:

Contoh 3. Cari nilai ungkapan

Contoh ini diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya. Daripada pengangka pecahan pertama anda perlu menolak pengangka bagi pecahan yang tinggal:

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama. Ia cukup untuk memahami peraturan berikut:

1. Untuk menolak pecahan lain daripada satu pecahan, anda perlu menolak pengangka pecahan kedua daripada pengangka pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah;
2. Jika jawapannya ternyata pecahan tidak wajar, maka anda perlu menyerlahkan keseluruhan bahagiannya.

Menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza

Sebagai contoh, anda boleh menolak pecahan daripada pecahan kerana pecahan tersebut mempunyai penyebut yang sama. Tetapi anda tidak boleh menolak pecahan daripada pecahan, kerana pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeza. Dalam kes sedemikian, pecahan mesti dikurangkan kepada penyebut yang sama (sepunya).

Penyebut biasa didapati menggunakan prinsip yang sama yang kami gunakan semasa menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza. Pertama sekali, cari KPK bagi penyebut kedua-dua pecahan. Kemudian LCM dibahagikan dengan penyebut pecahan pertama dan faktor tambahan pertama diperoleh, yang ditulis di atas pecahan pertama. Begitu juga, LCM dibahagikan dengan penyebut pecahan kedua dan faktor tambahan kedua diperoleh, yang ditulis di atas pecahan kedua.

Pecahan itu kemudiannya didarab dengan faktor tambahannya. Hasil daripada operasi ini, pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza ditukarkan kepada pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu bagaimana untuk menolak pecahan tersebut.

Contoh 1. Cari maksud ungkapan:

Pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeza, jadi anda perlu mengurangkannya kepada penyebut yang sama (sepunya).

Mula-mula kita dapati LCM bagi penyebut kedua-dua pecahan. Penyebut bagi pecahan pertama ialah nombor 3, dan penyebut bagi pecahan kedua ialah nombor 4. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini ialah 12

LCM (3 dan 4) = 12

Sekarang mari kita kembali kepada pecahan dan

Mari cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. Untuk melakukan ini, bahagikan LCM dengan penyebut pecahan pertama. LCM ialah nombor 12, dan penyebut bagi pecahan pertama ialah nombor 3. Bahagi 12 dengan 3, kita dapat 4. Tulis empat di atas pecahan pertama:

Kami melakukan perkara yang sama dengan pecahan kedua. Bahagikan LCM dengan penyebut pecahan kedua. LCM ialah nombor 12, dan penyebut bagi pecahan kedua ialah nombor 4. Bahagi 12 dengan 4, kita dapat 3. Tulis tiga di atas pecahan kedua:

Sekarang kita sudah bersedia untuk penolakan. Ia kekal untuk mendarabkan pecahan dengan faktor tambahannya:

Kami membuat kesimpulan bahawa pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu bagaimana untuk menolak pecahan tersebut. Mari kita ambil contoh ini hingga akhir:

Kami menerima jawapan

Mari cuba gambarkan penyelesaian kami menggunakan lukisan. Jika anda memotong pizza daripada pizza, anda akan mendapat pizza

Ini adalah versi terperinci penyelesaian. Jika kita berada di sekolah, kita perlu menyelesaikan contoh ini dengan lebih pendek. Penyelesaian sedemikian akan kelihatan seperti ini:

Mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa juga boleh digambarkan menggunakan gambar. Mengurangkan pecahan ini kepada penyebut biasa, kami mendapat pecahan dan . Pecahan ini akan diwakili oleh kepingan pizza yang sama, tetapi kali ini ia akan dibahagikan kepada bahagian yang sama (dikurangkan kepada penyebut yang sama):

Gambar pertama menunjukkan pecahan (lapan keping daripada dua belas), dan gambar kedua menunjukkan pecahan (tiga keping daripada dua belas). Dengan memotong tiga keping daripada lapan keping, kita mendapat lima keping daripada dua belas. Pecahan menerangkan lima keping ini.

Contoh 2. Cari nilai ungkapan

Pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeza, jadi pertama anda perlu mengurangkannya kepada penyebut yang sama (sepunya).

Mari kita cari LCM bagi penyebut pecahan ini.

Penyebut pecahan ialah nombor 10, 3 dan 5. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini ialah 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sekarang kita dapati faktor tambahan untuk setiap pecahan. Untuk melakukan ini, bahagikan LCM dengan penyebut setiap pecahan.

Mari cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. LCM ialah nombor 30, dan penyebut bagi pecahan pertama ialah nombor 10. Bahagikan 30 dengan 10, kita mendapat faktor tambahan pertama 3. Kami menulisnya di atas pecahan pertama:

Sekarang kita dapati faktor tambahan untuk pecahan kedua. Bahagikan LCM dengan penyebut pecahan kedua. LCM ialah nombor 30, dan penyebut bagi pecahan kedua ialah nombor 3. Bahagikan 30 dengan 3, kita mendapat faktor tambahan kedua 10. Kami menulisnya di atas pecahan kedua:

Sekarang kita dapati faktor tambahan untuk pecahan ketiga. Bahagikan LCM dengan penyebut pecahan ketiga. LCM ialah nombor 30, dan penyebut bagi pecahan ketiga ialah nombor 5. Bahagikan 30 dengan 5, kita mendapat faktor tambahan ketiga 6. Kami menulisnya di atas pecahan ketiga:

Sekarang semuanya sedia untuk penolakan. Ia kekal untuk mendarabkan pecahan dengan faktor tambahannya:

Kami sampai pada kesimpulan bahawa pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama (sepunya). Dan kita sudah tahu bagaimana untuk menolak pecahan tersebut. Mari kita selesaikan contoh ini.

Sambungan contoh tidak akan muat pada satu baris, jadi kami mengalihkan sambungan ke baris seterusnya. Jangan lupa tentang tanda sama (=) pada baris baharu:

Jawapannya ternyata pecahan biasa, dan semuanya kelihatan sesuai dengan kita, tetapi ia terlalu rumit dan hodoh. Kita harus menjadikannya lebih mudah. Apa yang boleh dibuat? Anda boleh memendekkan pecahan ini.

Untuk mengurangkan pecahan, anda perlu membahagikan pengangka dan penyebutnya dengan (GCD) bagi nombor 20 dan 30.

Jadi, kita dapati gcd nombor 20 dan 30:

Sekarang kita kembali kepada contoh kita dan bahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan gcd yang ditemui, iaitu, dengan 10

Kami menerima jawapan

Mendarab pecahan dengan nombor

Untuk mendarab pecahan dengan nombor, anda perlu mendarabkan pengangka pecahan dengan nombor itu dan biarkan penyebutnya sama.

Contoh 1. Darab pecahan dengan nombor 1.

Darabkan pengangka pecahan dengan nombor 1

Rakaman boleh difahami sebagai mengambil separuh 1 kali. Sebagai contoh, jika anda mengambil pizza 1 kali, anda mendapat pizza

Daripada hukum pendaraban kita tahu bahawa jika darab dan faktor ditukar, hasil darab tidak akan berubah. Jika ungkapan ditulis sebagai , maka hasil darab akan tetap sama dengan . Sekali lagi, peraturan untuk mendarab nombor bulat dan pecahan berfungsi:

Notasi ini boleh difahami sebagai mengambil separuh daripada satu. Sebagai contoh, jika terdapat 1 keseluruhan pizza dan kami mengambil separuh daripadanya, maka kami akan mempunyai pizza:

Contoh 2. Cari nilai ungkapan

Darabkan pengangka pecahan dengan 4

Jawapannya ialah pecahan tak wajar. Mari kita serlahkan keseluruhan bahagiannya:

Ungkapan itu boleh difahami sebagai mengambil dua perempat 4 kali. Sebagai contoh, jika anda mengambil 4 piza, anda akan mendapat dua piza keseluruhan

Dan jika kita menukar darab dan darab, kita mendapat ungkapan . Ia juga akan bersamaan dengan 2. Ungkapan ini boleh difahami sebagai mengambil dua piza daripada empat piza keseluruhan:

Mendarab pecahan

Untuk mendarab pecahan, anda perlu mendarabkan pengangka dan penyebutnya. Jika jawapannya ternyata pecahan tidak wajar, anda perlu menyerlahkan keseluruhan bahagiannya.

Contoh 1. Cari nilai ungkapan itu.

Kami menerima jawapan. Adalah dinasihatkan untuk mengurangkan pecahan ini. Pecahan boleh dikurangkan sebanyak 2. Kemudian penyelesaian akhir akan mengambil bentuk berikut:

Ungkapan itu boleh difahami sebagai mengambil piza daripada separuh piza. Katakan kita mempunyai separuh pizza:

Bagaimana untuk mengambil dua pertiga daripada separuh ini? Mula-mula anda perlu membahagikan separuh ini kepada tiga bahagian yang sama:

Dan ambil dua daripada tiga keping ini:

Kami akan membuat pizza. Ingat rupa pizza apabila dibahagikan kepada tiga bahagian:

Satu keping piza ini dan dua keping yang kami ambil akan mempunyai dimensi yang sama:

Dalam erti kata lain, kita bercakap tentang pizza saiz yang sama. Oleh itu nilai ungkapan tersebut ialah

Contoh 2. Cari nilai ungkapan

Darabkan pengangka pecahan pertama dengan pengangka pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:

Jawapannya ialah pecahan tak wajar. Mari kita serlahkan keseluruhan bahagiannya:

Contoh 3. Cari nilai ungkapan

Darabkan pengangka pecahan pertama dengan pengangka pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:

Jawapannya ternyata pecahan biasa, tetapi lebih baik jika ia dipendekkan. Untuk mengurangkan pecahan ini, anda perlu membahagikan pengangka dan penyebut pecahan ini dengan pembahagi sepunya terbesar (GCD) bagi nombor 105 dan 450.

Jadi, mari cari gcd nombor 105 dan 450:

Sekarang kita bahagikan pengangka dan penyebut jawapan kita dengan gcd yang kini kita temui, iaitu, dengan 15

Mewakili nombor bulat sebagai pecahan

Mana-mana nombor bulat boleh diwakili sebagai pecahan. Sebagai contoh, nombor 5 boleh diwakili sebagai . Ini tidak akan mengubah makna lima, kerana ungkapan itu bermaksud "nombor lima dibahagikan dengan satu," dan ini, seperti yang kita ketahui, bersamaan dengan lima:

Nombor timbal balik

Sekarang kita akan berkenalan dengan sangat topik yang menarik dalam matematik. Ia dipanggil "nombor terbalik".

Definisi. Balik kepada nombora ialah nombor yang, apabila didarab dengana memberikan satu.

Mari kita gantikan dalam definisi ini dan bukannya pembolehubah a nombor 5 dan cuba baca definisi:

Balik kepada nombor 5 ialah nombor yang, apabila didarab dengan 5 memberikan satu.

Adakah mungkin untuk mencari nombor yang, apabila didarab dengan 5, memberikan satu? Ternyata ia mungkin. Mari kita bayangkan lima sebagai pecahan:

Kemudian darabkan pecahan ini dengan sendirinya, cuma tukar pengangka dan penyebut. Dengan kata lain, mari kita darabkan pecahan itu dengan sendirinya, hanya terbalik:

Apakah yang akan berlaku akibat daripada ini? Jika kita terus menyelesaikan contoh ini, kita mendapat satu:

Ini bermakna songsangan bagi nombor 5 ialah nombor , kerana apabila anda mendarab 5 dengan anda mendapat satu.

Salingan nombor juga boleh didapati untuk mana-mana integer lain.

Anda juga boleh mencari timbal balik mana-mana pecahan lain. Untuk melakukan ini, hanya terbalikkannya.

Membahagi pecahan dengan nombor

Katakan kita mempunyai separuh pizza:

Mari bahagikan sama rata antara dua. Berapakah jumlah pizza yang akan diperoleh setiap orang?

Dapat dilihat bahawa selepas membahagikan separuh piza, dua keping yang sama diperolehi, setiap satunya membentuk piza. Jadi semua orang mendapat pizza.

Pembahagian pecahan dilakukan dengan menggunakan timbal balik. Nombor salingan membolehkan anda menggantikan pembahagian dengan pendaraban.

Untuk membahagi pecahan dengan nombor, anda perlu mendarab pecahan dengan songsangan pembahagi.

Menggunakan peraturan ini, kami akan menulis pembahagian separuh pizza kami kepada dua bahagian.

Jadi, anda perlu membahagikan pecahan dengan nombor 2. Di sini dividen adalah pecahan dan pembahagi adalah nombor 2.

Untuk membahagi pecahan dengan nombor 2, anda perlu mendarab pecahan ini dengan salingan pembahagi 2. Balasan bagi pembahagi 2 ialah pecahan. Jadi anda perlu mendarab dengan

Jadi, jika ungkapan berangka terdiri daripada nombor dan tanda +, −, · dan:, maka mengikut urutan dari kiri ke kanan anda mesti melakukan pendaraban dan pembahagian, dan kemudian penambahan dan penolakan, yang membolehkan anda mencari nilai ungkapan yang dikehendaki.

Mari kita berikan beberapa contoh untuk penjelasan.

Contoh.

Kira nilai ungkapan 14−2·15:6−3.

Penyelesaian.

Untuk mencari nilai ungkapan, anda perlu melakukan semua tindakan yang dinyatakan di dalamnya mengikut mengikut prosedur yang diterima melakukan tindakan ini. Pertama, dalam susunan dari kiri ke kanan, kita melakukan pendaraban dan pembahagian, kita dapat 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Sekarang kita juga melakukan tindakan yang tinggal dalam susunan dari kiri ke kanan: 14−5−3=9−3=6. Ini adalah cara kami menemui nilai ungkapan asal, ia bersamaan dengan 6.

Jawapan:

14−2·15:6−3=6.

Contoh.

Cari maksud ungkapan tersebut.

Penyelesaian.

DALAM dalam contoh ini mula-mula kita perlu melakukan pendaraban 2·(−7) dan pembahagian dengan pendaraban dalam ungkapan . Mengingati bagaimana , kita dapati 2·(−7)=−14. Dan untuk melakukan tindakan dalam ungkapan terlebih dahulu , selepas itu , dan laksanakan: .

Kami menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam ungkapan asal: .

Tetapi bagaimana jika terdapat ungkapan berangka di bawah tanda akar? Untuk mendapatkan nilai akar sedemikian, anda mesti mencari nilai ungkapan radikal terlebih dahulu, mematuhi perintah yang diterima untuk melaksanakan tindakan. Contohnya, .

Dalam ungkapan berangka, akar harus dianggap sebagai beberapa nombor, dan dinasihatkan untuk segera menggantikan akar dengan nilainya, dan kemudian mencari nilai ungkapan yang terhasil tanpa akar, melakukan tindakan dalam urutan yang diterima.

Contoh.

Cari maksud ungkapan dengan akar.

Penyelesaian.

Mula-mula mari kita cari nilai akar . Untuk melakukan ini, pertama, kita mengira nilai ungkapan radikal, yang kita ada −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Dan kedua, kita dapati nilai akar.

Sekarang mari kita hitung nilai punca kedua daripada ungkapan asal: .

Akhirnya, kita boleh mencari makna ungkapan asal dengan menggantikan akar dengan nilainya: .

Jawapan:

Selalunya, untuk mencari makna ungkapan dengan akar, pertama sekali perlu mengubahnya. Mari tunjukkan penyelesaian contoh.

Contoh.

Apakah maksud ungkapan tersebut .

Penyelesaian.

Kami tidak dapat menggantikan punca tiga dengan nilai tepatnya, yang menghalang kami daripada mengira nilai ungkapan ini mengikut cara yang diterangkan di atas. Walau bagaimanapun, kita boleh mengira nilai ungkapan ini dengan melakukan transformasi mudah. Berkenaan formula perbezaan kuasa dua: . Mengambil kira, kita dapat . Oleh itu, nilai ungkapan asal ialah 1.

Jawapan:

.

Dengan ijazah

Jika asas dan eksponen ialah nombor, maka nilainya dikira dengan menentukan darjah, contohnya, 3 2 =3·3=9 atau 8 −1 =1/8. Terdapat juga entri di mana asas dan/atau eksponen adalah beberapa ungkapan. Dalam kes ini, anda perlu mencari nilai ungkapan dalam asas, nilai ungkapan dalam eksponen, dan kemudian mengira nilai darjah itu sendiri.

Contoh.

Cari nilai ungkapan dengan kuasa bentuk 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4.

Penyelesaian.

Dalam ungkapan asal terdapat dua kuasa 2 3·4−10 dan (1−1/2) 3.5−2·1/4. Nilai mereka mesti dikira sebelum melakukan tindakan lain.

Mari kita mulakan dengan kuasa 2 3·4−10. Penunjuknya mengandungi ungkapan berangka, mari kita hitung nilainya: 3·4−10=12−10=2. Sekarang anda boleh mencari nilai darjah itu sendiri: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Asas dan eksponen (1−1/2) 3.5−2 1/4 mengandungi ungkapan; kita mengira nilainya untuk kemudian mencari nilai eksponen. Kami ada (1−1/2) 3.5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Sekarang kita kembali kepada ungkapan asal, gantikan darjah di dalamnya dengan nilainya, dan cari nilai ungkapan yang kita perlukan: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Jawapan:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 =6.

Perlu diingat bahawa terdapat lebih banyak kes biasa apabila dinasihatkan untuk menjalankan awal penyederhanaan ungkapan dengan kuasa di pangkalan.

Contoh.

Cari maksud ungkapan tersebut .

Penyelesaian.

Berdasarkan eksponen dalam ungkapan ini, nilai yang tepat Anda tidak akan dapat ijazah. Cuba kita permudahkan ungkapan asal, mungkin ini akan membantu mencari maknanya. Kami ada

Jawapan:

.

Kuasa dalam ungkapan sering seiring dengan logaritma, tetapi kita akan bercakap tentang mencari makna ungkapan dengan logaritma dalam salah satu daripadanya.

Mencari nilai ungkapan dengan pecahan

Ungkapan angka mungkin mengandungi pecahan dalam tatatandanya. Apabila anda perlu mencari nilai ungkapan sedemikian, pecahan selain daripada pecahan hendaklah digantikan dengan nilainya sebelum meneruskan langkah-langkah yang lain.

Pengangka dan penyebut pecahan (yang berbeza daripada pecahan biasa) boleh mengandungi beberapa nombor dan ungkapan. Untuk mengira nilai pecahan sedemikian, anda perlu mengira nilai ungkapan dalam pengangka, mengira nilai ungkapan dalam penyebut, dan kemudian mengira nilai pecahan itu sendiri. Tertib ini dijelaskan oleh fakta bahawa pecahan a/b, dengan a dan b ialah beberapa ungkapan, pada asasnya mewakili hasil bagi bentuk (a):(b), sejak .

Mari lihat contoh penyelesaian.

Contoh.

Cari maksud ungkapan dengan pecahan .

Penyelesaian.

Terdapat tiga pecahan dalam ungkapan berangka asal Dan . Untuk mencari nilai ungkapan asal, kita perlu menggantikan pecahan ini terlebih dahulu dengan nilainya. Jom buat ini.

Pengangka dan penyebut pecahan mengandungi nombor. Untuk mencari nilai pecahan sedemikian, gantikan bar pecahan dengan tanda bahagi dan lakukan tindakan ini: .

Dalam pengangka pecahan terdapat ungkapan 7−2·3, nilainya mudah dicari: 7−2·3=7−6=1. Justeru, . Anda boleh meneruskan untuk mencari nilai pecahan ketiga.

Pecahan ketiga dalam pengangka dan penyebut mengandungi ungkapan berangka, oleh itu, anda perlu mengira nilainya terlebih dahulu, dan ini akan membolehkan anda mencari nilai pecahan itu sendiri. Kami ada .

Ia kekal untuk menggantikan nilai yang ditemui ke dalam ungkapan asal dan melakukan tindakan yang selebihnya: .

Jawapan:

.

Selalunya, apabila mencari nilai ungkapan dengan pecahan, anda perlu melakukan memudahkan ungkapan pecahan, berdasarkan menjalankan operasi dengan pecahan dan pecahan pengurangan.

Contoh.

Cari maksud ungkapan tersebut .

Penyelesaian.

Punca lima tidak boleh diekstrak sepenuhnya, jadi untuk mencari nilai ungkapan asal, mari kita permudahkan dahulu. Untuk ini mari kita buang sifat tidak rasional dalam penyebut pecahan pertama: . Selepas ini, ungkapan asal akan mengambil bentuk . Selepas menolak pecahan, akar akan hilang, yang akan membolehkan kita mencari nilai ungkapan yang diberikan pada mulanya: .

Jawapan:

.

Dengan logaritma

Jika ungkapan berangka mengandungi , dan jika mungkin untuk menyingkirkannya, maka ini dilakukan sebelum melakukan tindakan lain. Sebagai contoh, apabila mencari nilai ungkapan log 2 4+2·3, logaritma log 2 4 digantikan dengan nilainya 2, selepas itu tindakan yang selebihnya dilakukan dalam susunan biasa, iaitu log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Apabila terdapat ungkapan berangka di bawah tanda logaritma dan/atau pada asasnya, nilainya pertama kali dijumpai, selepas itu nilai logaritma dikira. Sebagai contoh, pertimbangkan ungkapan dengan logaritma bentuk . Di pangkal logaritma dan di bawah tandanya terdapat ungkapan berangka; Sekarang kita mencari logaritma, selepas itu kita melengkapkan pengiraan: .

Jika logaritma tidak dikira dengan tepat, maka pemudahcaraan awal menggunakan . Dalam kes ini, anda perlu menguasai bahan artikel dengan baik menukar ungkapan logaritma.

Contoh.

Cari nilai ungkapan dengan logaritma .

Penyelesaian.

Mari kita mulakan dengan mengira log 2 (log 2 256) . Oleh kerana 256=2 8, maka log 2 256=8, oleh itu, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritma log 6 2 dan log 6 3 boleh dikumpulkan. Jumlah log logaritma 6 2+log 6 3 adalah sama dengan logaritma log hasil darab 6 (2 3), dengan itu log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Sekarang mari kita lihat pecahan. Sebagai permulaan, kita akan menulis semula asas logaritma dalam penyebut dalam bentuk pecahan biasa sebagai 1/5, selepas itu kita akan menggunakan sifat logaritma, yang akan membolehkan kita memperoleh nilai pecahan:
.

Apa yang tinggal ialah menggantikan hasil yang diperoleh ke dalam ungkapan asal dan menyelesaikan mencari nilainya:

Jawapan:

Bagaimana untuk mencari nilai ungkapan trigonometri?

Apabila ungkapan berangka mengandungi atau, dsb., nilainya dikira sebelum melakukan tindakan lain. Jika di bawah tanda fungsi trigonometri Sekiranya terdapat ungkapan berangka, nilainya pertama kali dikira, selepas itu nilai fungsi trigonometri ditemui.

Contoh.

Cari maksud ungkapan tersebut .

Penyelesaian.

Berbalik kepada artikel, kita dapat dan cosπ=−1 . Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam ungkapan asal, ia mengambil bentuk . Untuk mencari nilainya, anda perlu melakukan eksponen terlebih dahulu, dan kemudian selesaikan pengiraan: .

Jawapan:

.

Perlu diingat bahawa mengira nilai ungkapan dengan sinus, kosinus, dll. selalunya memerlukan terlebih dahulu menukarkan ungkapan trigonometri.

Contoh.

Apakah nilai ungkapan trigonometri .

Penyelesaian.

Mari kita ubah ungkapan asal menggunakan , dalam kes ini kita memerlukan formula kosinus sudut berganda dan formula jumlah kosinus:

Transformasi yang kami lakukan membantu kami mencari makna ungkapan tersebut.

Jawapan:

.

Kes am

Secara umum, ungkapan berangka boleh mengandungi punca, kuasa, pecahan, beberapa fungsi dan kurungan. Mencari nilai ungkapan tersebut terdiri daripada melakukan tindakan berikut:

• punca pertama, kuasa, pecahan, dsb. digantikan dengan nilai mereka,
• tindakan selanjutnya dalam kurungan,
• dan mengikut urutan dari kiri ke kanan, operasi yang selebihnya dilakukan - pendaraban dan pembahagian, diikuti dengan penambahan dan penolakan.

Tindakan yang disenaraikan dilakukan sehingga keputusan akhir diperolehi.

Contoh.

Cari maksud ungkapan tersebut .

Penyelesaian.

Bentuk ungkapan ini agak kompleks. Dalam ungkapan ini kita melihat pecahan, punca, kuasa, sinus dan logaritma. Bagaimana untuk mencari nilainya?

Bergerak melalui rekod dari kiri ke kanan, kami menjumpai sebahagian kecil daripada borang tersebut . Kita tahu bahawa apabila bekerja dengan pecahan kompleks, kita perlu mengira secara berasingan nilai pengangka, memisahkan penyebut, dan akhirnya mencari nilai pecahan itu.

Dalam pengangka kita mempunyai akar bentuk . Untuk menentukan nilainya, anda perlu mengira nilai ungkapan radikal terlebih dahulu . Terdapat sinus di sini. Kita boleh mencari nilainya hanya selepas mengira nilai ungkapan . Ini boleh kita lakukan: . Kemudian dari mana dan dari .

Penyebutnya mudah: .

Oleh itu, .

Selepas menggantikan hasil ini ke dalam ungkapan asal, ia akan mengambil bentuk . Ungkapan yang terhasil mengandungi darjah . Untuk mencari nilainya, kita perlu mencari nilai penunjuk, kita ada .

Jadi, .

Jawapan:

.

Sekiranya tidak mungkin untuk mengira nilai sebenar akar, kuasa, dll., maka anda boleh cuba menyingkirkannya menggunakan beberapa transformasi, dan kemudian kembali untuk mengira nilai mengikut skema yang ditentukan.

Cara rasional untuk mengira nilai ungkapan

Mengira nilai ungkapan berangka memerlukan ketekalan dan ketepatan. Ya, adalah perlu untuk mematuhi urutan tindakan yang direkodkan dalam perenggan sebelumnya, tetapi tidak perlu melakukan ini secara membuta tuli dan mekanikal. Apa yang kami maksudkan dengan ini ialah selalunya mungkin untuk merasionalkan proses mencari makna ungkapan. Sebagai contoh, sifat tertentu operasi dengan nombor boleh mempercepatkan dan memudahkan pencarian nilai ungkapan dengan ketara.

Sebagai contoh, kita mengetahui sifat pendaraban ini: jika salah satu faktor dalam hasil darab adalah sama dengan sifar, maka nilai hasil darab adalah sama dengan sifar. Menggunakan sifat ini, kita boleh dengan segera mengatakan bahawa nilai ungkapan 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) bersamaan dengan sifar. Jika kita mengikut susunan operasi standard, kita perlu mengira nilai-nilai ungkapan yang menyusahkan dalam kurungan, yang akan mengambil banyak masa, dan hasilnya masih sifar.

Ia juga mudah untuk menggunakan sifat menolak nombor yang sama: jika anda menolak nombor yang sama daripada nombor, hasilnya adalah sifar. Sifat ini boleh dianggap lebih luas: perbezaan antara dua ungkapan berangka yang sama ialah sifar. Sebagai contoh, tanpa mengira nilai ungkapan dalam kurungan, anda boleh mencari nilai ungkapan (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), ia sama dengan sifar, kerana ungkapan asal ialah perbezaan ungkapan yang sama.

Transformasi identiti boleh memudahkan pengiraan rasional nilai ungkapan. Sebagai contoh, istilah dan faktor pengelompokan boleh berguna untuk meletakkan faktor sepunya daripada kurungan tidak kurang kerap digunakan. Jadi nilai ungkapan 53·5+53·7−53·11+5 adalah sangat mudah dicari selepas mengambil faktor 53 daripada kurungan: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Pengiraan terus akan mengambil masa yang lebih lama.

Untuk menyimpulkan perkara ini, mari kita perhatikan pendekatan rasional untuk mengira nilai ungkapan dengan pecahan - faktor yang sama dalam pengangka dan penyebut pecahan dibatalkan. Contohnya, mengurangkan ungkapan yang sama dalam pengangka dan penyebut pecahan membolehkan anda segera mencari nilainya, yang bersamaan dengan 1/2.

Mencari nilai ungkapan literal dan ungkapan dengan pembolehubah

Nilai ungkapan literal dan ungkapan dengan pembolehubah didapati untuk nilai tertentu huruf dan pembolehubah. Iaitu, kita bercakap tentang mencari nilai ungkapan literal untuk nilai huruf yang diberikan, atau tentang mencari nilai ungkapan dengan pembolehubah untuk nilai pembolehubah yang dipilih.

peraturan mencari nilai ungkapan literal atau ungkapan dengan pembolehubah untuk nilai huruf tertentu atau nilai pembolehubah yang dipilih adalah seperti berikut: anda perlu menggantikan nilai huruf atau pembolehubah yang diberikan ke dalam ungkapan asal, dan mengira nilai ungkapan angka yang terhasil; ia adalah nilai yang dikehendaki.

Contoh.

Hitung nilai ungkapan 0.5·x−y pada x=2.4 dan y=5.

Penyelesaian.

Untuk mencari nilai ungkapan yang diperlukan, anda perlu menggantikan nilai pembolehubah yang diberikan kepada ungkapan asal, dan kemudian lakukan langkah berikut: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.

Jawapan:

−3,8 .

Sebagai nota akhir, kadangkala melakukan penukaran pada ungkapan literal dan pembolehubah akan menghasilkan nilainya, tanpa mengira nilai huruf dan pembolehubah. Sebagai contoh, ungkapan x+3−x boleh dipermudahkan, selepas itu ia akan mengambil bentuk 3. Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa nilai ungkapan x+3−x adalah sama dengan 3 untuk sebarang nilai pembolehubah x daripada julat nilai yang dibenarkan (APV). Contoh lain: nilai ungkapan adalah sama dengan 1 untuk semua nilai positif x, jadi julat nilai yang dibenarkan bagi pembolehubah x dalam ungkapan asal ialah set nombor positif, dan kesaksamaan dipegang di rantau ini.

Rujukan.

• Matematik: buku teks untuk darjah 5. pendidikan am institusi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - ed. ke-21, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematik. darjah 6: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [N. Ya. Vilenkin dan lain-lain]. - ed. ke-22, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: sakit. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: buku teks untuk darjah 7 pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: darjah 9: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk gred 10-11. pendidikan am institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dan lain-lain; Ed. A. N. Kolmogorov - ed ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 ms. - ISBN 5-09-013651-3.

Saya sendiri berhadapan dengan hakikat bahawa pecahan ternyata menjadi topik yang agak sukar untuk anak-anak saya.

Terdapat sangat permainan yang bagus Pecahan Nikitin, ia bertujuan untuk kanak-kanak prasekolah, tetapi juga di sekolah ia akan membantu kanak-kanak mengetahui apa itu - pecahan, hubungan mereka antara satu sama lain..., dan semuanya dalam bentuk yang boleh diakses, visual dan menarik.

Ia terdiri daripada dua belas bulatan pelbagai warna. Satu bulatan adalah keseluruhan, dan semua yang lain dibahagikan kepada bahagian yang sama - dua, tiga.... (sehingga dua belas).

Kanak-kanak diminta untuk menyelesaikan tugas permainan mudah, contohnya:

Apakah bahagian-bahagian bulatan yang dipanggil? atau

Bahagian mana yang lebih besar? (letakkan yang lebih kecil di atas yang lebih besar.)

Teknik ini membantu saya. Secara umumnya, saya sangat kesal kerana semua perkembangan Nikitin ini tidak menarik perhatian saya semasa kanak-kanak masih bayi.

Anda boleh membuat permainan itu sendiri atau membeli permainan yang sudah siap, dan mengetahui lebih lanjut tentang segala-galanya -.

Menyelesaikan pecahan juga boleh dijelaskan menggunakan bata Lego. Ia mengembangkan bukan sahaja imaginasi, tetapi juga kreatif dan pemikiran logik, yang bermaksud ia juga boleh digunakan sebagai alat bantu mengajar.

Alicia Zimmerman datang dengan idea untuk menggunakan blok pereka terkenal untuk mengajar kanak-kanak asas matematik.

Dan inilah cara untuk menerangkan pecahan menggunakan Lego.





Amalan menunjukkan bahawa kesukaran yang paling timbul apabila menambah (menolak) pecahan dengan penyebut yang berbeza dan apabila membahagi pecahan.

Kesukaran timbul kerana arahan bengkok dalam buku teks, seperti membahagi pecahan dengan pecahan.

Untuk membahagi pecahan dengan pecahan, anda mendarabkan pengangka pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan pengangka pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama.

Bolehkah kanak-kanak dalam darjah 4 memahami perkara ini dan tidak keliru? TIDAK!

Dan guru menerangkannya kepada kami dengan cara asas: kita perlu membalikkan pecahan kedua dan kemudian mendarabkannya!

Perkara yang sama dengan penambahan.

Untuk menambah dua pecahan, anda perlu mendarabkan pengangka pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan darabkan pengangka pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama, tambah nombor yang terhasil dan tuliskannya dalam pengangka. Dan dalam penyebut anda perlu menulis hasil darab penyebut pecahan. Selepas ini, pecahan yang terhasil boleh (atau harus) dikurangkan.

Dan lebih mudah: Kurangkan pecahan kepada penyebut biasa, yang sama dengan LCM penyebut, dan kemudian tambahkan pengangka.

Tunjukkan mereka dengan contoh yang jelas. Sebagai contoh, potong epal kepada 4 bahagian, masukkan kepada 8 bahagian, tambah 12 bahagian menjadi keseluruhan, tambah beberapa bahagian, tolak. Pada masa yang sama, jelaskan di atas kertas menggunakan peraturan. Peraturan penambahan dan penolakan. membahagi pecahan, serta cara mengasingkan keseluruhan daripada pecahan tidak wajar - pelajari semua ini sambil memanipulasi dengan epal. Jangan tergesa-gesa kanak-kanak, biarkan mereka berhati-hati menyusun kepingan dengan bantuan anda.

Mengajar kanak-kanak untuk menyelesaikan pecahan, khususnya, adalah perkara biasa dan tidak akan menimbulkan banyak masalah. Perkara paling mudah yang boleh anda lakukan ialah mengambil sesuatu secara keseluruhan, contohnya jeruk keprok, atau mana-mana buah lain, bahagikannya kepada bahagian, dan gunakan contoh untuk menunjukkan operasi tolak, tambah dan lain-lain dengan kepingan buah ini, yang akan menjadi pecahan daripada keseluruhan. Segala-galanya perlu dijelaskan dan ditunjukkan, dan faktor terakhir adalah untuk menerangkan dan menyelesaikan masalah bersama-sama menggunakan contoh matematik sehingga kanak-kanak belajar melakukan tugasan ini sendiri.

Angka itu jelas menunjukkan apa yang sepadan dengan apa dan bagaimana pecahan itu kelihatan pada objek sebenar, ini adalah bagaimana ia perlu dijelaskan.



Anda perlu mendekati isu ini dengan teliti, kerana menyelesaikan pecahan akan berguna dalam kehidupan. Adalah perlu dalam perkara ini, seperti yang mereka katakan, untuk berada pada kedudukan yang sama dengan kanak-kanak, dan untuk menerangkan teori dalam bahasa yang mereka fahami, sebagai contoh, dalam bahasa kek atau tangerine. Anda perlu membahagikan kek ke dalam do dan berikan kepada rakan-rakan, selepas itu kanak-kanak akan mula memahami intipati menyelesaikan pecahan. Jangan mulakan dengan pecahan berat, mulakan dengan konsep 1/2, 1/3, 1/10. Mula-mula, tolak dan tambah, dan kemudian beralih kepada konsep yang lebih kompleks seperti pendaraban dan pembahagian.

Terdapat pelbagai jenis masalah dengan pecahan. Seorang kanak-kanak tidak dapat memahami bahawa satu saat dan lima persepuluh adalah perkara yang sama, yang lain bingung dengan membawa pecahan yang berbeza kepada penyebut yang sama, dan yang lain lagi keliru dengan pembahagian pecahan. Oleh itu, tidak ada satu peraturan untuk semua keadaan.

Perkara utama dalam masalah yang melibatkan pecahan ialah jangan terlepas saat apabila perkara yang boleh difahami tidak lagi begitu. Kembali ke dapur dan ulangi semuanya sekali lagi, walaupun ia kelihatan sangat primitif. Sebagai contoh, kembali ke apa itu satu saat.

Kanak-kanak mesti memahami bahawa konsep matematik adalah abstrak, bahawa fenomena yang sama boleh diterangkan dalam perkataan yang berbeza dan dinyatakan dalam nombor yang berbeza.

Saya suka jawapan yang diberikan oleh Mefody66. Saya akan menambah dari latihan peribadi bertahun-tahun: mengajar cara menyelesaikan masalah dengan pecahan (dan bukan menyelesaikan pecahan; menyelesaikan pecahan adalah mustahil, sama seperti mustahil untuk menyelesaikan nombor) agak mudah, anda hanya perlu dekat dengan kanak-kanak itu. apabila dia mula menyelesaikan masalah sedemikian, dan membetulkan penyelesaiannya tepat pada masanya, supaya kesilapan, yang tidak dapat dielakkan dalam mana-mana pembelajaran, tidak mempunyai masa untuk menguasai fikiran kanak-kanak itu. Belajar semula adalah lebih sukar daripada mempelajari sesuatu yang baru. Dan selesaikan masalah sedemikian sebanyak mungkin. Membawa penyelesaian tugas sedemikian kepada keautomasian adalah perkara yang baik untuk dilakukan. Keupayaan untuk menyelesaikan masalah dengan pecahan biasa Dari segi kepentingan dalam kursus matematik sekolah, ia menduduki tempat yang sama dengan pengetahuan tentang jadual pendaraban. Oleh itu, anda perlu meluangkan masa untuk melihat bagaimana anak anda menyelesaikan masalah tersebut.

Dan jangan terlalu bergantung pada buku teks: guru di sekolah menerangkan dengan tepat seperti yang ditulis Mefody66 dalam jawapannya. Lebih baik bercakap dengan guru, ketahui dalam perkataan apa yang guru menerangkan topik ini. Dan gunakan perkataan dan frasa yang sama jika boleh (supaya tidak terlalu mengelirukan kanak-kanak)

Juga: Saya menasihati anda untuk menggunakan contoh visual hanya pada peringkat awal penjelasan, kemudian dengan cepat abstrak dan beralih kepada algoritma penyelesaian. Jika tidak, kejelasan mungkin memudaratkan apabila menyelesaikan masalah yang lebih kompleks. Contohnya, jika anda perlu menambah pecahan dengan penyebut 29 dan 121, apakah jenis bantuan visual yang akan membantu? Ia hanya akan mengelirukan.

Pecahan adalah salah satu daripada topik matematik yang diberkati di mana tiada abstraksi yang tidak berkenaan dengan kes itu. Produk harus digunakan (pada kek, seperti Juanita Solis dalam Desperate Housewives - kaedah penjelasan yang sangat menarik). Semua penyebut pengangka ini datang kemudian. Maka perlu bagi kanak-kanak untuk memahami bahawa membahagi dengan pecahan tidak lagi penurunan sama sekali, dan pendaraban bukan peningkatan. Di sini adalah lebih baik untuk menunjukkan cara membahagi dengan pecahan dalam bentuk pendaraban dengan penyongsangan. DALAM bentuk permainan serahkan pengurangan, jika ia boleh dibahagikan dengan satu nombor, kemudian bahagikan, ia hampir Sudoku, jika anda berminat. Perkara utama adalah untuk melihat salah faham dalam masa, kerana selanjutnya akan ada lebih banyak topik menarik yang tidak mudah difahami. Oleh itu, lebihkan latihan menyelesaikan pecahan dan semuanya akan menjadi lebih baik dengan cepat. Bagi saya, seorang humanis yang paling tulen, jauh dari tahap abstraksi yang sedikit, pecahan sentiasa lebih jelas daripada topik lain.

Artikel ini mengkaji operasi pada pecahan. Peraturan untuk penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian atau eksponensi bagi pecahan bentuk A B akan dibentuk dan dijustifikasikan, di mana A dan B boleh menjadi nombor, ungkapan berangka atau ungkapan dengan pembolehubah. Kesimpulannya, contoh penyelesaian dengan penerangan terperinci akan dipertimbangkan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Peraturan untuk melaksanakan operasi dengan pecahan berangka am

Pecahan berangka pandangan umum mempunyai pengangka dan penyebut di mana terdapat nombor asli atau ungkapan angka. Jika kita mempertimbangkan pecahan seperti 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, maka jelaslah bahawa pengangka dan penyebut boleh mempunyai bukan sahaja nombor, tetapi juga ungkapan pelbagai jenis.

Definisi 1

Terdapat peraturan di mana operasi dengan pecahan biasa dijalankan. Ia juga sesuai untuk pecahan am:

• Apabila menolak pecahan dengan penyebut yang sama, hanya pengangka yang ditambah, dan penyebutnya tetap sama, iaitu: a d ± c d = a ± c d, nilai a, c dan d ≠ 0 ialah beberapa nombor atau ungkapan berangka.
• Apabila menambah atau menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza, adalah perlu untuk mengurangkannya kepada penyebut biasa, dan kemudian menambah atau menolak pecahan yang terhasil dengan eksponen yang sama. Secara literal ia kelihatan seperti ini: a b ± c d = a · p ± c · r s, di mana nilai a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 adalah nombor nyata, dan b · p = d · r = s . Apabila p = d dan r = b, maka a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Apabila mendarab pecahan, operasi dilakukan dengan pengangka, selepas itu dengan penyebut, maka kita mendapat b · c d = a · c b · d, di mana a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 bertindak sebagai nombor nyata.
• Apabila membahagi pecahan dengan pecahan, kita darabkan yang pertama dengan songsang kedua, iaitu, kita menukar pengangka dan penyebut: a b: c d = a b · d c.

Rasional untuk peraturan

Definisi 2

Terdapat mata matematik berikut yang anda harus bergantung pada semasa mengira:

• garis miring bermaksud tanda bahagian;
• pembahagian dengan nombor dianggap sebagai pendaraban dengan timbal baliknya;
• penggunaan sifat operasi dengan nombor nyata;
• aplikasi sifat asas pecahan dan ketaksamaan berangka.

Dengan bantuan mereka, anda boleh melakukan transformasi bentuk:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Contoh

Dalam perenggan sebelumnya dikatakan tentang operasi dengan pecahan. Selepas ini pecahan itu perlu dipermudahkan. Topik ini telah dibincangkan secara terperinci dalam perenggan tentang penukaran pecahan.

Mula-mula, mari kita lihat contoh menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang sama.

Contoh 1

Diberi pecahan 8 2, 7 dan 1 2, 7, maka menurut peraturan itu perlu menambah pengangka dan menulis semula penyebutnya.

Penyelesaian

Kemudian kita mendapat pecahan daripada bentuk 8 + 1 2, 7. Selepas melakukan penambahan, kita memperoleh pecahan daripada bentuk 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Ini bermakna 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Jawapan: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Ada penyelesaian lain. Sebagai permulaan, kita beralih kepada bentuk pecahan biasa, selepas itu kita melakukan penyederhanaan. Ia kelihatan seperti ini:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Contoh 2

Mari kita tolak daripada 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 pecahan daripada bentuk 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Oleh kerana penyebut sama diberikan, ini bermakna kita mengira pecahan dengan penyebut yang sama. Kami dapat itu

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Terdapat contoh pengiraan pecahan dengan penyebut yang berbeza. Perkara penting ialah pengurangan kepada penyebut biasa. Tanpa ini, kita tidak akan dapat melakukan operasi selanjutnya dengan pecahan.

Proses ini secara samar-samar mengingatkan pengurangan kepada penyebut biasa. Iaitu, pembahagi sepunya terkecil dalam penyebut dicari, selepas itu faktor yang hilang ditambah kepada pecahan.

Jika pecahan yang ditambah tidak mempunyai faktor biasa, maka ia boleh menjadi kerja mereka.

Contoh 3

Mari kita lihat contoh penambahan pecahan 2 3 5 + 1 dan 1 2.

Penyelesaian

Dalam kes ini, penyebut biasa ialah hasil darab penyebut. Kemudian kita dapat 2 · 3 5 + 1. Kemudian, apabila menetapkan faktor tambahan, kita mempunyai bahawa untuk pecahan pertama ia adalah sama dengan 2, dan untuk yang kedua ia adalah 3 5 + 1. Selepas pendaraban, pecahan dikurangkan kepada bentuk 4 2 · 3 5 + 1. Pengurangan umum 1 2 ialah 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Kami menambah ungkapan pecahan yang terhasil dan mendapatkannya

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Jawapan: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Apabila kita berurusan dengan pecahan am, maka kita biasanya tidak bercakap tentang penyebut biasa terendah. Adalah tidak menguntungkan untuk mengambil hasil darab pengangka sebagai penyebut. Mula-mula anda perlu menyemak sama ada terdapat nombor yang kurang nilainya daripada produk mereka.

Contoh 4

Mari kita pertimbangkan contoh 1 6 · 2 1 5 dan 1 4 · 2 3 5, apabila hasil keluarannya bersamaan dengan 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Kemudian kita ambil 12 · 2 3 5 sebagai penyebut biasa.

Mari kita lihat contoh mendarab pecahan am.

Contoh 5

Untuk melakukan ini, anda perlu mendarab 2 + 1 6 dan 2 · 5 3 · 2 + 1.

Penyelesaian

Mengikut peraturan, adalah perlu untuk menulis semula dan menulis hasil darab pengangka dalam bentuk penyebut. Kami mendapat bahawa 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Setelah pecahan telah didarab, anda boleh membuat pengurangan untuk memudahkannya. Kemudian 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Menggunakan peraturan untuk peralihan daripada pembahagian kepada pendaraban dengan pecahan salingan, kita memperoleh pecahan yang merupakan salingan bagi pecahan yang diberi. Untuk melakukan ini, pengangka dan penyebut ditukar. Mari lihat contoh:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Kemudian mereka mesti mendarab dan memudahkan pecahan yang terhasil. Jika perlu, hapuskan ketidakrasionalan dalam penyebut. Kami dapat itu

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Jawapan: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Perenggan ini terpakai apabila nombor atau ungkapan berangka boleh diwakili sebagai pecahan dengan penyebut sama dengan 1, maka operasi dengan pecahan sedemikian dianggap sebagai perenggan yang berasingan. Sebagai contoh, ungkapan 1 6 · 7 4 - 1 · 3 menunjukkan bahawa punca 3 boleh digantikan dengan ungkapan 3 1 yang lain. Kemudian entri ini akan kelihatan seperti mendarab dua pecahan bentuk 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Menjalankan Operasi ke atas Pecahan yang Mengandungi Pembolehubah

Peraturan yang dibincangkan dalam artikel pertama boleh digunakan untuk operasi dengan pecahan yang mengandungi pembolehubah. Pertimbangkan peraturan penolakan apabila penyebutnya sama.

Adalah perlu untuk membuktikan bahawa A, C dan D (D tidak sama dengan sifar) boleh menjadi sebarang ungkapan, dan kesamaan A D ± C D = A ± C D adalah bersamaan dengan julat nilai yang dibenarkan.

Ia adalah perlu untuk mengambil satu set pembolehubah ODZ. Kemudian A, C, D mesti mengambil nilai yang sepadan a 0 , c 0 dan d 0. Penggantian bentuk A D ± C D menghasilkan perbezaan bentuk a 0 d 0 ± c 0 d 0 , di mana, dengan menggunakan peraturan penambahan, kita memperoleh formula bentuk a 0 ± c 0 d 0 . Jika kita menggantikan ungkapan A ± C D, maka kita mendapat pecahan yang sama dari bentuk a 0 ± c 0 d 0. Dari sini kita membuat kesimpulan bahawa nilai yang dipilih yang memenuhi ODZ, A ± C D dan A D ± C D dianggap sama.

Untuk sebarang nilai pembolehubah, ungkapan ini akan sama, iaitu, ia dipanggil sama sama. Ini bermakna ungkapan ini dianggap sebagai persamaan yang boleh dibuktikan dalam bentuk A D ± C D = A ± C D .

Contoh penambahan dan penolakan pecahan dengan pembolehubah

Apabila anda mempunyai penyebut yang sama, anda hanya perlu menambah atau menolak pengangka. Pecahan ini boleh dipermudahkan. Kadang-kadang anda perlu bekerja dengan pecahan yang sama, tetapi pada pandangan pertama ini tidak ketara, kerana beberapa transformasi mesti dilakukan. Contohnya, x 2 3 x 1 3 + 1 dan x 1 3 + 1 2 atau 1 2 sin 2 α dan sin a cos a. Selalunya, penyederhanaan ungkapan asal diperlukan untuk melihat penyebut yang sama.

Contoh 6

Kira: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Penyelesaian

1. Untuk membuat pengiraan, anda perlu menolak pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Kemudian kita dapat bahawa x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Selepas itu anda boleh mengembangkan kurungan dan menambah istilah yang serupa. Kami mendapat bahawa x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Oleh kerana penyebutnya adalah sama, yang tinggal hanyalah menambah pengangka, meninggalkan penyebut: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Penambahan telah selesai. Ia boleh dilihat bahawa adalah mungkin untuk mengurangkan pecahan. Pengangkanya boleh dilipat menggunakan rumus kuasa dua jumlah, maka kita dapat (l g x + 2) 2 daripada rumus pendaraban yang disingkatkan. Kemudian kita mendapat itu
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Diberi pecahan bentuk x - 1 x - 1 + x x + 1 dengan penyebut yang berbeza. Selepas transformasi, anda boleh beralih kepada penambahan.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian dua kali ganda.

Kaedah pertama ialah penyebut bagi pecahan pertama difaktorkan menggunakan kuasa dua, dengan pengurangan seterusnya. Kami mendapat sebahagian kecil daripada borang

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Jadi x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Dalam kes ini, adalah perlu untuk menyingkirkan ketidakrasionalan dalam penyebut.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Kaedah kedua ialah mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan kedua dengan ungkapan x - 1. Oleh itu, kita menyingkirkan ketidakrasionalan dan beralih kepada menambah pecahan dengan penyebut yang sama. Kemudian

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Jawapan: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

Dalam contoh terakhir kami mendapati bahawa pengurangan kepada penyebut biasa tidak dapat dielakkan. Untuk melakukan ini, anda perlu memudahkan pecahan. Apabila menambah atau menolak, anda sentiasa perlu mencari penyebut biasa, yang kelihatan seperti hasil darab penyebut dengan faktor tambahan ditambahkan pada pengangka.

Contoh 7

Hitung nilai pecahan: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Penyelesaian

1. Penyebutnya tidak memerlukan sebarang pengiraan yang rumit, jadi anda perlu memilih hasil darabnya dalam bentuk 3 x 7 + 2 · 2, kemudian pilih x 7 + 2 · 2 untuk pecahan pertama sebagai faktor tambahan, dan 3 untuk yang kedua. Apabila mendarab, kita mendapat pecahan daripada bentuk x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Ia dapat dilihat bahawa penyebut dibentangkan dalam bentuk produk, yang bermaksud bahawa transformasi tambahan tidak diperlukan. Penyebut biasa akan dianggap sebagai hasil darab dalam bentuk x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Oleh itu x 4 ialah faktor tambahan kepada pecahan pertama, dan ln(x + 1) kepada yang kedua. Kemudian kita tolak dan dapatkan:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. Contoh ini masuk akal apabila bekerja dengan penyebut pecahan. Ia adalah perlu untuk menggunakan formula untuk perbezaan kuasa dua dan kuasa dua hasil tambah, kerana ia akan membolehkan untuk beralih kepada ungkapan bentuk 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Ia boleh dilihat bahawa pecahan dikurangkan kepada penyebut biasa. Kami mendapat bahawa cos x - x · cos x + x 2 .

Kemudian kita mendapat itu

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Jawapan:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Contoh mendarab pecahan dengan pembolehubah

Apabila mendarab pecahan, pengangka didarab dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian anda boleh menggunakan sifat pengurangan.

Contoh 8

Darabkan pecahan x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 dan 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Penyelesaian

Pendaraban perlu dilakukan. Kami dapat itu

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Nombor 3 dialihkan ke tempat pertama untuk kemudahan pengiraan, dan anda boleh mengurangkan pecahan sebanyak x 2, kemudian kami mendapat ungkapan bentuk

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Jawapan: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · dosa (2 · x - x) .

Pembahagian

Pembahagian pecahan adalah serupa dengan pendaraban, kerana pecahan pertama didarab dengan salingan kedua. Jika kita ambil contoh pecahan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dan bahagikan dengan 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, maka ia boleh ditulis sebagai

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , kemudian gantikan dengan hasil darab bentuk x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Eksponensiasi

Mari kita beralih kepada mempertimbangkan operasi dengan pecahan am dengan eksponen. Sekiranya terdapat kuasa dengan eksponen semula jadi, maka tindakan itu dianggap sebagai pendaraban pecahan yang sama. Tetapi adalah disyorkan untuk menggunakan pendekatan umum berdasarkan sifat darjah. Sebarang ungkapan A dan C, di mana C tidak sama dengan sifar, dan sebarang r nyata pada ODZ untuk ungkapan bentuk A C r kesamaan A C r = A r C r adalah sah. Hasilnya ialah pecahan dinaikkan kepada kuasa. Sebagai contoh, pertimbangkan:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Prosedur untuk melaksanakan operasi dengan pecahan

Operasi ke atas pecahan dilakukan mengikut peraturan tertentu. Dalam amalan, kami mendapati bahawa ungkapan mungkin mengandungi beberapa pecahan atau ungkapan pecahan. Maka adalah perlu untuk melakukan semua tindakan dalam susunan yang ketat: naikkan kepada kuasa, darab, bahagi, kemudian tambah dan tolak. Sekiranya terdapat kurungan, tindakan pertama dilakukan di dalamnya.

Contoh 9

Kira 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Penyelesaian

Oleh kerana kita mempunyai penyebut yang sama, maka 1 - x cos x dan 1 c o s x, tetapi penolakan tidak boleh dilakukan mengikut peraturan pertama, tindakan dalam kurungan dilakukan, kemudian pendaraban, dan kemudian penambahan; Kemudian apabila mengira kita mendapat itu

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Apabila menggantikan ungkapan kepada yang asal, kita mendapat bahawa 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Apabila mendarab pecahan kita ada: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Setelah membuat semua penggantian, kita mendapat 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Sekarang anda perlu bekerja dengan pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza. Kami mendapat:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Jawapan: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Dalam artikel ini, seorang tutor matematik dan fizik bercakap tentang cara melaksanakan operasi asas dengan pecahan biasa: penambahan dan penolakan, pendaraban dan pembahagian. Ketahui cara mewakili nombor bercampur sebagai pecahan tak wajar dan sebaliknya, serta cara mengurangkan pecahan.

Menambah dan menolak pecahan biasa

Biar kami ingatkan anda itu penyebut pecahan ialah nombor yang dari bawah, A pengangka- nombor yang terdapat di atas daripada garis pecahan. Sebagai contoh, dalam pecahan, nombor adalah pengangka dan nombor adalah penyebut.

Penyebut biasa ialah nombor terkecil yang boleh dibahagi oleh kedua-dua penyebut pecahan pertama dan penyebut pecahan kedua.

Contoh 1. Tambah dua pecahan: .

Mari gunakan algoritma yang diterangkan di atas:

1) Nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan kedua-dua penyebut pecahan pertama dan penyebut pecahan kedua adalah sama dengan . Nombor ini akan menjadi penyebut biasa. Sekarang anda perlu membawa kedua-dua pecahan kepada penyebut yang sama.

2) Tambahkan pecahan yang terhasil: .

Mendarab pecahan sepunya

Dengan kata lain, untuk semua nombor nyata , , , , kesamaan berikut berlaku:

Contoh 2. Darab pecahan: .

Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan formula yang dibentangkan di atas: .

Membahagi pecahan

Dalam erti kata lain, untuk semua nombor nyata , , , , , kesamaan berikut berlaku:

Contoh 3. Bahagi pecahan: .

Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan formula di atas: .

Mewakili nombor bercampur sebagai pecahan tak wajar

Sekarang mari kita fikirkan apa yang perlu dilakukan jika anda perlu melakukan sebarang operasi dengan pecahan yang dibentangkan dalam bentuk nombor bercampur. Dalam kes ini, anda perlu mewakili nombor bercampur sebagai pecahan tak wajar, dan kemudian melakukan operasi yang diperlukan.

Biar kami ingatkan anda itu salah Pecahan yang pengangkanya lebih besar daripada atau sama dengan penyebutnya dipanggil.

Ingat juga bahawa nombor bercampur mempunyai bahagian pecahan Dan keseluruhan bahagian. Sebagai contoh, nombor bercampur mempunyai bahagian pecahan sama dengan , dan bahagian integer sama dengan .

Contoh 4. Ungkapkan nombor bercampur sebagai pecahan tak wajar.

Mari gunakan algoritma yang dibentangkan di atas: .

Contoh 5. Bayangkan pecahan tak wajar sebagai nombor bercampur.