Penentu dan sistem persamaan linear. Kelayakan tambahan - dokumen

1.1. Sistem dua persamaan linear dan penentu tertib kedua

Pertimbangkan sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui:

Kemungkinan dengan yang tidak diketahui Dan mempunyai dua indeks: yang pertama menunjukkan nombor persamaan, yang kedua - nombor pembolehubah.

Peraturan Cramer: Penyelesaian sistem didapati dengan membahagikan penentu tambahan dengan penentu utama sistem

,

Nota 1. Menggunakan peraturan Cramer adalah mungkin jika penentu sistem tidak sama dengan sifar.

Nota 2. Formula Cramer digeneralisasikan kepada sistem yang lebih tinggi.

Contoh 1. Selesaikan sistem:
.

Penyelesaian.

;
;

;

Peperiksaan:

Kesimpulan: Sistem diselesaikan dengan betul:
.

1.2. Sistem tiga persamaan linear dan penentu tertib ketiga

Pertimbangkan sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui:

Penentu yang terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui dipanggil penentu sistem atau penentu utama:

.

Jika
maka sistem mempunyai satu-satunya penyelesaian, yang ditentukan oleh formula Cramer:

dimanakah penentunya
– dipanggil bantu dan diperoleh daripada penentu dengan menggantikan lajur pertama, kedua atau ketiga dengan lajur ahli bebas sistem.

Contoh 2. Selesaikan sistem
.

Mari kita bentuk penentu utama dan tambahan:

Ia kekal untuk mempertimbangkan peraturan untuk mengira penentu urutan ketiga. Terdapat tiga daripadanya: peraturan menambah lajur, peraturan Sarrus, peraturan penguraian.

a) Peraturan untuk menambah dua lajur pertama kepada penentu utama:

Pengiraan dijalankan seperti berikut: hasil darab unsur-unsur pepenjuru utama dan sepanjang selari dengannya mengikut tandanya, dengan tanda bertentangan ia mengambil hasil darab unsur pepenjuru sekunder dan selari dengannya.

b) Peraturan Sarrus:

Dengan tanda mereka, mereka mengambil produk unsur-unsur pepenjuru utama dan sepanjang selari dengannya, dan unsur ketiga yang hilang diambil dari sudut bertentangan. Dengan tanda bertentangan, ambil produk unsur pepenjuru sekunder dan sepanjang selari dengannya, elemen ketiga diambil dari sudut bertentangan.

c) Peraturan penguraian oleh unsur-unsur baris atau lajur:

Jika
, Kemudian.

Pelengkap algebra ialah penentu tertib rendah yang diperoleh dengan memotong baris dan lajur yang sepadan dan mengambil kira tanda
, Di mana - nombor baris, – nombor lajur.

Sebagai contoh,

,
,
dll.

Menggunakan peraturan ini, kami mengira penentu tambahan Dan , mengembangkannya mengikut elemen baris pertama.

Setelah mengira semua penentu, kami mencari pembolehubah menggunakan peraturan Cramer:

Peperiksaan:

Kesimpulan: sistem diselesaikan dengan betul: .

Sifat asas penentu

Perlu diingat bahawa penentunya adalah nombor, didapati mengikut beberapa peraturan. Pengiraannya boleh dipermudahkan jika kita menggunakan sifat asas yang sah untuk penentu sebarang susunan.

Harta 1. Nilai penentu tidak akan berubah jika semua barisnya digantikan dengan lajur yang sepadan dengan nombor dan sebaliknya.

Operasi menggantikan baris dengan lajur dipanggil transposisi. Daripada sifat ini, mana-mana pernyataan yang benar untuk baris penentu juga akan menjadi benar untuk lajurnya.

Harta 2. Jika dua baris (lajur) dalam penentu ditukar, tanda penentu akan bertukar kepada sebaliknya.

Hartanah 3. Jika semua elemen bagi mana-mana baris penentu adalah sama dengan 0, maka penentunya adalah sama dengan 0.

Harta benda 4. Jika unsur-unsur rentetan penentu didarab (dibahagi) dengan beberapa nombor , maka nilai penentu akan meningkat (menurun) dalam sekali.

Jika elemen baris mempunyai faktor sepunya, maka ia boleh dikeluarkan daripada tanda penentu.

Harta 5. Jika penentu mempunyai dua baris yang sama atau berkadar, maka penentu tersebut adalah sama dengan 0.

Harta 6. Jika unsur-unsur mana-mana baris penentu ialah hasil tambah dua sebutan, maka penentu adalah sama dengan hasil tambah kedua-dua penentu.

Harta 7. Nilai penentu tidak akan berubah jika elemen baris ditambahkan pada elemen baris lain, didarab dengan nombor yang sama.

Dalam penentu ini, pertama baris ketiga ditambah ke baris kedua, didarab dengan 2, kemudian yang kedua ditolak dari lajur ketiga, selepas itu baris kedua ditambah ke baris pertama dan ketiga, akibatnya kami mendapat banyak sifar dan memudahkan pengiraan.

peringkat rendah transformasi penentu dipanggil penyederhanaannya melalui penggunaan sifat yang ditentukan.

Contoh 1. Pengiraan penentu

Pengiraan terus mengikut salah satu peraturan yang dibincangkan di atas membawa kepada pengiraan yang menyusahkan. Oleh itu, adalah dinasihatkan untuk menggunakan ciri-ciri:

a) daripada baris 1, tolak yang kedua, didarab dengan 2;

b) daripada baris II tolak yang ketiga, didarab dengan 3.

Hasilnya kami mendapat:

Mari kita kembangkan penentu ini kepada unsur-unsur lajur pertama, yang mengandungi hanya satu unsur bukan sifar.

.

Sistem dan penentu perintah yang lebih tinggi

sistem persamaan linear dengan tidak diketahui boleh ditulis seperti berikut:

Untuk kes ini, adalah mungkin untuk mengarang penentu utama dan tambahan, dan menentukan yang tidak diketahui menggunakan peraturan Cramer. Masalahnya ialah penentu tertib lebih tinggi hanya boleh dikira dengan menurunkan tertib dan mengurangkannya kepada penentu tertib ketiga. Ini boleh dilakukan dengan penguraian terus ke dalam elemen baris atau lajur, serta menggunakan transformasi asas awal dan penguraian selanjutnya.

Contoh 4. Kira penentu tertib keempat

Penyelesaian kita boleh menemuinya dalam dua cara:

a) dengan pengembangan terus ke dalam elemen baris pertama:

b) melalui transformasi awal dan penguraian selanjutnya

	a) daripada baris I tolak III
	b) tambah baris II hingga IV

Contoh 5. Kirakan penentu tertib kelima, mendapatkan sifar dalam baris ketiga menggunakan lajur keempat

dari baris pertama kita tolak yang kedua, dari yang ketiga kita tolak yang kedua, dari yang keempat kita tolak yang kedua didarab dengan 2.

tolak yang ketiga daripada lajur kedua:

tolak yang ketiga daripada baris kedua:

Contoh 6. Selesaikan sistem:

Penyelesaian. Mari kita susun penentu sistem dan, menggunakan sifat penentu, hitungkannya:

(dari baris pertama kita tolak yang ketiga, dan kemudian dalam penentu urutan ketiga yang terhasil dari lajur ketiga kita tolak yang pertama, didarab dengan 2). Penentu
, oleh itu, formula Cramer boleh digunakan.

Mari kita hitung penentu yang tinggal:

Lajur keempat didarab dengan 2 dan ditolak daripada yang lain

Lajur keempat telah ditolak daripada lajur pertama, dan kemudian, didarab dengan 2, ditolak daripada lajur kedua dan ketiga.

.

Di sini kami melakukan transformasi yang sama seperti untuk
.

.

Apabila anda menjumpai lajur pertama didarab dengan 2 dan ditolak daripada yang lain.

Menurut peraturan Cramer kita mempunyai:

Selepas menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan, kami yakin bahawa penyelesaian kepada sistem adalah betul.

2. MATRIKS DAN KEGUNAANNYA

DALAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Matriks ialah jadual segi empat tepat yang terdiri daripada nombor.

Biarkan matriks segi empat sama tertib 2 diberikan:

Penentu (atau penentu) susunan 2 yang sepadan dengan matriks yang diberikan ialah nombor

Penentu tertib ketiga (atau penentu) yang sepadan dengan matriks ialah nombor

Contoh 1: Cari penentu bagi matriks dan

Sistem persamaan algebra linear

Biarkan sistem 3 persamaan linear dengan 3 tidak diketahui diberikan

Sistem (1) boleh ditulis dalam bentuk matriks-vektor

di mana A ialah matriks pekali

B - matriks lanjutan

X ialah vektor komponen yang diperlukan;

Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Cramer

Biarkan sistem persamaan linear dengan dua tidak diketahui diberikan:

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua dan tiga yang tidak diketahui menggunakan formula Cramer. Teorem 1. Jika penentu utama sistem adalah berbeza daripada sifar, maka sistem mempunyai penyelesaian, dan yang unik. Penyelesaian sistem ditentukan oleh formula:

di mana x1, x2 ialah punca-punca sistem persamaan,

Penentu utama sistem, x1, x2 ialah penentu tambahan.

Kelayakan tambahan:

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan tiga tidak diketahui menggunakan kaedah Cramer.

Biarkan sistem persamaan linear dengan tiga tidak diketahui diberikan:

Teorem 2. Jika penentu utama sistem adalah berbeza daripada sifar, maka sistem mempunyai penyelesaian, dan yang unik. Penyelesaian sistem ditentukan oleh formula:

di mana x1, x2, x3 ialah punca-punca sistem persamaan,

Penentu utama sistem,

x1, x2, x3 ialah penentu tambahan.

Penentu utama sistem ditentukan oleh:

Kelayakan tambahan:

• 1. Buat jadual (matriks) pekali untuk yang tidak diketahui dan hitung penentu utama.
• 2. Cari - penentu tambahan bagi x yang diperoleh dengan menggantikan lajur pertama dengan lajur sebutan bebas.
• 3. Cari - penentu tambahan y diperoleh dengan menggantikan lajur kedua dengan lajur sebutan bebas.
• 4. Cari - penentu tambahan z, diperoleh dengan menggantikan lajur ketiga dengan lajur sebutan bebas. Jika penentu utama sistem tidak sama dengan sifar, maka langkah 5 dilakukan.
• 5. Cari nilai pembolehubah x menggunakan formula x / .
• 6. Cari nilai pembolehubah y menggunakan formula y /.
• 7. Cari nilai pembolehubah z menggunakan formula z / .
• 8. Tuliskan jawapan: x=...; y=…, z=… .

Syarahan 1.1.Matriks berangka dan operasi padanya.

Ringkasan:Tempat algebra linear dan geometri analitikal dalam sains semula jadi. Peranan saintis domestik dalam pembangunan sains ini. Konsep matriks. Operasi pada matriks dan sifatnya.

Jadual nombor bentuk dipanggil segi empat tepat matriks dimensi. Matriks ditunjukkan dengan huruf besar dalam huruf Latin A, B, C, ... Nombor yang membentuk jadual dipanggil elemen matriks. Setiap elemen mempunyai dua indeks dan , menunjukkan, masing-masing, nombor baris () dan nombor lajur () di mana elemen itu terletak. terpakai sebutan berikut matriks

Dua matriks dipanggil sama rata , jika mereka mempunyai dimensi yang sama (iaitu. nombor yang sama baris dan lajur) dan jika nombor di tempat yang sepadan bagi matriks ini adalah sama.

Jika bilangan baris matriks adalah sama dengan bilangan lajurnya, matriks itu dipanggil segi empat sama . Dalam matriks segi empat sama, bilangan baris (atau lajur) dipanggil susunan matriks. Khususnya, matriks segi empat sama tertib pertama hanyalah nombor nyata. Sehubungan itu mereka berkata demikian garis vektor ialah matriks dimensi , dan vektor lajur mempunyai dimensi.

Unsur-unsur yang terletak pada pepenjuru utama matriks segi empat sama (dari kiri atas ke sudut kanan bawah) dipanggil pepenjuru .

Matriks segi empat sama yang unsur-unsurnya bukan pada pepenjuru utama semuanya 0 dipanggil pepenjuru .

Matriks pepenjuru yang unsur pepenjurunya semuanya 1 dan semua unsur luar pepenjuru adalah 0 dipanggil bujang dan dilambangkan dengan atau , dengan n ialah susunannya.

Operasi asas pada matriks ialah menambah matriks dan mendarab matriks dengan nombor.

kerja matriks A nombor ialah matriks yang sama dimensi dengan matriks A, setiap unsur didarab dengan nombor ini.

Contohnya: ; .

Sifat operasi mendarab matriks dengan nombor:

1.l(m A )=(lm) A (persatuan)

2.l( A +DALAM )=l A +l DALAM (pengagihan berkenaan dengan penambahan matriks)

3. (l+m) A =)=l A +m A (pengagihan mengenai penambahan nombor)

Gabungan linear matriks A Dan DALAM yang sama saiz dipanggil ungkapan bentuk: a A +b DALAM , dengan a,b ialah nombor arbitrari

Jumlah matriks Dan DALAM (tindakan ini hanya terpakai kepada matriks dengan dimensi yang sama) dipanggil matriks DENGAN daripada dimensi yang sama, unsur-unsurnya adalah sama dengan jumlah unsur matriks yang sepadan A Dan DALAM .

Sifat penambahan matriks:

1)A +DALAM =DALAM +A (komutatif)

2)(A +DALAM )+DENGAN =A +(DALAM +DENGAN )=A +DALAM +DENGAN (persatuan)

Matriks perbezaan Dan DALAM (tindakan ini hanya terpakai kepada matriks dengan dimensi yang sama) dipanggil matriks C dimensi yang sama, unsur-unsurnya adalah sama dengan perbezaan unsur matriks yang sepadan A Dan DALAM .

Transpose. Jika unsur-unsur setiap baris matriks dimensi ditulis dalam susunan yang sama ke dalam lajur matriks baharu, dan nombor lajur adalah sama dengan nombor baris, maka matriks baharu itu dipanggil transpos berkenaan dengan dan adalah dilambangkan . Dimensi adalah Peralihan dari kepada dipanggil transposisi. Ia juga jelas bahawa . ,

Pendaraban matriks. Operasi pendaraban matriks hanya mungkin jika bilangan lajur faktor pertama adalah sama dengan bilangan baris kedua. Hasil daripada pendaraban, kami memperoleh matriks yang bilangan barisnya bertepatan dengan bilangan baris faktor pertama, dan bilangan lajur dengan bilangan lajur kedua:

Peraturan pendaraban matriks: untuk mendapatkan unsur dalam baris ke dan lajur ke hasil darab dua matriks, anda perlu mendarab unsur baris ke matriks pertama dengan unsur lajur ke matriks kedua dan menambah produk yang terhasil. Dalam jargon matematik kadangkala mereka berkata: anda perlu mendarab baris ke matriks dengan lajur ke matriks. Adalah jelas bahawa baris pertama dan lajur matriks kedua mesti mengandungi bilangan elemen yang sama.

Berbeza dengan operasi ini, operasi pendaraban matriks-matriks adalah lebih sukar untuk ditakrifkan. Biarkan dua matriks diberikan A Dan DALAM , dan bilangan lajur yang pertama daripadanya adalah sama dengan bilangan baris yang kedua: contohnya, matriks A mempunyai dimensi, dan matriks DALAM – dimensi. Jika

, , kemudian matriks dimensi

, di mana (i=1,…,m;j=1,…,k)

dipanggil produk matriks A kepada matriks DALAM dan ditetapkan AB .

Sifat operasi pendaraban matriks:

1. (AB)C=A(BC)=ABC (persatuan)

2. (A+B)C=AC+BC (pengagihan)

3. A(B+C)=AB+A (pengagihan)

4. Pendaraban matriks adalah bukan komutatif: AB tidak sama VA ., jika sama, maka matriks ini dipanggil komutatif.

Penjelmaan asas ke atas matriks:

1. Tukar dua baris (lajur)

2. Mendarab baris (lajur) dengan nombor selain sifar

3. Menambah pada elemen satu baris (lajur) unsur baris lain (lajur), didarab dengan sebarang nombor

Syarahan 1.2.Penentu dengan pekali nyata. Mencari matriks songsang.

Ringkasan:Penentu dan sifatnya. Kaedah untuk mengira penentu dengan pekali nyata. Mencari matriks songsang untuk matriks tertib ketiga.

Konsep penentu hanya diperkenalkan untuk matriks segi empat sama. Penentu - Ini nombor, yang didapati mengikut peraturan yang jelas dan dilambangkan dengan atau det A .

Penentu matriks pesanan kedua adalah seperti ini: atau

Penentu urutan ketiga nombor itu dipanggil:

.

Untuk mengingati formula yang rumit ini, terdapat "peraturan segitiga":

Anda juga boleh mengira menggunakan kaedah lain - kaedah penguraian mengikut baris atau lajur. Mari kita perkenalkan beberapa definisi:

kecil matriks segi empat sama A dipanggil penentu matriks A , yang diperoleh dengan memotong baris ke dan lajur ke: contohnya, untuk minor - .

Pelengkap algebra unsur penentu dipanggil minornya, diambil dengan tandanya sendiri jika jumlah nombor baris dan lajur di mana unsur itu terletak adalah genap, dan dengan tanda bertentangan jika jumlah nombor itu ganjil: .

Kemudian: Penentu urutan ketiga sama dengan jumlah hasil darab unsur mana-mana lajur (baris) dengan pelengkap algebranya.

PR: Mari kita hitung penentu: dengan mengembangkannya ke dalam elemen baris pertama.

Sifat penentu:

1. Penentu adalah sama dengan 0 jika ia mengandungi dua baris (lajur) yang sama atau baris sifar (lajur).

2. Penentu menukar tandanya apabila dua baris (lajur) disusun semula.

3. Faktor sepunya dalam satu baris (dalam lajur) boleh diambil di luar tanda penentu.

4. Penentu tidak berubah jika mana-mana baris lain (lajur lain) yang didarab dengan nombor arbitrari ditambah pada baris (lajur).

5. Penentu tidak berubah apabila matriks ditranspose.

6. Penentu matriks identiti ialah 1:

7. Penentu hasil darab matriks adalah sama dengan hasil darab penentu

Matriks songsang.

Matriks segi empat sama dipanggil tidak merosot, jika penentunya berbeza daripada sifar.

Jika, apabila mendarab matriks kuasa dua A Dan DALAM dalam sebarang susunan matriks identiti diperolehi ( AB=BA=E ), kemudian matriks DALAM dipanggil matriks songsang matriks A dan dilambangkan dengan , i.e. .

Teorem.Setiap matriks bukan tunggal mempunyai songsang.

Algoritma untuk mencari matriks songsang:

Matriks songsang. Matriks segi empat sama dikatakan bukan tunggal jika penentunya bukan sifar. Jika tidak ia dipanggil merosot .

Songsangan matriks dilambangkan dengan . Sekiranya matriks songsang wujud, maka ia adalah unik dan

Di manakah adjung (kesatuan), terdiri daripada penambahan algebra j:

Kemudian penentu matriks songsang berkaitan dengan penentu matriks ini dengan hubungan berikut: . sebenarnya, , dari mana kesaksamaan ini menyusul.

Sifat matriks songsang:

1. , di manakah matriks segi empat sama bukan tunggal dengan susunan yang sama.

3. .

4.

Syarahan 1.3.Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer, kaedah Gauss dan kalkulus matriks.

Ringkasan:Kaedah Cramer dan kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear. Kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan. Kedudukan matriks. Teorem Kronecker-Capelli. Sistem asas keputusan. Sistem homogen dan heterogen.

Sistem persamaan adalah seperti berikut:

(*) , di mana , ‑ pekali, ‑ pembolehubah, dipanggil sistem persamaan linear. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear bermakna menunjukkan semua penyelesaian sistem, i.e. set nilai pembolehubah sedemikian yang menjadikan persamaan sistem menjadi identiti. Sistem persamaan linear dipanggil.

Sistem persamaan algebra linear N (SLAE) dengan tidak diketahui diberikan, pekalinya ialah unsur-unsur matriks, dan sebutan bebas ialah nombor.

Indeks pertama di sebelah pekali menunjukkan di mana persamaan pekali terletak, dan yang kedua - di mana yang tidak diketahui ia ditemui.

Jika penentu matriks bukan sifar

maka sistem persamaan algebra linear mempunyai penyelesaian yang unik.

Penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear ialah satu set nombor tersusun yang mengubah setiap persamaan sistem kepada kesamaan yang betul.

Jika sisi kanan semua persamaan sistem adalah sama dengan sifar, maka sistem persamaan dipanggil homogen. Dalam kes apabila sesetengah daripada mereka berbeza daripada sifar - heterogen

Jika sistem persamaan algebra linear mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka ia dipanggil serasi, jika tidak ia dipanggil tidak serasi.

Jika penyelesaian kepada sistem itu unik, maka sistem persamaan linear dipanggil pasti. Dalam kes di mana penyelesaian kepada sistem gabungan tidak unik, sistem persamaan dipanggil tak tentu.

Dua sistem persamaan linear dipanggil setara (atau setara) jika semua penyelesaian satu sistem adalah penyelesaian kedua, dan sebaliknya. Kami memperoleh sistem yang setara (atau setara) menggunakan transformasi yang setara.

Transformasi setara SLAE

1) penyusunan semula persamaan;

2) pendaraban (atau pembahagian) persamaan dengan nombor bukan sifar;

3) menambah persamaan lain pada beberapa persamaan, didarab dengan nombor bukan sifar arbitrari.

Penyelesaian kepada SLAE boleh didapati dengan cara yang berbeza.

KAEDAH CRAMER

TEOREM CRAMER. Jika penentu sistem persamaan algebra linear dengan tidak diketahui adalah bukan sifar, maka sistem ini mempunyai penyelesaian unik, yang didapati menggunakan formula Cramer:

— penentu dibentuk dengan menggantikan lajur ke dengan lajur sebutan bebas.

Jika , dan sekurang-kurangnya satu daripadanya berbeza daripada sifar, maka SLAE tidak mempunyai penyelesaian. Jika , maka SLAE mempunyai banyak penyelesaian. Mari lihat contoh menggunakan kaedah Cramer.

—————————————————————

Satu sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui diberikan. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Cramer

Mari kita cari penentu bagi matriks pekali bagi yang tidak diketahui

Sejak itu sistem yang diberikan persamaan adalah serasi dan mempunyai penyelesaian yang unik. Mari kita hitung penentu:

Menggunakan formula Cramer kita mencari yang tidak diketahui

Jadi satu-satunya penyelesaian kepada sistem.

Satu sistem empat persamaan algebra linear diberikan. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Cramer.

Mari kita cari penentu matriks pekali bagi yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, mari kembangkannya di sepanjang baris pertama.

Mari cari komponen penentu:

Mari kita gantikan nilai yang ditemui ke dalam penentu

Penentu, oleh itu sistem persamaan adalah konsisten dan mempunyai penyelesaian yang unik. Mari kita mengira penentu menggunakan formula Cramer:

Marilah kita menguraikan setiap penentu mengikut lajur yang terdapat lebih banyak sifar.

Menggunakan formula Cramer kami dapati

Penyelesaian sistem

Contoh ini boleh diselesaikan menggunakan kalkulator matematik YukhymCALC. Serpihan program dan keputusan pengiraan ditunjukkan di bawah.

——————————

KAEDAH C R A M E R A

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= 10

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

Lihat bahan:

(jkomen pada)

Dalam kes umum, peraturan untuk mengira penentu susunan agak rumit. Untuk penentu tertib kedua dan ketiga, terdapat cara yang rasional untuk mengiranya.

Pengiraan penentu tertib kedua

Untuk mengira penentu matriks tertib kedua, anda perlu menolak hasil darab unsur pepenjuru sekunder daripada hasil darab unsur pepenjuru utama:

Contoh

Bersenam. Kirakan penentu tertib kedua

Penyelesaian.

Jawab.

Kaedah untuk mengira penentu peringkat ketiga

Peraturan berikut wujud untuk mengira penentu urutan ketiga.

Peraturan segi tiga

Secara skematik, peraturan ini boleh digambarkan seperti berikut:

Hasil darab unsur dalam penentu pertama yang disambungkan dengan garis lurus diambil dengan tanda tambah; begitu juga, untuk penentu kedua, produk yang sepadan diambil dengan tanda tolak, i.e.

Contoh

Bersenam. Pengiraan penentu menggunakan kaedah segitiga.

Penyelesaian.

Jawab.

pemerintahan Sarrus

Di sebelah kanan penentu, dua lajur pertama ditambah dan hasil darab unsur pada pepenjuru utama dan pepenjuru selari dengannya diambil dengan tanda tambah; dan hasil darab unsur pepenjuru sekunder dan pepenjuru selari dengannya, dengan tanda tolak:

Contoh

Bersenam. Pengiraan penentu menggunakan peraturan Sarrus.

Penyelesaian.

Jawab.

Mengembangkan penentu mengikut baris atau lajur

Penentu adalah sama dengan hasil tambah bagi unsur-unsur baris penentu dan pelengkap algebranya.

Biasanya baris/lajur yang mengandungi sifar dipilih. Baris atau lajur di mana penguraian dijalankan akan ditunjukkan dengan anak panah.

Contoh

Bersenam. Mengembangkan sepanjang baris pertama, hitung penentu

Penyelesaian.

Jawab.

Kaedah ini membolehkan pengiraan penentu dikurangkan kepada pengiraan penentu susunan yang lebih rendah.

Contoh

Bersenam. Pengiraan penentu

Penyelesaian. Marilah kita melakukan transformasi berikut pada garis penentu: dari baris kedua kita tolak empat yang pertama, dan dari baris ketiga baris pertama didarab dengan tujuh, sebagai hasilnya, mengikut sifat penentu, kita memperoleh penentu. sama dengan yang diberikan.

Penentunya ialah sifar kerana baris kedua dan ketiga adalah berkadar.

Jawab.

Untuk mengira penentu tertib keempat dan lebih tinggi, sama ada pengembangan baris/lajur, atau pengurangan kepada bentuk segi tiga, atau menggunakan teorem Laplace digunakan.

Mengurai penentu kepada unsur-unsur baris atau lajur

Contoh

Bersenam. Pengiraan penentu , menguraikannya kepada elemen beberapa baris atau beberapa lajur.

Penyelesaian. Mari kita mula-mula melakukan transformasi asas pada baris penentu, membuat sebanyak sifar yang mungkin sama ada dalam baris atau dalam lajur. Untuk melakukan ini, mula-mula tolak sembilan pertiga daripada baris pertama, lima pertiga daripada baris kedua, dan tiga pertiga daripada baris keempat, kita dapat:

Marilah kita menguraikan penentu yang terhasil kepada unsur-unsur lajur pertama:

Kami juga akan mengembangkan penentu tertib ketiga yang terhasil ke dalam elemen baris dan lajur, setelah memperoleh sifar sebelum ini, sebagai contoh, dalam lajur pertama.

Untuk melakukan ini, tolak dua baris kedua dari baris pertama, dan baris kedua dari baris ketiga:

Jawab.

Komen

Penentu terakhir dan terakhir tidak dapat dikira, tetapi segera membuat kesimpulan bahawa ia adalah sama dengan sifar, kerana ia mengandungi baris berkadar.

Mengurangkan penentu kepada bentuk segi tiga

Menggunakan transformasi asas ke atas baris atau lajur, penentu dikurangkan kepada bentuk segi tiga dan kemudian nilainya, mengikut sifat penentu, adalah sama dengan hasil darab unsur pada pepenjuru utama.

Contoh

Bersenam. Pengiraan penentu membawanya kepada bentuk segi tiga.

Penyelesaian. Mula-mula kita membuat sifar dalam lajur pertama di bawah pepenjuru utama.

4. Sifat-sifat penentu. Penentu hasil darab matriks.

Semua penjelmaan akan menjadi lebih mudah untuk dilakukan jika elemen adalah sama dengan 1. Untuk melakukan ini, kita akan menukar lajur pertama dan kedua penentu, yang, mengikut sifat penentu, akan menyebabkan ia menukar tandanya kepada bertentangan:

Seterusnya, kita mendapat sifar dalam lajur kedua sebagai ganti unsur-unsur di bawah pepenjuru utama. Sekali lagi, jika unsur pepenjuru adalah sama dengan , maka pengiraan akan menjadi lebih mudah. Untuk melakukan ini, tukar baris kedua dan ketiga (dan pada masa yang sama tukar kepada tanda penentu yang bertentangan):

Jawab.

Teorem Laplace

Contoh

Bersenam. Dengan menggunakan teorem Laplace, hitung penentunya

Penyelesaian. Marilah kita memilih dua baris dalam penentu tertib kelima ini - yang kedua dan yang ketiga, kemudian kita memperoleh (kita meninggalkan istilah yang sama dengan sifar):

Jawab.

PERSAMAAN LINEAR DAN KETIDAKSAMAAN I

§ 31 Kes apabila penentu utama sistem persamaan adalah sama dengan sifar, dan sekurang-kurangnya satu daripada penentu tambahan berbeza daripada sifar

Teorem.Jika penentu utama sistem persamaan

(1)

adalah sama dengan sifar, dan sekurang-kurangnya satu daripada penentu tambahan adalah berbeza daripada sifar, maka sistem itu tidak konsisten.

Secara formal, pembuktian teorem ini tidak sukar diperoleh melalui percanggahan. Mari kita andaikan bahawa sistem persamaan (1) mempunyai penyelesaian ( x 0 , y 0). Kemudian, seperti yang ditunjukkan dalam perenggan sebelumnya,

Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)

Tetapi mengikut syarat Δ = 0, dan sekurang-kurangnya satu daripada penentu Δ x Dan Δ y berbeza daripada sifar. Oleh itu, kesamaan (2) tidak boleh dipenuhi secara serentak. Teorem telah terbukti.

Walau bagaimanapun, nampaknya menarik untuk mengetahui dengan lebih terperinci mengapa sistem persamaan (1) tidak konsisten dalam kes yang sedang dipertimbangkan.

bermakna pekali bagi yang tidak diketahui dalam sistem persamaan (1) adalah berkadar. Biarkan, sebagai contoh,

a 1 =ka 2 , b 1 = kb 2 .

bermakna bahawa pekali untuk di dan sebutan bebas bagi persamaan sistem (1) adalah tidak berkadar. Kerana b 1 = kb 2, kemudian c 1 =/= kc 2 .

Oleh itu, sistem persamaan (1) boleh ditulis dalam bentuk berikut:

Dalam sistem ini, pekali untuk yang tidak diketahui adalah berkadar, masing-masing, tetapi pekali untuk di (atau bila X ) dan syarat percuma tidak berkadar. Sistem sedemikian, sudah tentu, tidak serasi. Sesungguhnya, jika dia mempunyai penyelesaian ( x 0 , y 0), maka kesamaan berangka akan dipegang

k (a 2 x 0 + b 2 y 0) = c 1

a 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 .

Tetapi satu daripada persamaan ini bercanggah dengan yang lain: lagipun, c 1 =/= kc 2 .

Kami hanya mempertimbangkan kes itu apabila Δ x =/= 0. Kes apabila Δ y =/= 0."

Teorem terbukti boleh dirumuskan dengan cara ini.

Jika pekali bagi yang tidak diketahui X Dan di dalam sistem persamaan (1) adalah berkadar, tetapi pekali untuk mana-mana yang tidak diketahui ini dan sebutan bebas adalah tidak berkadar, maka sistem persamaan ini tidak konsisten.

Adalah mudah, sebagai contoh, untuk memastikan bahawa setiap sistem ini tidak serasi:

Kaedah Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Formula Cramer

Kaedah Cramer adalah berdasarkan penggunaan penentu dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Ini mempercepatkan proses penyelesaian dengan ketara.

Kaedah Cramer boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sebanyak mana yang tidak diketahui dalam setiap persamaan.

kaedah Cramer. Aplikasi untuk sistem persamaan linear

Jika penentu sistem tidak sama dengan sifar, maka kaedah Cramer boleh digunakan dalam penyelesaian, tetapi jika ia sama dengan sifar, maka ia tidak boleh. Selain itu, kaedah Cramer boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian unik.

Definisi. Penentu yang terdiri daripada pekali untuk tidak diketahui dipanggil penentu sistem dan dilambangkan (delta).

Penentu

diperoleh dengan menggantikan pekali yang tidak diketahui yang sepadan dengan istilah bebas:

;

.

Teorem Cramer. Jika penentu sistem adalah bukan sifar, maka sistem persamaan linear mempunyai satu penyelesaian unik, dan yang tidak diketahui adalah sama dengan nisbah penentu. Penyebut mengandungi penentu sistem, dan pengangka mengandungi penentu yang diperoleh daripada penentu sistem dengan menggantikan pekali yang tidak diketahui ini dengan sebutan bebas. Teorem ini berlaku untuk sistem persamaan linear bagi sebarang susunan.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linear:

mengikut Teorem Cramer kami ada:

Jadi, penyelesaian kepada sistem (2):

Tiga kes apabila menyelesaikan sistem persamaan linear

Seperti yang jelas daripada Teorem Cramer, apabila menyelesaikan sistem persamaan linear, tiga kes boleh berlaku:

Kes pertama: sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian yang unik

(sistem adalah konsisten dan pasti)

*

Kes kedua: sistem persamaan linear mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga

(sistem adalah konsisten dan tidak pasti)

**
,

mereka. pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas adalah berkadar.

Kes ketiga: sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistem m persamaan linear dengan n dipanggil pembolehubah bukan sendi, jika dia tidak mempunyai penyelesaian tunggal, dan sendi, jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem persamaan serentak yang hanya mempunyai satu penyelesaian dipanggil pasti, dan lebih daripada satu – tidak pasti.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer

Biar sistem diberikan

.

Berdasarkan teorem Cramer

………….
,

di mana
—

penentu sistem. Kami memperoleh penentu yang tinggal dengan menggantikan lajur dengan pekali pembolehubah yang sepadan (tidak diketahui) dengan istilah bebas:

Contoh 2.

.

Oleh itu, sistem itu pasti. Untuk mencari penyelesaiannya, kami mengira penentu

Menggunakan formula Cramer kita dapati:

Jadi, (1; 0; -1) ialah satu-satunya penyelesaian kepada sistem.

Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian menggunakan kaedah penyelesaian Cramer.

Jika dalam sistem persamaan linear tiada pembolehubah dalam satu atau lebih persamaan, maka dalam penentu unsur-unsur yang sepadan adalah sama dengan sifar! Ini adalah contoh seterusnya.

Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:

.

Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Lihat dengan teliti pada sistem persamaan dan pada penentu sistem dan ulangi jawapan kepada soalan di mana satu atau lebih elemen penentu adalah sama dengan sifar. Jadi, penentu tidak sama dengan sifar, oleh itu sistem adalah pasti. Untuk mencari penyelesaiannya, kami mengira penentu untuk yang tidak diketahui

Menggunakan formula Cramer kita dapati:

Jadi, penyelesaian kepada sistem ialah (2; -1; 1).

Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian menggunakan kaedah penyelesaian Cramer.

Bahagian atas halaman

Ambil ujian pada Sistem Persamaan Linear

Seperti yang telah disebutkan, jika penentu sistem adalah sama dengan sifar, dan penentu yang tidak diketahui tidak sama dengan sifar, sistem itu tidak konsisten, iaitu, ia tidak mempunyai penyelesaian. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:

Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Penentu sistem adalah sama dengan sifar, oleh itu, sistem persamaan linear adalah sama ada tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, iaitu, tidak mempunyai penyelesaian. Untuk menjelaskan, kami mengira penentu untuk yang tidak diketahui

Penentu yang tidak diketahui tidak sama dengan sifar, oleh itu, sistem tidak konsisten, iaitu, ia tidak mempunyai penyelesaian.

Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian menggunakan kaedah penyelesaian Cramer.

Dalam masalah yang melibatkan sistem persamaan linear, terdapat juga yang, sebagai tambahan kepada huruf yang menunjukkan pembolehubah, terdapat juga huruf lain. Huruf ini mewakili nombor, selalunya nyata. Dalam amalan, masalah carian membawa kepada persamaan dan sistem persamaan tersebut sifat am sebarang fenomena atau objek. Iaitu, adakah anda telah mencipta apa-apa bahan baru atau peranti, dan untuk menerangkan sifatnya, yang biasa tanpa mengira saiz atau bilangan contoh, anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linear, di mana bukannya beberapa pekali untuk pembolehubah terdapat huruf. Anda tidak perlu melihat jauh untuk contoh.

Contoh berikut adalah untuk masalah yang sama, hanya bilangan persamaan, pembolehubah dan huruf yang menunjukkan nombor nyata tertentu meningkat.

Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:

Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Mencari penentu untuk yang tidak diketahui

Menggunakan formula Cramer kita dapati:

,

,

.

Dan akhirnya, sistem empat persamaan dengan empat tidak diketahui.

Contoh 7. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:

.

Perhatian! Kaedah untuk mengira penentu urutan keempat tidak akan diterangkan di sini. Untuk ini, pergi ke bahagian tapak yang sepadan. Tetapi akan ada beberapa komen kecil. Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Komen kecil. Dalam penentu asal, unsur-unsur baris keempat telah ditolak daripada unsur-unsur baris kedua, unsur-unsur baris keempat, didarab dengan 2, daripada unsur-unsur baris ketiga, dan unsur-unsur baris pertama, didarab dengan 2, daripada unsur-unsur baris keempat Transformasi penentu awal dengan tiga yang pertama tidak diketahui telah dijalankan mengikut skema yang sama. Mencari penentu untuk yang tidak diketahui

Untuk mengubah penentu bagi yang tidak diketahui keempat, unsur-unsur baris keempat telah ditolak daripada unsur-unsur baris pertama.

Menggunakan formula Cramer kita dapati:

Jadi, penyelesaian kepada sistem ialah (1; 1; -1; -1).

Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian menggunakan kaedah penyelesaian Cramer.

Orang yang paling prihatin mungkin menyedari bahawa artikel itu tidak mengandungi contoh penyelesaian sistem tak tentu persamaan linear. Dan semua kerana adalah mustahil untuk menyelesaikan sistem sedemikian menggunakan kaedah Cramer, seseorang hanya boleh menyatakan bahawa sistem itu tidak pasti. Penyelesaian kepada sistem sedemikian disediakan oleh kaedah Gauss.

Tiada masa untuk mendalami penyelesaiannya? Anda boleh memesan kerja!

Bahagian atas halaman

Ambil ujian pada Sistem Persamaan Linear

Lain-lain mengenai topik "Sistem persamaan dan ketaksamaan"

Kalkulator - menyelesaikan sistem persamaan dalam talian

Pelaksanaan perisian kaedah Cramer dalam C++

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah penggantian dan kaedah tambah

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

Keadaan ketekalan untuk sistem persamaan linear.

Teorem Kronecker-Capelli

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah matriks (matriks songsang)

Sistem ketaksamaan linear dan set cembung mata

Permulaan topik "Algebra Linear"

Penentu

Dalam artikel ini kita akan berkenalan dengan konsep yang sangat penting dari cabang algebra linear, yang dipanggil penentu.

Saya ingin segera ambil perhatian perkara penting: konsep penentu hanya sah untuk matriks segi empat sama (bilangan baris = bilangan lajur), matriks lain tidak memilikinya.

Penentu bagi matriks segi empat sama(penentu) - ciri berangka matriks.

Penetapan penentu: |A|, det A, ∆ A.

Penentu Susunan “n” ialah jumlah algebra bagi semua kemungkinan hasil darab unsurnya yang memenuhi keperluan berikut:

1) Setiap produk tersebut mengandungi elemen "n" yang tepat (iaitu, penentu urutan ke-2 - 2 elemen).

2) Dalam setiap produk terdapat wakil setiap baris dan setiap lajur sebagai faktor.

3) Mana-mana dua faktor dalam setiap produk tidak boleh tergolong dalam baris atau lajur yang sama.

Tanda produk ditentukan oleh susunan selang-seli nombor lajur, jika elemen dalam produk disusun dalam susunan nombor baris menaik.

Mari kita pertimbangkan beberapa contoh mencari penentu matriks:

Untuk matriks tertib pertama (iaitu.

Persamaan linear. Menyelesaikan sistem persamaan linear. kaedah Cramer.

hanya terdapat 1 unsur), penentunya adalah sama dengan unsur ini:

2. Pertimbangkan matriks segi empat sama tertib kedua:

3. Pertimbangkan matriks segi empat sama tertib ketiga (3×3):

4. Sekarang mari kita lihat contoh dengan nombor nyata:

Peraturan segi tiga.

Peraturan segitiga ialah cara mengira penentu matriks, yang melibatkan mencarinya mengikut skema berikut:

Seperti yang anda sudah faham, kaedah itu dipanggil peraturan segi tiga kerana fakta bahawa unsur-unsur yang didarabkan dari matriks membentuk segi tiga pelik.

Untuk memahami perkara ini dengan lebih baik, mari lihat contoh:

Sekarang mari kita lihat pengiraan penentu matriks dengan nombor nyata menggunakan peraturan segi tiga:

Untuk menyatukan bahan yang telah kami bincangkan, mari selesaikan satu lagi contoh praktikal:

Sifat penentu:

1. Jika unsur-unsur baris atau lajur adalah sama dengan sifar, maka penentunya adalah sama dengan sifar.

2. Penentu akan menukar tanda jika ada 2 baris atau lajur ditukar. Mari kita lihat ini dengan contoh kecil:

3. Penentu matriks terpindah adalah sama dengan penentu matriks asal.

4. Penentu adalah sama dengan sifar jika elemen satu baris sama dengan elemen sepadan baris lain (untuk lajur juga). Contoh paling mudah bagi sifat penentu ini ialah:

5. Penentu adalah sama dengan sifar jika 2 barisnya adalah berkadar (juga untuk lajur). Contoh (baris 1 dan 2 adalah berkadar):

6. Faktor sepunya baris (lajur) boleh dikeluarkan daripada tanda penentu.

7) Penentu tidak akan berubah jika elemen sepadan baris lain (lajur), didarab dengan nilai yang sama, ditambah pada elemen mana-mana baris (lajur). Mari kita lihat ini dengan contoh:

Pelengkap kecil dan algebra

Penambahan dan penolakan matriks dengan contoh

Tindakan dengan matriks

Konsep "matriks"

Pandangan: 57258

Penentu (aka penentu) hanya terdapat dalam matriks persegi. Penentu tidak lebih daripada nilai yang menggabungkan semua elemen matriks, yang dikekalkan apabila menukar baris atau lajur. Ia boleh dilambangkan sebagai det(A), |A|, Δ(A), Δ, di mana A boleh menjadi sama ada matriks atau huruf yang menandakannya. Anda boleh mencarinya menggunakan kaedah yang berbeza:

Kesemua kaedah yang dicadangkan di atas akan dianalisis pada matriks bersaiz tiga dan ke atas. Penentu matriks dua dimensi didapati menggunakan tiga asas operasi matematik, oleh itu, mencari penentu matriks dua dimensi tidak akan dimasukkan dalam mana-mana kaedah. Nah, kecuali sebagai tambahan, tetapi lebih lanjut mengenainya kemudian.

Mari kita cari penentu bagi matriks 2x2:

Untuk mencari penentu matriks kita, kita perlu menolak hasil darab nombor satu pepenjuru daripada yang lain, iaitu,

Contoh mencari penentu matriks tertib kedua

Penguraian baris/lajur

Pilih mana-mana baris atau lajur dalam matriks. Setiap nombor dalam baris yang dipilih didarab dengan (-1) i+j di mana (i,j ialah nombor baris, lajur nombor itu) dan didarab dengan penentu tertib kedua, terdiri daripada elemen yang tinggal selepas memotong. i - baris dan j - lajur. Mari analisa pada matriks

1. Pilih baris/lajur

Sebagai contoh, mari kita ambil baris kedua.

Nota: Jika tidak dinyatakan secara eksplisit baris mana yang hendak digunakan untuk mencari penentu, pilih garis yang mempunyai sifar. Pengiraan akan menjadi lebih sedikit.

1. Mari buat ungkapan

Tidak sukar untuk menentukan bahawa tanda nombor berubah setiap masa. Oleh itu, bukannya unit, anda boleh menggunakan jadual berikut:

1. Jom tukar tanda nombor kita

1. Mari kita cari penentu matriks kita

1. Mari kita kira semuanya

Penyelesaiannya boleh ditulis seperti ini:

Contoh mencari penentu dengan pengembangan baris/lajur:

Kaedah pengurangan kepada bentuk segi tiga (menggunakan transformasi asas)

Penentu ditemui dengan mengurangkan matriks kepada bentuk segi tiga (langkah) dan mendarab unsur-unsur pada pepenjuru utama

Matriks segi tiga ialah matriks yang unsur-unsurnya pada satu sisi pepenjuru adalah sama dengan sifar.

Apabila membina matriks, anda harus ingat tiga peraturan mudah:

1. Setiap kali baris bertukar, penentu menukar tanda kepada yang bertentangan.
2. Apabila mendarab/membahagi satu rentetan dengan tidak nombor sifar, ia harus dibahagikan (jika didarab)/didarab (jika dibahagi) dengannya, atau tindakan ini harus dilakukan dengan penentu yang terhasil.
3. Apabila menambah satu rentetan didarab dengan nombor ke rentetan lain, penentu tidak berubah (rentetan yang didarab mengambil nilai asalnya).

Mari cuba dapatkan sifar dalam lajur pertama, kemudian dalam lajur kedua.

Mari kita lihat matriks kami:

Soooo. Untuk membuat pengiraan lebih menyeronokkan, saya ingin mempunyai nombor yang paling hampir di atas. Anda boleh meninggalkannya, tetapi jangan. Okay, kita ada dua di baris kedua, dan empat di baris pertama.

Mari kita tukar dua baris ini.

Kami menukar garisan, kini kami mesti menukar tanda satu baris, atau pada akhirnya menukar tanda penentu.

Penentu. Pengiraan penentu (halaman 2)

Kami akan lakukan ini kemudian.

Sekarang, untuk mendapatkan sifar dalam baris pertama, darab baris pertama dengan 2.

Mari kita tolak baris pertama daripada baris kedua.

Mengikut peraturan ke-3 kami, kami mengembalikan rentetan asal ke kedudukan asalnya.

Sekarang mari kita buat sifar dalam baris ke-3. Kita boleh mendarabkan baris pertama dengan 1.5 dan menolak daripada yang ketiga, tetapi bekerja dengan pecahan membawa sedikit kesenangan. Oleh itu, mari kita cari nombor yang boleh dikurangkan kedua-dua baris - ini ialah 6.

Darab baris ke-3 dengan 2.

Sekarang mari kita darab baris pertama dengan 3 dan tolak daripada baris ke-3.

Mari kita kembalikan barisan pertama kita.

Jangan lupa bahawa kita mendarabkan baris ke-3 dengan 2, jadi kemudian kita akan membahagikan penentu dengan 2.

Terdapat satu lajur. Sekarang, untuk mendapatkan sifar pada baris kedua - lupakan tentang baris pertama - kami bekerja dengan baris ke-2. Darabkan baris kedua dengan -3 dan tambahkannya pada baris ketiga.

Jangan lupa kembalikan baris kedua.

Jadi kami telah membina matriks segi tiga. Apa yang tinggal untuk kita? Apa yang tinggal adalah untuk mendarab nombor pada pepenjuru utama, itulah yang akan kita lakukan.

Nah, perlu diingat bahawa kita mesti membahagikan penentu kita dengan 2 dan menukar tanda.

Peraturan Sarrus (Peraturan segi tiga)

Peraturan Sarrus hanya digunakan untuk matriks segi empat sama tertib ketiga.

Penentu dikira dengan menambah dua lajur pertama di sebelah kanan matriks, mendarab unsur pepenjuru matriks dan menambahnya, dan menolak hasil tambah pepenjuru yang bertentangan. Kurangkan yang ungu daripada pepenjuru oren.

Peraturan segi tiga adalah sama, cuma gambar sahaja yang berbeza.

Teorem Laplace lihat Penguraian Baris/Lajur

Berapakah kos untuk menulis kertas kerja anda?

Pilih jenis pekerjaan Tesis(sarjana/pakar) Sebahagian daripada tesis Diploma Sarjana Kerja Kursus dengan amalan Teori kursus Karangan Abstrak Ujian Objektif Kerja pensijilan (VAR/VKR) Rancangan perniagaan Soalan untuk peperiksaan diploma MBA Tesis (kolej/sekolah teknikal) Kes Lain Kerja makmal, RGR Bantuan dalam talian Laporan amalan Cari maklumat persembahan PowerPoint Abstrak untuk sekolah siswazah Bahan iringan untuk diploma Artikel Lukisan Ujian lagi »

Terima kasih, e-mel telah dihantar kepada anda. Semak e-mel anda.

Adakah anda mahukan kod promosi untuk diskaun 15%?

Terima SMS
dengan kod promosi

Berjaya!

?Berikan kod promosi semasa perbualan dengan pengurus.
Kod promosi boleh digunakan sekali pada pesanan pertama anda.
Jenis kod promosi - " tesis".

CAWANGAN KOSTROMA UNIVERSITI TENTERA PERLINDUNGAN RCB

Jabatan Automasi Kawalan Pasukan

Untuk guru sahaja

"Saya setuju"

Ketua Jabatan No. 9

Kolonel YAKOVLEV A.B.

"____"________________ 2004

Profesor Madya A.I

"KELAYAKAN.

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR"

KULIAH Bil 2/1

Dibincangkan dalam mesyuarat jabatan Bil

"____"___________ 2004

No. Protokol___________

Kostroma, 2004.

pengenalan

Penentu susunan kedua dan ketiga.

Sifat penentu.

Teorem penguraian.

Teorem Cramer.

Kesimpulan

kesusasteraan V.E. Schneider et al.

Kursus pendek

Matematik Tinggi, Jilid I, Bab.

2, perenggan 1.

V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, bab 10, perenggan 2. PENGENALAN

Kuliah membincangkan penentu bagi susunan kedua dan ketiga serta sifat-sifatnya. Dan juga teorem Cramer, yang membolehkan anda menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan penentu. Penentu juga digunakan kemudian dalam topik “Algebra Vektor” apabila mengira hasil darab vektor bagi vektor.

soalan kajian pertama

PENENTU KEDUA DAN KETIGA

PESANAN Pertimbangkan jadual empat nombor borang Nombor dalam jadual ditunjukkan dengan huruf dengan dua indeks. Indeks pertama menunjukkan nombor baris, kedua nombor lajur.

(1)

DEFINISI 1.

Penentu urutan kedua

dipanggil ungkapan seperti:

Nombor a11, ..., a22 dipanggil unsur penentu.

Diagonal dibentuk oleh unsur a11; a22 dipanggil yang utama, dan pepenjuru dibentuk oleh unsur-unsur a12; a21 - sebelah.

Oleh itu, penentu tertib kedua adalah sama dengan perbezaan antara hasil darab unsur pepenjuru utama dan sekunder.

Perhatikan bahawa jawapannya ialah nombor.CONTOH. Kira:

Sekarang pertimbangkan jadual sembilan nombor, ditulis dalam tiga baris dan tiga lajur:

DEFINISI 2.

Penentu urutan ketiga

" + " " – "

Tambahnya termasuk: hasil darab unsur pada pepenjuru utama, baki dua sebutan ialah hasil darab unsur yang terletak di bucu segi tiga dengan tapak selari dengan pepenjuru utama.

Sebutan tolak dibentuk mengikut skema yang sama berkenaan dengan pepenjuru sekunder.

Peraturan ini untuk mengira penentu tertib ketiga dipanggil

Peraturan T reugolnikov.

CONTOH.

Kira menggunakan peraturan segitiga:

KOMEN. Penentu juga dipanggil penentu. soalan kajian ke-2

SIFAT-SIFAT PENENTU.

TEOREM PENGEMBANGAN

.

Sifat 1. Nilai penentu tidak berubah jika barisnya ditukar dengan lajur yang sepadan.

Dengan mendedahkan kedua-dua penentu, kami yakin dengan kesahihan kesaksamaan.

Sifat 1 menetapkan kesamaan baris dan lajur penentu. Oleh itu, kami akan merumuskan semua sifat penentu selanjutnya untuk kedua-dua baris dan lajur.

.

Sifat 2. Apabila dua baris (atau lajur) disusun semula, penentu menukar tandanya kepada yang bertentangan, mengekalkan nilai mutlaknya.

.

Sifat 3. Faktor sepunya unsur-unsur baris (atau lajur) boleh diambil di luar tanda penentu.

Sifat 4. Jika penentu mempunyai dua baris (atau lajur) yang sama, maka ia sama dengan sifar.

Harta ini boleh dibuktikan melalui pengesahan terus, atau anda boleh menggunakan harta 2.

Mari kita nyatakan penentu oleh D. Apabila dua baris pertama dan kedua yang serupa disusun semula, ia tidak akan berubah, tetapi mengikut sifat kedua ia mesti menukar tanda, i.e.

D = - D Yu 2 D = 0 Yu D = 0.

Sifat 5. Jika semua elemen baris (atau lajur) adalah sama dengan sifar, maka penentunya adalah sama dengan sifar.

Harta ini boleh dianggap sebagai kes khas harta 3 apabila

.

Sifat 6. Jika unsur-unsur dua baris (atau lajur) penentu adalah berkadar, maka penentu adalah sama dengan sifar.

Boleh dibuktikan dengan pengesahan terus atau menggunakan sifat 3 dan 4.

.

Sifat 7. Nilai penentu tidak akan berubah jika unsur-unsur yang sepadan bagi baris (atau lajur) lain, didarab dengan nombor yang sama, ditambah pada unsur-unsur mana-mana baris (atau lajur).

Dibuktikan dengan pengesahan terus.

Penggunaan sifat-sifat ini dalam beberapa kes dapat memudahkan proses pengiraan penentu, terutamanya bagi urutan ketiga.

Untuk apa yang berikut, kita memerlukan konsep pelengkap minor dan algebra. Mari kita pertimbangkan konsep ini untuk menentukan urutan ketiga.kecil bagi elemen tertentu penentu tertib ketiga dipanggil penentu tertib kedua yang diperoleh daripada elemen tertentu dengan memotong baris dan lajur di persimpangan di mana elemen yang diberi berdiri.

Unsur kecil ai j dilambangkan dengan Mi j. Jadi untuk elemen a11 minor

Ia diperoleh dengan memotong baris pertama dan lajur pertama dalam penentu urutan ketiga.

DEFINISI 4.Pelengkap algebra bagi unsur penentu mereka memanggilnya kecil didarab dengan (-1)k, dengan k ialah hasil tambah nombor baris dan lajur di persimpangan di mana unsur ini berdiri.

Pelengkap algebra bagi unsur ai j dilambangkan dengan Ai j.

Oleh itu, Аi j = .

Mari kita tuliskan penambahan algebra bagi unsur a11 dan a12.

.

Adalah berguna untuk mengingati peraturan: pelengkap algebra bagi unsur penentu adalah sama dengan kecilnya dengan tanda tambah jika jumlah nombor baris dan lajur di mana unsur itu terletak adalah genap, dan dengan tolak. tandakan jika jumlah ini ganjil.

CONTOH. Cari minor dan pelengkap algebra untuk unsur baris pertama penentu:

Adalah jelas bahawa pelengkap minor dan algebra boleh berbeza hanya dalam tanda.

Mari kita pertimbangkan tanpa bukti satu teorem penting - teorem penguraian penentu.

TEOREM PENGEMBANGAN

Penentu adalah sama dengan hasil tambah bagi unsur-unsur mana-mana baris atau lajur dan pelengkap algebranya.

Dengan menggunakan teorem ini, kita menulis pengembangan penentu tertib ketiga dalam baris pertama.

.

Dalam bentuk yang diperluaskan:

.

Formula terakhir boleh digunakan sebagai yang utama apabila mengira penentu tertib ketiga.

Teorem pengembangan membolehkan kita mengurangkan pengiraan penentu tertib ketiga kepada pengiraan tiga penentu tertib kedua.

Teorem penguraian menyediakan cara kedua untuk mengira penentu tertib ketiga.

CONTOH.

Kirakan penentu menggunakan teorem pengembangan.

menggunakan pengembangan di sepanjang baris kedua.

Teorem pengembangan juga membolehkan seseorang mengira penentu tertib lebih tinggi, mengurangkannya kepada pengiraan beberapa penentu tertib ketiga atau kedua.

Oleh itu, penentu tertib keempat boleh dikurangkan kepada pengiraan empat penentu tertib ketiga. soalan kajian ke-3

TEOREM CRAMER

Mari kita gunakan teori penentu yang dipertimbangkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

(3)

Sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui.

Di sini x1, x2 tidak diketahui;

a11, ..., a22 – pekali untuk yang tidak diketahui, bernombor dengan dua indeks, di mana indeks pertama bermaksud nombor persamaan, dan indeks kedua bermaksud nombor yang tidak diketahui.

Mari kita ingat bahawa penyelesaian kepada sistem (3) difahami sebagai sepasang nilai x1, x2, yang, apabila digantikan ke dalam kedua-dua persamaan, mengubahnya menjadi kesamaan sebenar.

Dalam kes di mana sistem mempunyai penyelesaian yang unik, penyelesaian ini boleh didapati menggunakan penentu tertib kedua.

DEFINISI 5. Penentu yang terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui dipanggil penentu sistem.

Mari kita nyatakan penentu sistem dengan D.

Lajur penentu D masing-masing mengandungi pekali untuk x1 dan untuk x2.

Mari kita perkenalkan dua penentu tambahan, yang diperoleh daripada penentu sistem dengan menggantikan salah satu lajur dengan lajur istilah bebas:

Mari kita pertimbangkan teorem berikut tanpa bukti:

TEOREM CRAMER(untuk kes n = 2)

Jika penentu D sistem (3) berbeza daripada sifar (D No. 0), maka sistem mempunyai penyelesaian unik, yang ditemui mengikut formula:

(4)

Formula (4) dipanggil formula Cramer.

CONTOH. Selesaikan sistem menggunakan peraturan Cramer.

Jawapan: x1 = 3; x2 = -1

2. Sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui:

(5)

Dalam kes penyelesaian yang unik, sistem (5) boleh diselesaikan menggunakan penentu tertib ketiga.

Penentu sistem D mempunyai bentuk:

Mari kita perkenalkan tiga penentu tambahan:

Teorem dirumuskan dengan cara yang sama.

TEOREM CRAMER (untuk kes n = 3)

Jika penentu D sistem (5) berbeza daripada sifar, maka sistem mempunyai penyelesaian unik, yang ditemui mengikut formula:

Formula (6) ialah formula Cramer.

KOMEN. G. Cramer (1704 – 1752) – ahli matematik Switzerland.

Ambil perhatian bahawa teorem Cramer boleh digunakan apabila bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui dan apabila penentu sistem D adalah bukan sifar.

Jika penentu sistem adalah sama dengan sifar, maka dalam kes ini sistem boleh sama ada tidak mempunyai penyelesaian atau mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Kes-kes ini dikaji secara berasingan dan boleh didapati secara terperinci dalam literatur yang disyorkan.

Mari kita perhatikan hanya satu kes:

Jika penentu sistem adalah sama dengan sifar (D = 0), dan sekurang-kurangnya satu daripada penentu tambahan berbeza daripada sifar, maka sistem tidak mempunyai penyelesaian (iaitu, ia tidak konsisten).

Teorem Cramer boleh digeneralisasikan kepada sistem n persamaan linear dengan n yang tidak diketahui.

Jika , maka satu-satunya penyelesaian kepada sistem didapati mengikut

Formula Cramer:

Kelayakan tambahan diperoleh daripada penentu D jika ia mengandungi lajur pekali untuk yang tidak diketahui

xi digantikan dengan lajur ahli percuma.

Perhatikan bahawa penentu D, D1, …, Dn adalah tertib n.

KESIMPULAN

Kuliah itu mengkaji konsep baharu - penentu, dan membincangkan secara terperinci penentu peringkat kedua dan ketiga, yang sering ditemui dalam amalan. Untuk penentu tertib ketiga, dua kaedah pengiraan diberikan. Teorem Cramer dipertimbangkan, yang menyediakan cara praktikal untuk menyelesaikan sistem persamaan linear untuk kes apabila penyelesaiannya unik. Anda boleh mengetahui lebih lanjut tentang topik ini dalam literatur yang disyorkan.

Abstrak yang serupa:

Peraturan untuk hasil darab matriks dan vektor, mencari songsangan matriks dan penentunya. Transformasi matriks asas: pendaraban dengan nombor, penambahan, penyusunan semula dan pemadaman baris, transposisi. Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gauss.

Abstrak ini mengkaji penentu tertib kedua dan ketiga dan menyediakan contoh penyelesaian sistem persamaan menggunakan kaedah penentu.

Penentuan pelengkap algebra bagi unsur penentu, matriks, saiz dan jenisnya. Sistem persamaan algebra linear tidak homogen. Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Cramer. Kuantiti skalar dan vektor, contoh mereka, penguraian vektor.