Bagaimana untuk menaikkan nombor kepada kuasa sifar. Meningkatkan kuasa sifar - sifar dalam bahasa yang berbeza

Tahap kemasukan

Ijazah dan sifatnya. Panduan yang komprehensif (2019)

Mengapa ijazah diperlukan? Di manakah anda memerlukannya? Mengapa anda perlu meluangkan masa untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari segala-galanya tentang ijazah, kegunaannya, cara menggunakan pengetahuan anda kehidupan seharian baca artikel ini.

Dan, sudah tentu, pengetahuan tentang ijazah akan membawa anda lebih dekat berjaya disiapkan OGE atau Peperiksaan Negeri Bersepadu dan kemasukan ke universiti idaman anda.

Jom... (Jom!)

Nota penting! Jika anda melihat gobbledygook dan bukannya formula, kosongkan cache anda. Untuk melakukan ini, tekan CTRL+F5 (pada Windows) atau Cmd+R (pada Mac).

PERINGKAT PENYERTAAN

Meningkatkan kuasa adalah sama operasi matematik seperti penambahan, penolakan, pendaraban atau pembahagian.

Sekarang saya akan menerangkan semuanya bahasa manusia sangat contoh mudah. Berhati-hati. Contohnya adalah asas, tetapi menerangkan perkara penting.

Mari kita mulakan dengan penambahan.

Tiada apa yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segala-galanya: terdapat lapan daripada kami. Setiap orang mempunyai dua botol cola. Berapa banyak cola yang ada? Betul - 16 botol.

Sekarang pendaraban.

Contoh yang sama dengan cola boleh ditulis secara berbeza: . Ahli matematik adalah orang yang licik dan pemalas. Mereka mula-mula melihat beberapa corak, dan kemudian memikirkan cara untuk "mengira" mereka dengan lebih cepat. Dalam kes kami, mereka menyedari bahawa setiap lapan orang mempunyai bilangan botol kola yang sama dan menghasilkan teknik yang dipanggil pendaraban. Setuju, ia dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.

Jadi, untuk mengira lebih cepat, lebih mudah dan tanpa ralat, anda hanya perlu ingat jadual darab. Sudah tentu, anda boleh melakukan segala-galanya dengan lebih perlahan, lebih sukar dan dengan kesilapan! Tetapi…

Berikut ialah jadual pendaraban. ulang.

Dan satu lagi, lebih cantik:

Apakah helah pengiraan yang bijak lain yang telah dibuat oleh ahli matematik yang malas? Betul - menaikkan nombor kepada kuasa.

Menaikkan nombor kepada kuasa

Jika anda perlu mendarab nombor dengan sendirinya lima kali, maka ahli matematik mengatakan bahawa anda perlu menaikkan nombor itu kepada kuasa kelima. Contohnya, . Ahli matematik ingat bahawa kuasa dua hingga kelima ialah... Dan mereka menyelesaikan masalah sedemikian di kepala mereka - lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesilapan.

Apa yang perlu anda lakukan ialah ingat apa yang diserlahkan dalam warna dalam jadual kuasa nombor. Percayalah, ini akan menjadikan hidup anda lebih mudah.

By the way, kenapa dipanggil ijazah kedua? segi empat sama nombor, dan yang ketiga - kiub? Apakah maksudnya? sangat soalan yang bagus. Sekarang anda akan mempunyai kedua-dua segi empat sama dan kiub.

Contoh kehidupan sebenar #1

Mari kita mulakan dengan kuasa dua atau kuasa kedua nombor itu.

Bayangkan kolam persegi berukuran satu meter dengan satu meter. Kolam renang berada di dacha anda. Panas dan saya sangat ingin berenang. Tetapi... kolam itu tidak mempunyai dasar! Anda perlu menutup bahagian bawah kolam dengan jubin. Berapa banyak jubin yang anda perlukan? Untuk menentukan ini, anda perlu mengetahui kawasan bawah kolam.

Anda hanya boleh mengira dengan menuding jari anda bahawa bahagian bawah kolam terdiri daripada kiub meter demi meter. Jika anda mempunyai jubin satu meter dengan satu meter, anda memerlukan kepingan. Mudah sahaja... Tetapi di manakah anda pernah melihat jubin sedemikian? Jubin itu kemungkinan besar akan menjadi cm demi cm Dan kemudian anda akan diseksa dengan "mengira dengan jari anda." Kemudian anda perlu membiak. Jadi, di satu sisi bahagian bawah kolam kita akan muat jubin (kepingan) dan di sisi lain juga, jubin. Darab dengan dan anda mendapat jubin ().

Adakah anda perasan bahawa untuk menentukan luas dasar kolam kita mendarabkan nombor yang sama dengan sendirinya? Apakah maksudnya? Oleh kerana kita mendarab nombor yang sama, kita boleh menggunakan teknik "pengembangan". (Sudah tentu, apabila anda hanya mempunyai dua nombor, anda masih perlu mendarabnya atau menaikkannya kepada kuasa. Tetapi jika anda mempunyai banyak nombor, maka menaikkannya kepada kuasa adalah lebih mudah dan terdapat juga lebih sedikit ralat dalam pengiraan . Untuk Peperiksaan Negeri Bersatu, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh kepada kuasa kedua akan menjadi (). Atau kita boleh mengatakan bahawa tiga puluh kuasa dua akan menjadi. Dalam erti kata lain, kuasa kedua nombor sentiasa boleh diwakili sebagai segi empat sama. Dan sebaliknya, jika anda melihat segi empat sama, ia SENTIASA kuasa kedua bagi beberapa nombor. Segi empat sama ialah imej kuasa kedua bagi suatu nombor.

Contoh kehidupan sebenar #2

Berikut ialah tugas untuk anda: kira berapa banyak petak yang terdapat pada papan catur menggunakan petak nombor itu... Pada satu sisi sel dan pada sebelah yang lain juga. Untuk mengira bilangan mereka, anda perlu mendarab lapan dengan lapan atau... jika anda perasan bahawa papan catur ialah segi empat sama dengan sisi, maka anda boleh kuasa dua lapan. Anda akan mendapat sel. () Jadi?

Contoh kehidupan sebenar #3

Kini kubus atau kuasa ketiga nombor. Kolam yang sama. Tetapi sekarang anda perlu mengetahui berapa banyak air yang perlu dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu mengira isipadu. (Jumlah dan cecair, dengan cara ini, diukur dalam meter padu. Tidak dijangka, bukan?) Lukis kolam: bahagian bawah adalah bersaiz meter dan dalam satu meter, dan cuba kira berapa banyak kiub berukuran satu meter dengan satu meter akan muat ke dalam kolam anda.

Tuding jari anda dan kira! Satu, dua, tiga, empat...dua puluh dua, dua puluh tiga...Berapa yang awak dapat? Tidak hilang? Adakah sukar untuk mengira dengan jari anda? Itu sahaja! Ambil contoh daripada ahli matematik. Mereka malas, jadi mereka perasan bahawa untuk mengira isipadu kolam, anda perlu mendarabkan panjang, lebar dan ketinggiannya dengan satu sama lain. Dalam kes kami, isipadu kolam akan sama dengan kiub... Lebih mudah, bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan licik ahli matematik jika mereka memudahkan perkara ini juga. Kami mengurangkan segala-galanya kepada satu tindakan. Mereka perasan bahawa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan nombor yang sama didarab dengan sendirinya... Apakah maksudnya? Ini bermakna anda boleh memanfaatkan ijazah tersebut. Jadi, apa yang pernah anda hitung dengan jari anda, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga kiub adalah sama. Tertulis begini: .

Yang tinggal hanyalah ingat jadual darjah. Kecuali, sudah tentu, anda malas dan licik seperti ahli matematik. Jika anda suka bekerja keras dan melakukan kesilapan, anda boleh terus mengira dengan jari anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan anda bahawa ijazah telah dicipta oleh orang yang berhenti dan orang yang licik untuk menyelesaikannya masalah hidup, dan bukan untuk menimbulkan masalah untuk anda, berikut adalah beberapa lagi contoh kehidupan.

Contoh kehidupan sebenar #4

Anda mempunyai satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, untuk setiap juta yang anda hasilkan, anda membuat satu juta lagi. Iaitu, setiap juta anda mempunyai dua kali ganda pada awal setiap tahun. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam beberapa tahun? Jika anda duduk sekarang dan "mengira dengan jari anda," maka anda seorang yang sangat rajin dan... bodoh. Tetapi kemungkinan besar anda akan memberikan jawapan dalam beberapa saat, kerana anda bijak! Jadi, pada tahun pertama - dua didarab dengan dua ... pada tahun kedua - apa yang berlaku, dengan dua lagi, pada tahun ketiga ... Berhenti! Anda perasan bahawa nombor itu didarab dengan sendirinya kali. Jadi dua hingga kuasa kelima adalah sejuta! Sekarang bayangkan anda mempunyai pertandingan dan orang yang boleh mengira terpantas akan mendapat berjuta-juta ini... Perlu diingati kuasa nombor, bukankah anda fikir?

Contoh kehidupan sebenar #5

Anda mempunyai satu juta. Pada awal setiap tahun, anda memperoleh dua lagi untuk setiap juta. Hebat bukan? Setiap juta adalah tiga kali ganda. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam setahun? Jom kira. Tahun pertama - darab dengan, kemudian hasilnya dengan yang lain... Ia sudah membosankan, kerana anda sudah memahami segala-galanya: tiga didarab dengan sendirinya kali. Jadi kepada kuasa keempat ia adalah sama dengan satu juta. Anda hanya perlu ingat bahawa kuasa tiga hingga keempat ialah atau.

Sekarang anda tahu bahawa dengan menaikkan nombor kepada kuasa anda akan menjadikan hidup anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih lanjut tentang perkara yang boleh anda lakukan dengan ijazah dan perkara yang anda perlu tahu tentangnya.

Terma dan konsep... supaya tidak keliru

Jadi, pertama, mari kita tentukan konsep. Adakah anda fikir apa itu eksponen? Ia sangat mudah - ia adalah nombor yang "di bahagian atas" kuasa nombor itu. Tidak saintifik, tetapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada masa yang sama, apa asas ijazah sedemikian? Lebih mudah - ini adalah nombor yang terletak di bawah, di pangkalan.

Berikut adalah lukisan untuk ukuran yang baik.

Baik masuk pandangan umum, untuk membuat generalisasi dan mengingati dengan lebih baik... Ijazah dengan asas “ ” dan eksponen “ ” dibaca sebagai “kepada darjah” dan ditulis seperti berikut:

Kuasa nombor dengan eksponen asli

Anda mungkin sudah meneka: kerana eksponennya ialah nombor asli. Ya, tetapi apa itu nombor asli? peringkat rendah! Nombor asli ialah nombor yang digunakan dalam mengira apabila menyenaraikan objek: satu, dua, tiga... Apabila kita mengira objek, kita tidak berkata: "tolak lima," "tolak enam," "tolak tujuh." Kami juga tidak mengatakan: "satu pertiga", atau "sifar koma lima". Ini bukan nombor semula jadi. Apakah nombor yang anda fikir ini?

Nombor seperti "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh" merujuk kepada nombor bulat. Secara umum, integer merangkumi semua nombor asli, nombor bertentangan dengan nombor asli (iaitu, diambil dengan tanda tolak), dan nombor. Sifar mudah difahami - ia adalah apabila tiada apa-apa. Apakah maksud nombor negatif (“tolak”)? Tetapi mereka dicipta terutamanya untuk menunjukkan hutang: jika anda mempunyai baki pada telefon anda dalam rubel, ini bermakna anda berhutang dengan rubel pengendali.

Semua pecahan ialah nombor rasional. Bagaimana mereka timbul, adakah anda fikir? Sangat mudah. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita mendapati bahawa mereka kekurangan nombor semula jadi untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan nombor rasional... Menarik, bukan?

Ada lagi nombor tidak rasional. Apakah nombor ini? Pendek kata, tidak berkesudahan perpuluhan. Sebagai contoh, jika anda membahagikan lilitan bulatan dengan diameternya, anda mendapat nombor tidak rasional.

Sambung semula:

Mari kita takrifkan konsep darjah yang eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).

1. Sebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan dirinya sendiri:
2. Untuk kuasa dua nombor bermakna mendarabnya dengan sendiri:
3. Menduakan nombor bermakna mendarabnya dengan sendirinya tiga kali:

Definisi. Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:
.

Sifat darjah

Dari mana datangnya hartanah ini? Saya akan tunjukkan sekarang.

Mari lihat: apa itu Dan ?

Mengikut definisi:

Berapakah jumlah pengganda yang ada?

Ia sangat mudah: kami menambah pengganda kepada faktor, dan hasilnya adalah pengganda.

Tetapi mengikut takrifan, ini ialah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu: , yang perlu dibuktikan.

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian:

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian: Adalah penting untuk diperhatikan bahawa dalam peraturan kami Semestinya mesti ada sebab yang sama!
Oleh itu, kami menggabungkan kuasa dengan asas, tetapi ia kekal sebagai faktor yang berasingan:

hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.

2. itu sahaja kuasa ke satu nombor

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya kali, iaitu, mengikut takrifan, ini adalah kuasa nombor ke-:

Pada dasarnya, ini boleh dipanggil "mengeluarkan penunjuk daripada kurungan." Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan:

Mari kita ingat formula pendaraban yang disingkatkan: berapa kali kita mahu menulis?

Tetapi ini tidak benar, selepas semua.

Kuasa dengan asas negatif

Setakat ini, kami hanya membincangkan apa yang sepatutnya menjadi eksponen.

Tetapi apa yang harus dijadikan asas?

Dalam kuasa penunjuk semula jadi asasnya mungkin sebarang nombor. Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada positif, negatif, atau genap.

Mari kita fikirkan tentang tanda ("" atau "") yang akan mempunyai kuasa nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Kami masih ingat peraturan mudah dari gred 6: "tolak untuk tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita mendarab dengan, ia berfungsi.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Adakah anda berjaya?

Berikut adalah jawapannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen dan menggunakan peraturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5) segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: selepas semua, tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud hasilnya akan sentiasa positif.

Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah!

6 contoh untuk diamalkan

Analisis penyelesaian 6 contoh

Jika kita mengabaikan kuasa kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom ingat program darjah 7. Jadi, awak ingat? Inilah rumus pendaraban yang disingkatkan iaitu perbezaan segi empat sama! Kami mendapat:

Mari kita lihat dengan teliti penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Susunan syarat adalah salah. Jika ia diterbalikkan, peraturan itu boleh digunakan.

Tetapi bagaimana untuk melakukan ini? Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Secara ajaibnya istilah bertukar tempat. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan dengan mudah.

Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada masa yang sama!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

keseluruhan kita memanggil nombor asli, bertentangan mereka (iaitu, diambil dengan tanda " ") dan nombor.

keseluruhan nombor positif , dan ia tidak berbeza dengan semula jadi, maka semuanya kelihatan sama seperti dalam bahagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kes baru. Mari kita mulakan dengan penunjuk sama dengan.

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu:

Seperti biasa, marilah kita bertanya pada diri sendiri: kenapa jadi begini?

Mari kita pertimbangkan beberapa darjah dengan asas. Ambil, sebagai contoh, dan darab dengan:

Jadi, kami mendarabkan nombor itu dengan, dan kami mendapat perkara yang sama seperti - . Apakah nombor yang perlu anda darabkan supaya tiada perubahan? Betul, pada. Bermakna.

Kita boleh melakukan perkara yang sama dengan nombor sewenang-wenangnya:

Mari kita ulangi peraturan:

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu.

Tetapi terdapat pengecualian kepada banyak peraturan. Dan di sini ia juga ada - ini adalah nombor (sebagai asas).

Di satu pihak, ia mesti sama dengan mana-mana darjah - tidak kira berapa banyak anda mendarab sifar dengan sendirinya, anda masih akan mendapat sifar, ini jelas. Tetapi sebaliknya, seperti mana-mana nombor kepada kuasa sifar, ia mestilah sama. Jadi berapa banyak perkara ini benar? Ahli matematik memutuskan untuk tidak terlibat dan enggan menaikkan sifar kepada darjah sifar. Iaitu, sekarang kita tidak boleh hanya membahagi dengan sifar, tetapi juga menaikkannya kepada kuasa sifar.

Jom teruskan. Selain nombor asli dan nombor, integer juga termasuk nombor negatif. Untuk memahami apa itu kuasa negatif, mari kita lakukan seperti kali terakhir: darab beberapa nombor biasa dengan nombor yang sama kepada kuasa negatif:

Dari sini adalah mudah untuk menyatakan perkara yang anda cari:

Sekarang mari kita lanjutkan peraturan yang terhasil ke tahap sewenang-wenangnya:

Jadi, mari kita rumuskan peraturan:

Nombor dengan kuasa negatif ialah kebalikan nombor yang sama dengan kuasa positif. Tetapi pada masa yang sama Pangkalan tidak boleh nol:(kerana anda tidak boleh membahagikannya).

Mari kita ringkaskan:

I. Ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.

II. Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu: .

III. Nombor yang tidak sama dengan sifar kepada kuasa negatif ialah songsangan bagi nombor yang sama kepada kuasa positif: .

Tugas untuk penyelesaian bebas:

Nah, seperti biasa, contoh untuk penyelesaian bebas:

Analisis masalah untuk penyelesaian bebas:

Saya tahu, saya tahu, nombornya menakutkan, tetapi pada Peperiksaan Negeri Bersepadu anda perlu bersedia untuk apa sahaja! Selesaikan contoh ini atau analisis penyelesaiannya jika anda tidak dapat menyelesaikannya dan anda akan belajar untuk mengatasinya dengan mudah dalam peperiksaan!

Mari kita terus mengembangkan julat nombor "sesuai" sebagai eksponen.

Sekarang mari kita pertimbangkan nombor rasional. Apakah nombor yang dipanggil rasional?

Jawapan: semua yang boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer, dan.

Untuk memahami apa itu "ijazah pecahan", pertimbangkan pecahan:

Mari kita tingkatkan kedua-dua belah persamaan kepada kuasa:

Sekarang mari kita ingat peraturan tentang "ijazah ke ijazah":

Apakah nombor yang mesti dinaikkan kepada kuasa untuk mendapatkan?

Rumusan ini ialah takrifan punca darjah ke.

Biar saya ingatkan anda: punca kuasa ke satu nombor () ialah nombor yang, apabila dinaikkan kepada kuasa, adalah sama dengan.

Maksudnya, punca kuasa ke adalah operasi songsang untuk menaikkan kepada kuasa: .

Ternyata begitu. Jelas sekali, kes istimewa ini boleh diperluaskan: .

Sekarang kita tambah pengangka: apakah itu? Jawapannya mudah diperoleh menggunakan peraturan kuasa-ke-kuasa:

Tetapi bolehkah asasnya menjadi sebarang nombor? Lagipun, akar tidak boleh diekstrak dari semua nombor.

tiada!

Mari kita ingat peraturan: sebarang nombor yang dinaikkan kepada kuasa genap ialah nombor positif. Iaitu, mustahil untuk mengekstrak walaupun akar daripada nombor negatif!

Ini bermakna bahawa nombor sedemikian tidak boleh dinaikkan kepada kuasa pecahan dengan penyebut genap, iaitu, ungkapan itu tidak masuk akal.

Bagaimana dengan ungkapan?

Tetapi di sini masalah timbul.

Nombor boleh diwakili sebagai pecahan lain yang boleh dikurangkan, sebagai contoh, atau.

Dan ternyata ia wujud, tetapi tidak wujud, tetapi ini hanyalah dua rekod berbeza dengan nombor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, kemudian anda boleh menulisnya. Tetapi jika kita menulis penunjuk secara berbeza, kita akan menghadapi masalah lagi: (iaitu, kita mendapat keputusan yang sama sekali berbeza!).

Untuk mengelakkan paradoks sedemikian, kami pertimbangkan hanya eksponen asas positif dengan eksponen pecahan.

Jadi jika:

• - nombor asli;
• - integer;

Contoh:

Eksponen rasional sangat berguna untuk mengubah ungkapan dengan akar, contohnya:

5 contoh untuk diamalkan

Analisis 5 contoh untuk latihan

Nah, sekarang datang bahagian yang paling sukar. Sekarang kita akan memikirkannya darjah dengan eksponen tidak rasional.

Semua peraturan dan sifat darjah di sini adalah sama seperti ijazah dengan eksponen rasional, kecuali

Lagipun, mengikut takrifan, nombor tak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu, nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan eksponen semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami mencipta "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa.

Sebagai contoh, ijazah dengan eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendirinya beberapa kali;

...nombor kepada kuasa sifar- ini, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, mereka belum mula mendarabnya, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul - oleh itu hasilnya hanya "nombor kosong" tertentu , iaitu nombor;

...darjah dengan integer penunjuk negatif - seolah-olah beberapa "proses terbalik" telah berlaku, iaitu, bilangannya tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

Dengan cara ini, dalam sains ijazah dengan eksponen kompleks sering digunakan, iaitu, eksponen bukan nombor nyata.

Tetapi di sekolah kami tidak memikirkan tentang kesukaran sedemikian; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

DI MANA KAMI PASTI ANDA AKAN PERGI! (jika anda belajar menyelesaikan contoh sedemikian :))

Contohnya:

Tentukan sendiri:

Analisis penyelesaian:

1. Mari kita mulakan dengan peraturan biasa untuk menaikkan kuasa kepada kuasa:

Sekarang lihat penunjuk. Adakah dia tidak mengingatkan anda tentang apa-apa? Mari kita ingat formula untuk pendaraban singkatan bagi perbezaan kuasa dua:

Dalam kes ini,

Ternyata:

Jawapan: .

2. Kami mengurangkan pecahan dalam eksponen kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-dua perpuluhan biasa. Kami mendapat, sebagai contoh:

Jawapan: 16

3. Tiada apa-apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

TAHAP LANJUTAN

Penentuan ijazah

Ijazah ialah ungkapan bentuk: , di mana:

• — asas ijazah;
• - eksponen.

Darjah dengan penunjuk semula jadi (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi n bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:

Darjah dengan eksponen integer (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponen ialah integer positif nombor:

Pembinaan kepada darjah sifar:

Ungkapan itu tidak tentu, kerana, di satu pihak, pada tahap mana pun adalah ini, dan sebaliknya, sebarang nombor hingga darjah ke adalah ini.

Jika eksponen ialah integer negatif nombor:

(kerana anda tidak boleh membahagikannya).

Sekali lagi tentang sifar: ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.

Contoh:

Kuasa dengan eksponen rasional

• - nombor asli;
• - integer;

Contoh:

Sifat darjah

Untuk memudahkan menyelesaikan masalah, mari cuba fahami: dari manakah sifat ini berasal? Mari kita buktikan mereka.

Mari lihat: apakah dan?

Mengikut definisi:

Jadi, di sebelah kanan ungkapan ini kita mendapat produk berikut:

Tetapi mengikut definisi ia adalah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu:

Q.E.D.

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : .

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa dalam peraturan kami Semestinya mesti ada sebab yang sama. Oleh itu, kami menggabungkan kuasa dengan asas, tetapi ia kekal sebagai faktor yang berasingan:

Satu lagi nota penting: peraturan ini - hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Mari kita susun semula kerja ini seperti ini:

Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya kali, iaitu, mengikut takrifan, ini adalah kuasa nombor ke-:

Pada dasarnya, ini boleh dipanggil "mengeluarkan penunjuk daripada kurungan." Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan: !

Mari kita ingat formula pendaraban yang disingkatkan: berapa kali kita mahu menulis? Tetapi ini tidak benar, selepas semua.

Kuasa dengan asas negatif.

Setakat ini kita hanya membincangkan apa yang sepatutnya penunjuk ijazah. Tetapi apa yang harus dijadikan asas? Dalam kuasa semula jadi penunjuk asasnya mungkin sebarang nombor .

Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada positif, negatif, atau genap. Mari kita fikirkan tentang tanda ("" atau "") yang akan mempunyai kuasa nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Kami masih ingat peraturan mudah dari gred 6: "tolak untuk tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita darab dengan (), kita mendapat - .

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap pendaraban berikutnya tanda akan berubah. Kita boleh merumuskan perkara berikut peraturan mudah:

1. malah ijazah, - nombor positif.
2. Nombor negatif, terbina dalam ganjil ijazah, - nombor negatif.
3. Nombor positif ke mana-mana darjah ialah nombor positif.
4. Sifar kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan sifar.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Adakah anda berjaya? Berikut adalah jawapannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen dan menggunakan peraturan yang sesuai.

Dalam contoh 5) segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: selepas semua, tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud hasilnya akan sentiasa positif. Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah. Di sini anda perlu mengetahui yang mana kurang: atau? Jika kita ingat itu, ia menjadi jelas bahawa, dan oleh itu asas kurang daripada sifar. Iaitu, kami menggunakan peraturan 2: hasilnya akan negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi ijazah:

Semuanya seperti biasa - kami menulis definisi darjah dan membahagikannya dengan satu sama lain, membahagikannya kepada pasangan dan dapatkan:

Sebelum kita melihat peraturan terakhir, mari kita selesaikan beberapa contoh.

Kirakan ungkapan:

Penyelesaian :

Jika kita mengabaikan kuasa kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom ingat program darjah 7. Jadi, awak ingat? Inilah rumus pendaraban yang disingkatkan iaitu perbezaan segi empat sama!

Kami mendapat:

Mari kita lihat dengan teliti penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Susunan syarat adalah salah. Jika mereka diterbalikkan, peraturan 3 boleh digunakan. Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Jika didarabkan, tiada apa yang berubah, bukan? Tetapi sekarang ternyata seperti ini:

Secara ajaibnya istilah bertukar tempat. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan dengan mudah. Tetapi penting untuk diingat: Semua tanda berubah pada masa yang sama! Anda tidak boleh menggantikannya dengan menukar hanya satu kelemahan yang kami tidak suka!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

Jadi sekarang peraturan terakhir:

Bagaimana kita akan membuktikannya? Sudah tentu, seperti biasa: mari kita kembangkan konsep ijazah dan permudahkannya:

Nah, sekarang mari kita buka kurungan. Berapakah bilangan huruf kesemuanya? kali dengan pengganda - apakah perkara ini mengingatkan anda? Ini tidak lebih daripada definisi operasi pendaraban: Terdapat hanya pengganda di sana. Iaitu, ini, mengikut takrifan, ialah kuasa nombor dengan eksponen:

Contoh:

Darjah dengan eksponen tidak rasional

Sebagai tambahan kepada maklumat tentang darjah untuk tahap purata, kami akan menganalisis darjah dengan eksponen yang tidak rasional. Semua peraturan dan sifat darjah di sini betul-betul sama seperti untuk ijazah dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagipun, mengikut takrifan, nombor tidak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu , nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan eksponen semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami mencipta "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa. Sebagai contoh, ijazah dengan eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendirinya beberapa kali; nombor kepada kuasa sifar adalah, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, mereka belum mula mendarabnya, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul lagi - oleh itu hasilnya hanya tertentu. "nombor kosong", iaitu nombor; darjah dengan eksponen negatif integer - seolah-olah beberapa "proses terbalik" telah berlaku, iaitu, nombor itu tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

Amat sukar untuk membayangkan ijazah dengan eksponen yang tidak rasional (sama seperti sukar untuk membayangkan ruang 4 dimensi). Ia adalah objek matematik semata-mata yang dicipta oleh ahli matematik untuk memperluaskan konsep darjah ke seluruh ruang nombor.

Dengan cara ini, dalam sains ijazah dengan eksponen kompleks sering digunakan, iaitu, eksponen bukan nombor nyata. Tetapi di sekolah kami tidak memikirkan tentang kesukaran sedemikian; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen yang tidak rasional? Kami cuba yang terbaik untuk menyingkirkannya!

Contohnya:

Tentukan sendiri:

1)

2)

3)

Jawapan:

1. Mari kita ingat perbezaan formula kuasa dua. Jawapan: .
2. Kami mengurangkan pecahan kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-dua pecahan biasa. Kita dapat, contohnya: .
3. Tiada apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

RINGKASAN BAHAGIAN DAN FORMULA ASAS

Ijazah dipanggil ungkapan bentuk: , di mana:

Darjah dengan eksponen integer

darjah yang eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).

Kuasa dengan eksponen rasional

darjah, eksponennya ialah nombor negatif dan pecahan.

Darjah dengan eksponen tidak rasional

darjah yang eksponennya ialah pecahan perpuluhan tak terhingga atau punca.

Sifat darjah

Ciri-ciri darjah.

• Nombor negatif dinaikkan kepada malah ijazah, - nombor positif.
• Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
• Nombor positif ke mana-mana darjah ialah nombor positif.
• Sifar adalah sama dengan mana-mana kuasa.
• Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama.

SEKARANG ANDA MEMILIKI PERKATAAN...

Bagaimana anda suka artikel itu? Tulis di bawah dalam komen sama ada anda suka atau tidak.

Beritahu kami tentang pengalaman anda menggunakan hartanah ijazah.

Mungkin anda mempunyai soalan. Atau cadangan.

Tulis dalam komen.

Dan semoga berjaya dalam peperiksaan anda!

Terdapat peraturan bahawa sebarang nombor selain sifar yang dinaikkan kepada kuasa sifar akan sama dengan satu:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Namun, kenapa jadi begini?

Apabila suatu nombor dinaikkan kepada kuasa dengan eksponen semula jadi, ini bermakna ia didarab dengan dirinya sendiri sebanyak bilangan eksponen:
43 = 4...

0 0

Dalam algebra, menaikkan kepada kuasa sifar adalah perkara biasa. Apakah darjah 0? Nombor yang manakah boleh dinaikkan kepada kuasa sifar dan yang tidak boleh?

Definisi.

Sebarang nombor kepada kuasa sifar, kecuali sifar, adalah sama dengan satu:

Oleh itu, tidak kira berapa nombor yang dinaikkan kepada kuasa 0, hasilnya akan sentiasa sama - satu.

Dan 1 kepada kuasa 0, dan 2 kepada kuasa 0, dan sebarang nombor lain - integer, pecahan, positif, negatif, rasional, tidak rasional - apabila dinaikkan kepada kuasa sifar memberikan satu.

Satu-satunya pengecualian ialah sifar.

Kuasa sifar hingga sifar tidak ditakrifkan, ungkapan sedemikian tidak mempunyai makna.

Iaitu, sebarang nombor kecuali sifar boleh dinaikkan kepada kuasa sifar.

Jika, apabila memudahkan ungkapan dengan kuasa, anda mendapat nombor kepada kuasa sifar, anda boleh menggantikannya dengan satu:

Jika...

0 0

Sebagai sebahagian daripada kurikulum sekolah, nilai ungkapan $%0^0$% dianggap sebagai tidak ditentukan.

Dari sudut pandangan matematik moden, adalah mudah untuk mengandaikan bahawa $%0^0=1$%. Idea di sini adalah seperti berikut. Biarkan terdapat hasil darab nombor $%n$% dalam bentuk $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Untuk semua $%n\ge2$% kesaksamaan $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% dipegang. Adalah mudah untuk menganggap kesamaan ini bermakna juga untuk $%n=1$%, dengan mengandaikan $%p_0=1$%. Logiknya di sini ialah: apabila mengira produk, kita mula-mula mengambil 1, dan kemudian darab secara berurutan dengan $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Ini ialah algoritma yang digunakan untuk mencari produk apabila program ditulis. Jika atas sebab tertentu pendaraban tidak berlaku, maka hasil darab tetap sama dengan satu.

Dalam erti kata lain, adalah mudah untuk mempertimbangkan konsep seperti "produk 0 faktor" untuk mempunyai makna, menganggapnya sama dengan 1 mengikut definisi Dalam kes ini, kita juga boleh bercakap tentang "produk kosong". Jika kita mendarabkan nombor dengan ini...

0 0

Sifar - ia adalah sifar. Secara kasarnya, sebarang kuasa nombor ialah hasil darab satu dan eksponen digandakan nombor ini. Dua dalam yang ketiga, katakan, ialah 1*2*2*2, dua dalam tolak yang pertama ialah 1/2. Dan kemudian adalah perlu bahawa tidak ada lubang dalam peralihan dari tahap positif ke negatif dan sebaliknya.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

itulah intinya.

ringkas dan jelas, terima kasih

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

Sebagai contoh, anda hanya perlu memastikan bahawa formula tertentu yang sah untuk eksponen positif - contohnya x^n*x^m=x^(m+n) - masih sah.
Ngomong-ngomong, perkara yang sama berlaku untuk definisi darjah negatif dan juga rasional (iaitu, sebagai contoh, 5 kepada kuasa 3/4)

> dan mengapa ini perlu?
Sebagai contoh, dalam statistik dan teori mereka sering bermain dengan sifar darjah.

Adakah darjah negatif mengganggu anda?
...

0 0

Kami terus mempertimbangkan sifat darjah, ambil contoh 16:8 = 2. Oleh kerana 16=24 dan 8=23, oleh itu, pembahagian boleh ditulis dalam bentuk eksponen sebagai 24:23=2, tetapi jika kita menolak eksponen, maka 24:23=21. Oleh itu, kita harus mengakui bahawa 2 dan 21 adalah perkara yang sama, oleh itu 21 = 2.

Peraturan yang sama terpakai kepada mana-mana yang lain nombor eksponen, oleh itu, peraturan boleh dirumuskan dalam bentuk umum:

sebarang nombor yang dinaikkan kepada kuasa pertama kekal tidak berubah

Kesimpulan ini mungkin membuatkan anda terperanjat. Anda masih boleh memahami maksud ungkapan 21 = 2, walaupun ungkapan "satu nombor dua didarab dengan sendirinya" terdengar agak pelik. Tetapi ungkapan 20 bermaksud "bukan satu nombor dua,...

0 0

Definisi darjah:

1. darjah sifar

Sebarang nombor selain daripada sifar dinaikkan kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu. Kuasa sifar hingga sifar tidak ditentukan

2. darjah semula jadi selain sifar

Sebarang nombor x dinaikkan kepada kuasa semula jadi n selain sifar adalah sama dengan mendarab n nombor x bersama-sama

3.1 punca kuasa semula jadi genap selain sifar

Punca bagi kuasa asli genap n, selain sifar, sebarang nombor positif x ialah nombor positif y yang, apabila dinaikkan kepada kuasa n, memberikan nombor asal x

3.2 punca darjah semula jadi ganjil

Punca bagi kuasa semula jadi ganjil n bagi sebarang nombor x ialah nombor y yang, apabila dinaikkan kepada kuasa n, memberikan nombor asal x

3.3 punca sebarang kuasa semula jadi sebagai kuasa pecahan

Mengeluarkan punca sebarang kuasa semula jadi n, selain sifar, daripada sebarang nombor x adalah sama dengan menaikkan nombor x ini kepada kuasa pecahan 1/n

0 0

Hello, RUSSEL yang dikasihi!

Apabila memperkenalkan konsep darjah, terdapat entri berikut: "Nilai ungkapan a^0 =1" ! Ini adalah kerana konsep logik ijazah dan tidak ada yang lain!
Memang patut dipuji apabila seorang lelaki muda cuba memahami perkara ini! Tetapi ada beberapa perkara yang perlu diambil mudah!
Anda boleh membina matematik baharu hanya apabila anda mengkaji perkara yang telah ditemui berabad-abad yang lalu!
Sudah tentu, jika kami mengecualikan bahawa anda "bukan dari dunia ini" dan anda telah diberikan lebih banyak daripada kami yang lain yang berdosa!

Nota: Anna Misheva membuat percubaan untuk membuktikan perkara yang tidak dapat dibuktikan! Juga boleh dipuji!
Tetapi ada satu "TAPI" yang besar - ia hilang dari buktinya elemen penting: Kes pembahagian dengan SIFAR!

Lihat sendiri apa yang boleh berlaku: 0^1 / 0^1 = 0 / 0!!!

Tetapi anda TIDAK BOLEH BERBAHAGIAN DENGAN SIFAR!

Sila lebih berhati-hati!

Dengan banyak harapan dan kebahagiaan dalam kehidupan peribadi anda...

0 0

Jawapan:

Tiada nama

jika kita mengambil kira bahawa a^x=e^x*ln(a), maka ternyata 0^0=1 (had, untuk x->0)
walaupun jawapan "ketidakpastian" juga boleh diterima

Sifar dalam matematik bukanlah kekosongan, ia adalah nombor yang sangat hampir dengan "tiada", sama seperti infiniti hanya secara terbalik

tuliskan:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Ternyata dalam kes ini kita membahagi dengan sifar, dan operasi ini pada bidang nombor nyata tidak ditakrifkan.

6 tahun lepas

RPI.su ialah pangkalan data soalan dan jawapan berbahasa Rusia terbesar. Projek kami telah dilaksanakan sebagai kesinambungan perkhidmatan popular otvety.google.ru, yang telah ditutup dan dipadamkan pada 30 April 2015. Kami memutuskan untuk menghidupkan semula perkhidmatan Google Answers yang berguna supaya sesiapa sahaja boleh mengetahui secara terbuka jawapan kepada soalan mereka daripada komuniti Internet.

Semua soalan yang ditambahkan pada tapak Google Answers telah disalin dan disimpan di sini. Nama pengguna lama juga dipaparkan seperti yang wujud sebelum ini. Anda hanya perlu mendaftar semula untuk dapat bertanya atau menjawab orang lain.

Untuk menghubungi kami dengan sebarang pertanyaan MENGENAI LAMAN INI (pengiklanan, kerjasama, maklum balas tentang perkhidmatan), tulis kepada [e-mel dilindungi]. Hanya segala-galanya soalan umum menyiarkan di laman web, mereka tidak akan menerima balasan melalui pos.

Apakah yang akan sama dengan sifar jika ia dinaikkan kepada kuasa sifar?

Mengapakah nombor dengan kuasa 0 sama dengan 1? Terdapat peraturan bahawa sebarang nombor selain sifar yang dinaikkan kepada kuasa sifar akan bersamaan dengan satu: 20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1 Namun, mengapa demikian? Apabila suatu nombor dinaikkan kepada kuasa dengan eksponen semula jadi, ia bermakna ia didarab dengan dirinya sendiri sebanyak bilangan eksponen: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Apabila eksponen sama dengan 1, maka semasa pembinaan hanya ada satu faktor (jika kita boleh bercakap tentang faktor sama sekali), dan oleh itu hasil pembinaan sama dengan asas darjah: 181 = 18; (–3.4)1 = –3.4 Tetapi bagaimana pula dengan penunjuk sifar dalam kes ini? Apa yang didarab dengan apa? Mari cuba pergi ke cara yang berbeza. Adalah diketahui bahawa jika dua kuasa mempunyai asas yang sama, tetapi eksponen yang berbeza, maka asas boleh dibiarkan sama, dan eksponen boleh ditambah antara satu sama lain (jika kuasa didarabkan), atau eksponen pembahagi boleh ditolak daripada eksponen dividen (jika kuasa boleh dibahagikan): 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 Sekarang pertimbangkan contoh ini: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Bagaimana jika kita tidak menggunakan harta kuasa dengan asas yang sama dan mari kita laksanakan pengiraan dalam susunan yang muncul: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Jadi kami mendapat unit berharga itu. Oleh itu, eksponen sifar seolah-olah menunjukkan bahawa nombor itu tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan dengan sendirinya. Dan dari sini menjadi jelas mengapa ungkapan 00 tidak masuk akal. Lagipun, anda tidak boleh bahagi dengan 0. Anda boleh membuat alasan secara berbeza. Jika terdapat, sebagai contoh, pendaraban kuasa 52 × 50 = 52+0 = 52, maka 52 didarab dengan 1. Oleh itu, 50 = 1.

Daripada sifat kuasa: a^n / a^m = a^(n-m) jika n=m, hasilnya akan menjadi satu kecuali secara semula jadi a=0, dalam kes ini (memandangkan sifar kepada mana-mana kuasa akan menjadi sifar) pembahagian dengan sifar akan berlaku, jadi 0^0 tidak wujud

Perakaunan dalam pelbagai bahasa

Nama nombor dari 0 hingga 9 pada bahasa popular kedamaian.

Bahasa	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Inggeris	sifar	satu	dua	tiga	empat	lima	enam	tujuh	lapan	sembilan
bahasa Bulgaria	sifar	satu perkara	dua	tiga	empat	haiwan peliharaan	tiang	kami sedang bersiap sedia	paksi	devet
bahasa Hungary	nulla	egy	kettõ	harom	baru	ot	topi	het	nyolc	kilenc
Belanda	nul	een	twee	keringkan	vier	vijf	zes	zeven	acht	negen
Danish	nul	en	kepada	tre	kebakaran	fem	seks	syv	otte	ni
bahasa Sepanyol	cero	uno	lakukan	tres	cuatro	cinco	seis	siete	ocho	nueve
Itali	sifar	uno	kena bayar	tre	quattro	cinque	sei	sette	otto	nove
bahasa Lithuania	nullis	vienas	du	mencuba	keturi	penki	ðeði	septyni	aðtuoni	devyni
Jerman	null	ein	zwei	drei	vier	fünf	sechs	sieben	acht	neun
bahasa Rusia	sifar	satu	dua	tiga	empat	lima	enam	tujuh	lapan	sembilan
Poland	sifar	jeden	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	siedem	osiem	dziewiêæ
Portugis	um	dois	três	kuatro	cinco	seis	sete	oito	nove
Perancis	sifar	un	deux	trois	kuatre	cinq	enam	sept	huit	neuf
bahasa Czech	nula	jedna	dva	toi	ètyøi	pìt	¹est	sedm	osm	devìt
bahasa Sweden	noll	dsb	tva	tre	fyra	fem	seks	sju	atta	nio
bahasa Estonia	null	üks	kaks	kolm	neli	viis	kuus	seitse	kaheksa	üheksa

Kuasa negatif dan sifar bagi sesuatu nombor

Kuasa sifar, negatif dan pecahan

Penunjuk sifar

Untuk menaikkan nombor yang diberikan kepada kuasa tertentu bermakna mengulanginya dengan faktor seberapa banyak bilangan unit dalam eksponen.

Menurut definisi ini, ungkapan: a 0 tidak masuk akal. Tetapi agar peraturan pembahagian kuasa nombor yang sama mempunyai makna walaupun dalam kes apabila eksponen pembahagi sama dengan eksponen dividen, definisi telah diperkenalkan:

Kuasa sifar mana-mana nombor akan sama dengan satu.

Penunjuk negatif

Ungkapan a -m, dengan sendirinya tidak mempunyai makna. Tetapi agar peraturan pembahagian kuasa nombor yang sama mempunyai makna walaupun dalam kes apabila eksponen pembahagi lebih besar daripada eksponen dividen, definisi telah diperkenalkan:

Contoh 1. Jika nombor yang diberi mengandungi 5 ratus, 7 puluh, 2 unit dan 9 perseratus, maka ia boleh digambarkan seperti berikut:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572.09

Contoh 2. Jika nombor yang diberi terdiri daripada puluh, b unit, c persepuluh dan d perseribu, maka ia boleh diwakili seperti berikut:

a× 10 1 + b× 10 0 + c× 10 -1 + d× 10 -3

Tindakan ke atas kuasa dengan eksponen negatif

Apabila mendarab kuasa nombor yang sama, eksponen menambah.

Apabila membahagikan kuasa nombor yang sama, eksponen pembahagi ditolak daripada eksponen dividen.

Untuk meningkatkan produk kepada kuasa, sudah cukup untuk menaikkan setiap faktor secara berasingan kepada kuasa ini:

Untuk menaikkan pecahan kepada kuasa, cukup untuk menaikkan kedua-dua sebutan pecahan secara berasingan kepada kuasa ini:

Apabila kuasa dinaikkan kepada kuasa lain, eksponen didarabkan.

Penunjuk pecahan

Jika k bukan gandaan daripada n, maka ungkapan: tidak masuk akal. Tetapi agar peraturan untuk mengekstrak punca darjah berlaku untuk sebarang nilai eksponen, definisi telah diperkenalkan:

Terima kasih kepada pengenalan simbol baharu, pengekstrakan akar sentiasa boleh digantikan dengan eksponen.

Tindakan ke atas kuasa dengan eksponen pecahan

Tindakan ke atas kuasa dengan eksponen pecahan dilakukan mengikut peraturan yang sama yang ditetapkan untuk eksponen integer.

Apabila membuktikan proposisi ini, kita mula-mula akan menganggap bahawa sebutan pecahan: dan , berfungsi sebagai eksponen, adalah positif.

Dalam kes khas n atau q mungkin sama dengan satu.

Apabila mendarab kuasa nombor yang sama, eksponen pecahan ditambah:

Apabila membahagikan kuasa nombor yang sama dengan eksponen pecahan, eksponen pembahagi ditolak daripada eksponen dividen:

Untuk menaikkan kuasa kepada kuasa lain dalam kes eksponen pecahan, cukup untuk mendarabkan eksponen:

Untuk mengekstrak punca kuasa pecahan, cukup untuk membahagikan eksponen dengan eksponen punca:

Peraturan tindakan terpakai bukan sahaja untuk positif penunjuk pecahan, tetapi juga kepada negatif.

Terdapat peraturan bahawa sebarang nombor selain sifar yang dinaikkan kepada kuasa sifar akan sama dengan satu:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Namun, kenapa jadi begini?
Apabila suatu nombor dinaikkan kepada kuasa dengan eksponen semula jadi, ini bermakna ia didarab dengan dirinya sendiri sebanyak bilangan eksponen:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Apabila eksponen sama dengan 1, maka semasa pembinaan hanya ada satu faktor (jika kita boleh bercakap tentang faktor di sini sama sekali), dan oleh itu hasil pembinaan adalah sama dengan asas darjah:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Tetapi bagaimana pula dengan penunjuk sifar dalam kes ini? Apa yang didarab dengan apa?
Mari cuba pergi ke cara yang berbeza.

Mengapakah nombor dengan kuasa 0 sama dengan 1?

Diketahui bahawa jika dua kuasa mempunyai asas yang sama, tetapi eksponen berbeza, maka asas boleh dibiarkan sama, dan eksponen boleh ditambah antara satu sama lain (jika kuasa didarabkan), atau eksponen pembahagi boleh ditolak daripada eksponen dividen (jika kuasa boleh dibahagikan):
3 2 ×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Sekarang mari kita lihat contoh ini:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Bagaimana jika kita tidak menggunakan harta kuasa dengan asas yang sama dan menjalankan pengiraan mengikut susunan di mana ia muncul:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Jadi kami mendapat unit yang diidamkan. Oleh itu, eksponen sifar seolah-olah menunjukkan bahawa nombor itu tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan dengan sendirinya.
Dan dari sini menjadi jelas mengapa ungkapan 0 0 tidak masuk akal. Anda tidak boleh membahagi dengan 0.