Pelajaran "kuasa dengan eksponen integer".

Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi bermakna pengulangan terus oleh faktornya sendiri mengikut masa. Nombor yang berulang sebagai faktor ialah asas darjah, dan nombor yang menunjukkan bilangan faktor yang sama dipanggil eksponen. Hasil daripada tindakan yang dilakukan ialah darjah. Sebagai contoh, kuasa tiga hingga keenam bermakna mengulang nombor tiga sebagai faktor enam kali.

Asas darjah boleh menjadi sebarang nombor selain sifar.

Yang kedua dan ketiga mempunyai nama istimewa. Ini adalah, masing-masing, segi empat sama dan kubus.

Kuasa pertama nombor diambil sebagai nombor itu sendiri.

Untuk nombor positif, kuasa yang mempunyai eksponen rasional juga ditakrifkan. Seperti yang semua orang tahu, apa-apa pun ditulis sebagai pecahan, pengangkanya adalah integer, dan penyebutnya adalah semula jadi, iaitu, integer positif, berbeza daripada satu.

Kuasa dengan eksponen rasional ialah punca kuasa yang sama dengan penyebut eksponen, dan ungkapan radikal ialah asas kuasa yang dinaikkan kepada kuasa yang sama dengan pengangka. Sebagai contoh: tiga hingga 4/5 adalah sama dengan punca kelima daripada tiga hingga keempat.

Mari kita perhatikan beberapa sifat yang mengikuti terus dari definisi yang sedang dipertimbangkan:

• sebarang nombor positif kepada kuasa rasional adalah positif;

• nilai darjah dengan eksponen rasional tidak bergantung pada bentuk rakamannya;

• jika asasnya negatif, maka kuasa rasional nombor ini tidak ditentukan.

Dengan asas positif, sifat darjah adalah benar tanpa mengira eksponen.

Sifat ijazah dengan eksponen semula jadi:

1. Mendarab kuasa mempunyai alasan yang sama, asas dibiarkan tidak berubah dan penunjuk ditambah. Contohnya: apabila mendarab tiga kepada kuasa kelima dengan tiga kepada kuasa ketujuh, anda mendapat tiga kepada kuasa kedua belas (5+7=12).

2. Apabila membahagikan darjah yang mempunyai asas yang sama, mereka dibiarkan tidak berubah, dan penunjuk ditolak. Contohnya: apabila membahagikan tiga kepada yang kelapan dengan tiga kepada yang kelima, anda mendapat tiga kuasa dua (8-5=3).

3. Apabila asas dibiarkan tidak berubah, dan penunjuk didarab. Contohnya: apabila menaikkan 3 kepada yang kelima kepada yang ketujuh, anda mendapat 3 hingga yang ketiga puluh lima (5x7=35).

4. Untuk menaikkan produk kepada kuasa, setiap faktor dinaikkan kepada kuasa yang sama. Sebagai contoh: apabila anda menaikkan hasil darab 2x3 kepada seperlima, anda mendapat hasil darab dua dalam kelima dengan tiga dalam kelima.

5. Untuk menaikkan pecahan kepada kuasa, naikkan pengangka dan penyebut kepada kuasa yang sama. Sebagai contoh: apabila anda menaikkan 2/5 kepada perlima, anda mendapat pecahan di mana pengangkanya adalah dua dalam kelima, dan penyebutnya ialah lima dalam kelima.

Sifat tercatat darjah juga sah untuk eksponen pecahan.

Sifat darjah dengan eksponen rasional

Mari kita perkenalkan beberapa definisi. Apa-apa selain daripada 0 dinaikkan kepada sifar adalah sama dengan satu.

Sebarang nombor nyata selain daripada 0 dinaikkan kepada kuasa dengan eksponen integer negatif ialah pecahan dengan pengangka satu dan penyebut. sama dengan darjat nombor yang sama, tetapi mempunyai penunjuk yang bertentangan.

Marilah kita menambah sifat ijazah dengan beberapa sifat baharu yang berkaitan dengan eksponen rasional.

Kuasa dengan eksponen rasional tidak berubah apabila pengangka dan penyebut eksponennya didarab atau dibahagikan dengan nombor yang sama yang tidak sama dengan sifar.

Apabila pangkalan lebih besar daripada satu:

• jika penunjuk adalah positif, maka darjah lebih besar daripada 1;
• apabila negatif, ia kurang daripada satu.

Apabila pangkalan kurang daripada satu, sebaliknya:

• jika penunjuk positif, maka tahapnya kurang daripada satu;
• jika negatif - lebih daripada 1.

Apabila eksponen bertambah, maka:

• darjah itu sendiri meningkat jika asasnya lebih besar daripada satu;

• berkurang jika asas kurang daripada satu.

Matlamat utama

Untuk membiasakan pelajar dengan sifat darjah dengan eksponen semula jadi dan mengajar mereka cara melaksanakan operasi dengan darjah.

Topik "Ijazah dan sifatnya" merangkumi tiga soalan:

• Penentuan darjah dengan penunjuk semula jadi.
• Pendaraban dan pembahagian kuasa.
• Eksponenisasi produk dan ijazah.

Soalan keselamatan

1. Rumuskan definisi darjah dengan eksponen semula jadi lebih besar daripada 1. Berikan satu contoh.
2. Merumus definisi darjah dengan eksponen 1. Berikan satu contoh.
3. Apakah susunan operasi apabila mengira nilai ungkapan yang mengandungi kuasa?
4. Merumus sifat utama ijazah.
5. Berikan satu contoh.
6. Rumuskan peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama. Berikan satu contoh.
7. Merumuskan peraturan untuk membahagikan kuasa dengan asas yang sama. Berikan satu contoh.
8. Merumuskan peraturan untuk meningkatkan produk kepada kuasa. Berikan satu contoh. Buktikan identiti (ab) n = a n b n .

Merumuskan peraturan untuk menaikkan kuasa kepada kuasa. Berikan satu contoh. Buktikan identiti (a m) n = a m n .

Definisi ijazah. Kuasa nombor dengan penunjuk semula jadi n, lebih besar daripada 1, ialah hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan A. Kuasa nombor A dengan eksponen 1 ialah nombor itu sendiri A.

Ijazah dengan asas A dan penunjuk n ditulis begini: dan n. Ia berbunyi “ A ke tahap n”; “ kuasa ke-n bagi suatu nombor A ”.

Mengikut definisi ijazah:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Mencari nilai ijazah dipanggil secara eksponen .

1. Contoh eksponen:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Cari maksud ungkapan:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Pilihan 1

a) 0.3 0.3 0.3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Bentangkan nombor sebagai segi empat sama:

3. Bentangkan nombor sebagai kubus:

4. Cari maksud ungkapan:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Penggandaan kuasa.

Untuk sebarang nombor a dan nombor arbitrari m dan n yang berikut berlaku:

a m a n = a m + n .

Bukti:

peraturan : Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, asas dibiarkan sama, dan eksponen kuasa ditambah.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0.01 0.1 3 = 0.1 2 0.1 3 = 0.1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Pilihan 1

1. Hadir sebagai ijazah:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0.3 3 0.09

2. Bentangkan sebagai darjah dan cari nilai daripada jadual:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Pembahagian darjah.

Untuk sebarang nombor a0 dan nombor asli arbitrari m dan n, supaya m>n yang berikut memegang:

a m: a n = a m - n

Bukti:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

mengikut takrifan bagi:

a m: a n = a m - n .

peraturan: Apabila membahagikan kuasa dengan asas yang sama, asas dibiarkan sama, dan eksponen pembahagi ditolak daripada eksponen dividen.

Definisi: Kuasa nombor a, tidak sama dengan sifar, dengan eksponen sifar adalah sama dengan satu:

kerana a n: a n = 1 pada a0.

a) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7:a = a 7:a 1 = a 7 - 1 = a 6

d) daripada 5:dari 0 = daripada 5:1 = daripada 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

V)

G)

d)

Pilihan 1

1. Kemukakan hasil bagi sebagai kuasa:

2. Cari maksud ungkapan:

Meningkatkan kuasa produk.

Untuk sebarang a dan b dan nombor asli arbitrari n:

(ab) n = a n b n

Bukti:

Mengikut definisi ijazah

(ab)n=

Mengelompokkan secara berasingan faktor a dan faktor b, kita dapat:

=

Sifat terbukti kuasa produk meluas kepada kuasa produk tiga atau lebih faktor.

Contohnya:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

peraturan: Apabila menaikkan produk kepada kuasa, setiap faktor dinaikkan kepada kuasa itu dan hasilnya didarabkan.

1. Naikkan kepada kuasa:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 =2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 = (-5) 3 y 3 = -125 y 3

e) (-0.2 x y) 2 = (-0.2) 2 x 2 y 2 = 0.04 x 2 y 2

e) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Cari nilai ungkapan:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0.25 11 4 11 = (0.25 4) 11 = 1 11 = 1

d)

Pilihan 1

1. Naikkan kepada kuasa:

b) (2 a c) 4

e) (-0.1 x y) 3

2. Cari nilai ungkapan:

b) (5 7 20) 2

Menaikkan kepada kuasa kuasa.

Untuk sebarang nombor a dan nombor asli arbitrari m dan n:

(a m) n = a m n

Bukti:

Mengikut definisi ijazah

(a m) n =

peraturan: Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, asas dibiarkan sama, dan eksponen didarab.

1. Naikkan kepada kuasa:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Permudahkan ungkapan:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14

d) (y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

A)

b)

Pilihan 1

1. Naikkan kepada kuasa:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Permudahkan ungkapan:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y 9) 2

3. Cari maksud ungkapan:

Permohonan

Merumuskan peraturan untuk menaikkan kuasa kepada kuasa. Berikan satu contoh. Buktikan identiti (a m) n = a m n .

Pilihan 2

Pertama Tulis produk sebagai kuasa:

a) 0.4 0.4 0.4

c) a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bс) (bс) (bс)

2. Bentangkan nombor sebagai segi empat sama:

3. Bentangkan nombor sebagai kubus:

4. Cari maksud ungkapan:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Pilihan 3

1. Tulis produk sebagai kuasa:

a) 0.5 0.5 0.5

c) dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Bentangkan nombor sebagai segi empat sama: 100; 0.49; .

3. Bentangkan nombor sebagai kubus:

4. Cari maksud ungkapan:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Pilihan 4

1. Tulis produk sebagai kuasa:

a) 0.7 0.7 0.7

c) x x x x x x

d) (-a) (-a) (-a)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Bentangkan nombor sebagai segi empat sama:

3. Bentangkan nombor sebagai kubus:

4. Cari maksud ungkapan:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Penggandaan kuasa.

Pilihan 2

1. Hadir sebagai ijazah:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0.2 3 0.04

2. Bentangkan sebagai darjah dan cari nilai daripada jadual:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Pilihan 3

1. Hadir sebagai ijazah:

a) a 3 a 5 f) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0.3 4 0.27

2. Bentangkan sebagai darjah dan cari nilai daripada jadual:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Pilihan 4

1. Hadir sebagai ijazah:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0.2 2 0.008

2. Bentangkan sebagai darjah dan cari nilai daripada jadual:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Pembahagian darjah.

Pilihan 2

1. Kemukakan hasil bagi sebagai kuasa:

2. Cari maksud ungkapan.

Ijazah dengan penunjuk semula jadi

Hasil darab beberapa faktor yang sama boleh ditulis dalam bentuk ungkapan yang dipanggil ijazah.
Contohnya, 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 6
Faktor berulang dipanggil asas ijazah , dan bilangan faktor berulang ialah eksponen . Jadi, dalam ungkapan 4 6, nombor 4 ialah asas kuasa, dan nombor 6 ialah eksponen.

Definisi. Kuasa nombor a dengan eksponen semula jadi n lebih besar daripada 1 ialah hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan a.

Definisi. Kuasa nombor a yang tidak sama dengan sifar dengan eksponen sifar adalah sama dengan satu. Kuasa nombor a dengan eksponen 1 ialah nombor itu sendiri. Mencari nilai kuasa dipanggil eksponen.

Contoh: 7 5 = 7 . 7 . 7 . 7 . 7. = 16 807, (– 8) 3 = (– 8) . (– 8) . (8) = – 512 .

Kuasa dengan eksponen integer negatif

Definisi. Jika a =/= 0 dan n ialah integer negatif, maka .

Contoh:

(–3) –4 = = ; = = – 8

Sifat ijazah dengan eksponen integer

Sifat ijazah dengan eksponen semula jadi juga sah untuk ijazah dengan sebarang eksponen integer (anda hanya perlu menganggap bahawa asas darjah tidak sama dengan sifar).

1 harta:

Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, asas dibiarkan sama, dan eksponen ditambah.

Contoh:

harta ke-2:

Apabila membahagikan kuasa dengan asas yang sama, asas dibiarkan sama, dan eksponen pembahagi ditolak daripada eksponen dividen.

Contoh:= =

3 harta:

Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, asas dibiarkan sama, dan eksponen didarabkan.

Contoh:

4 harta:

Apabila menaikkan produk kepada kuasa, setiap faktor dinaikkan kepada kuasa itu dan hasilnya didarabkan.

Contoh: = 2 –2 . (Kuasa nombor 3) –2 (b –5) –2 = a –6 b 10 .

5 harta: , di mana dalam =/= 0.

Contoh:

Jenis nombor standard

Dalam sains dan teknologi, terdapat kedua-dua nombor positif yang sangat besar dan sangat kecil. Sebagai contoh, isipadu Bumi ialah 1,083,000,000,000 km 3, dan diameter molekul air ialah 0.0000000003 m Dalam bentuk perpuluhan biasa, nombor tersebut menyusahkan untuk membaca dan menulis, serta melakukan sebarang tindakan ke atasnya, jadi ia adalah. berguna untuk menulisnya dalam bentuk standard.

Definisi. Kami melihat nombor sebagai standard Kuasa nombor panggil ia ditulis dalam bentuk a . 10n, di mana 1 < a< 10 и n – целое число. Число n называется порядком числа Kuasa nombor.

Sebagai contoh, susunan nombor yang menyatakan isipadu Bumi dalam kilometer padu ialah 12, dan susunan magnitud yang menyatakan diameter molekul air dalam meter ialah 10.

Contoh 1. Mewakili nombor dalam bentuk piawai r = 42 350 000.
Kami meletakkan koma dalam nombor ini supaya terdapat satu digit di seluruh bahagian. Hasilnya, kita mendapat 4.2350000 = 4.235. Dengan memisahkan 7 digit di sebelah kanan dengan koma, kami mengurangkan nombor itu r 10 7 kali, jadi r lebih besar daripada nombor 4.235 sebanyak 10 7 kali. Bermaksud, r = 42 350 000 = 4,235 . 10 7 .

Contoh 2. Mewakili nombor dalam bentuk piawai r = 0,00000257.
Dalam nombor ini, kami menyusun semula koma supaya keseluruhan bahagian mengandungi satu digit bukan sifar. Hasilnya ialah 2.57. Dengan mengalihkan tempat perpuluhan 6 tempat ke kanan, kami menambah nombor itu r 10 6 kali, jadi nombor r kurang daripada nombor 2.57 sebanyak 10 6 kali. Dari sini r = 2,57: 10 6 = 2,57 , iaitu 0.00000257 = 2.57 . 10 –6 .

Ujian telah disusun dalam M ​​Excel. Untuk bekerja dengan mereka, anda mesti mempunyai program aplikasi M Excel pada PC anda. Urutan kerja:

1. Jalankan ujian yang dikehendaki.

2. Dalam medan "penomboran helaian", pilih pilihan yang dikehendaki.

3. Untuk memilih jawapan anda mesti:

a) pilih dengan tetikus kawasan yang berwarna biru;
b) penunjuk jawapan akan muncul pada skrin
c) selepas mengklik, "senarai juntai bawah" akan muncul;
d) pilih jawapan anda di antara jawapan yang dicadangkan;
e) beralih kepada tugasan ujian seterusnya.

3. Apabila anda selesai mengerjakan ujian, bilangan jawapan yang betul akan ditunjukkan pada skrin PC.

4. Untuk memaparkan penilaian pada skrin, anda mesti merujuk kepada hiperpautan "Penilaian".

Sebelum ini kita sudah bercakap tentang apa itu kuasa nombor. Ia mempunyai sifat tertentu yang berguna dalam menyelesaikan masalah: kami akan menganalisisnya dan semua kemungkinan eksponen dalam artikel ini. Kami juga akan menunjukkan dengan jelas dengan contoh bagaimana ia boleh dibuktikan dan digunakan dengan betul dalam amalan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mari kita ingat konsep ijazah yang telah dirumuskan sebelum ini dengan eksponen semula jadi: ini ialah hasil darab ke-n bagi faktor, setiap satunya bersamaan dengan a. Kita juga perlu ingat bagaimana untuk mendarab nombor nyata dengan betul. Semua ini akan membantu kami merumuskan sifat berikut untuk ijazah dengan eksponen semula jadi:

Definisi 1

1. Sifat utama darjah: a m · a n = a m + n

Boleh digeneralisasikan kepada: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Sifat hasil bagi darjah yang mempunyai asas yang sama: a m: a n = a m − n

3. Sifat darjah produk: (a · b) n = a n · b n

Kesamaan boleh dikembangkan kepada: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Sifat hasil bagi darjah semula jadi: (a: b) n = a n: b n

5. Naikkan kuasa kepada kuasa: (a m) n = a m n ,

Boleh digeneralisasikan kepada: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Bandingkan darjah dengan sifar:

• jika a > 0, maka untuk sebarang nombor asli n, a n akan lebih besar daripada sifar;
• dengan sama dengan 0, a n juga akan sama dengan sifar;
• pada a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• pada a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет kurang daripada sifar.

7. Kesaksamaan a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Ketaksamaan a m > a n akan menjadi benar dengan syarat m dan n ialah nombor asli, m lebih besar daripada n dan a lebih besar daripada sifar dan kurang daripada satu.

Hasilnya, kami mendapat beberapa kesamaan; jika semua syarat yang dinyatakan di atas dipenuhi, maka ia akan menjadi sama. Untuk setiap kesamaan, sebagai contoh, untuk sifat utama, anda boleh menukar sisi kanan dan kiri: a m · a n = a m + n - sama dengan a m + n = a m · a n. Dalam bentuk ini ia sering digunakan untuk memudahkan ungkapan.

1. Mari kita mulakan dengan sifat asas darjah: kesamaan a m · a n = a m + n akan menjadi benar untuk mana-mana m asli dan n dan nyata a. Bagaimana untuk membuktikan kenyataan ini?

Takrifan asas kuasa dengan eksponen semula jadi akan membolehkan kita mengubah kesaksamaan menjadi produk faktor. Kami akan mendapat rekod seperti ini:

Ini boleh dipendekkan kepada (ingat sifat asas pendaraban). Hasilnya, kami mendapat kuasa nombor a dengan eksponen semula jadi m + n. Oleh itu, a m + n, yang bermaksud sifat utama darjah telah terbukti.

Mari kita selesaikan contoh konkrit, mengesahkan ini.

Contoh 1

Jadi kita mempunyai dua kuasa dengan asas 2. Penunjuk semula jadi mereka adalah 2 dan 3, masing-masing. Kami mempunyai kesamaan: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Mari kita hitung nilai untuk menyemak kesahihan kesamaan ini.

Mari kita laksanakan operasi matematik yang diperlukan: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 dan 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Hasilnya, kami mendapat: 2 2 · 2 3 = 2 5. Harta tersebut telah terbukti.

Oleh kerana sifat pendaraban, kita boleh menyamaratakan sifat dengan merumuskannya dalam bentuk tiga dan lebih kuasa yang eksponennya ialah nombor asli dan asasnya adalah sama. Jika kita menyatakan bilangan nombor asli n 1, n 2, dsb. dengan huruf k, kita mendapat kesamaan yang betul:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Contoh 2

2. Seterusnya, kita perlu membuktikan sifat berikut, yang dipanggil harta hasil dan wujud dalam kuasa dengan asas yang sama: ini ialah kesamaan a m: a n = a m − n, yang sah untuk sebarang m dan n semula jadi (dan m adalah lebih besar daripada n)) dan sebarang bukan sifar nyata a .

Sebagai permulaan, mari kita jelaskan apakah sebenarnya maksud syarat-syarat yang disebutkan dalam rumusan. Jika kita mengambil sama dengan sifar, maka kita berakhir dengan pembahagian dengan sifar, yang tidak boleh kita lakukan (selepas semua, 0 n = 0). Syarat bahawa nombor m mesti lebih besar daripada n adalah perlu supaya kita boleh kekal dalam had eksponen semulajadi: tolak n daripada m, kita dapat nombor asli. Jika syarat tidak dipenuhi, kita akan berakhir dengan nombor negatif atau sifar, dan sekali lagi kita akan melampaui pengajian darjah dengan eksponen semula jadi.

Sekarang kita boleh beralih kepada bukti. Daripada apa yang telah kita pelajari sebelum ini, mari kita ingat sifat asas pecahan dan rumuskan kesamaan seperti berikut:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

Daripadanya kita boleh simpulkan: a m − n · a n = a m

Mari kita ingat kaitan antara pembahagian dan pendaraban. Ia berikutan daripadanya bahawa a m − n ialah hasil bagi kuasa a m dan a n . Ini adalah bukti harta kedua ijazah.

Contoh 3

Untuk kejelasan, mari kita gantikan nombor tertentu ke dalam eksponen, dan nyatakan asas darjah sebagai π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Seterusnya kita akan menganalisis sifat kuasa produk: (a · b) n = a n · b n untuk sebarang a dan b nyata dan n asli.

Menurut definisi asas kuasa dengan eksponen semula jadi, kita boleh merumuskan semula kesamaan seperti berikut:

Mengimbas kembali sifat pendaraban, kami menulis: . Ini bermakna sama dengan a n · b n .

Contoh 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Jika kita mempunyai tiga atau lebih faktor, maka harta ini juga terpakai untuk kes ini. Mari kita perkenalkan notasi k untuk bilangan faktor dan tulis:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Contoh 5

Dengan nombor tertentu kita mendapat kesamaan yang betul berikut: (2 · (- 2 , 3) ​​​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​​​7 · a

4. Selepas ini, kami akan cuba membuktikan sifat hasil: (a: b) n = a n: b n untuk sebarang a real dan b, jika b tidak sama dengan 0 dan n ialah nombor asli.

Untuk membuktikan ini, anda boleh menggunakan harta ijazah sebelumnya. Jika (a: b) n · b n = ((a: b) b) n = a n , dan (a: b) n · b n = a n , maka ia mengikuti bahawa (a: b) n ialah hasil bahagi bagi a n oleh b n.

Contoh 6

Mari kita hitung contoh: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Contoh 7

Mari kita mulakan segera dengan contoh: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Sekarang mari kita rumuskan rantaian kesamaan yang akan membuktikan kepada kita bahawa kesamaan itu betul:

Jika kita mempunyai darjah darjah dalam contoh, maka sifat ini juga benar untuk mereka. Jika kita mempunyai sebarang nombor asli p, q, r, s, maka ia akan menjadi benar:

a p q y s = a p q y s

Contoh 8

Mari tambah beberapa spesifik: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10

6. Satu lagi sifat kuasa dengan eksponen semula jadi yang perlu kita buktikan ialah sifat perbandingan.

Pertama, mari kita bandingkan darjah dengan sifar. Mengapakah a n > 0, dengan syarat a lebih besar daripada 0?

Jika kita mendarab satu nombor positif dengan yang lain, kita juga mendapat nombor positif. Mengetahui fakta ini, kita boleh mengatakan bahawa ia tidak bergantung pada bilangan faktor - hasil pendaraban sebarang nombor positif adalah nombor positif. Apakah ijazah jika bukan hasil darab nombor? Kemudian untuk mana-mana kuasa a n dengan asas positif dan eksponen semula jadi ini akan menjadi benar.

Contoh 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 dan 34 9 13 51 > 0

Ia juga jelas bahawa kuasa dengan asas sama dengan sifar adalah sifar sendiri. Tidak kira apa kuasa yang kita tingkatkan sifar, ia akan kekal sifar.

Contoh 10

0 3 = 0 dan 0 762 = 0

Jika asas darjah adalah nombor negatif, maka buktinya adalah lebih rumit sedikit, kerana konsep eksponen genap/ganjil menjadi penting. Mari kita mula-mula mengambil kes apabila eksponen adalah genap, dan menandakannya 2 · m, dengan m ialah nombor asli.

Mari kita ingat bagaimana untuk mendarab nombor negatif dengan betul: hasil darab a · a adalah sama dengan hasil darab moduli, dan, oleh itu, ia akan menjadi nombor positif. Kemudian dan darjah a 2 m juga positif.

Contoh 11

Contohnya, (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 dan - 2 9 6 > 0

Dan jika eksponen dengan asas negatif ialah nombor ganjil? Mari kita nyatakan 2 · m − 1 .

Kemudian

Semua hasil darab a · a, mengikut sifat pendaraban, adalah positif, begitu juga hasil darabnya. Tetapi jika kita darabkan dengan satu-satunya baki nombor a, maka keputusan akhir akan menjadi negatif.

Kemudian kita dapat: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Bagaimana untuk membuktikan ini?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Contoh 12

Sebagai contoh, ketaksamaan berikut adalah benar: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Kita hanya perlu membuktikan sifat terakhir: jika kita mempunyai dua kuasa yang asasnya sama dan positif, dan eksponennya ialah nombor asli, maka kuasa yang eksponennya lebih kecil adalah lebih besar; dan dua kuasa dengan eksponen semula jadi dan asas yang sama lebih besar daripada satu, kuasa yang eksponennya lebih besar adalah lebih besar.

Mari kita buktikan kenyataan ini.

Mula-mula kita perlu memastikan bahawa m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Mari kita ambil n daripada kurungan, selepas itu perbezaan kita akan mengambil bentuk a n · (a m − n − 1) . Keputusannya akan menjadi negatif (kerana hasil pendaraban nombor positif dengan nombor negatif adalah negatif). Lagipun, mengikut keadaan awal, m − n > 0, maka a m − n − 1 adalah negatif, dan faktor pertama adalah positif, seperti mana-mana kuasa semula jadi dengan asas positif.

Ternyata a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Ia kekal untuk membuktikan bahagian kedua pernyataan yang dirumuskan di atas: a m > a adalah benar untuk m > n dan a > 1. Mari kita nyatakan perbezaan dan letakkan a n daripada kurungan: (a m − n − 1 Kuasa a n untuk lebih besar daripada satu akan memberi hasil positif; dan perbezaan itu sendiri juga akan menjadi positif disebabkan oleh keadaan awal, dan untuk a > 1 darjah a m - n lebih besar daripada satu. Ternyata a m − a n > 0 dan a m > a n , itulah yang perlu kami buktikan.

Contoh 13

Contoh dengan nombor tertentu: 3 7 > 3 2

Sifat asas darjah dengan eksponen integer

Untuk kuasa dengan eksponen integer positif, sifat akan serupa, kerana integer positif ialah nombor asli, yang bermaksud bahawa semua kesamaan yang dibuktikan di atas juga benar untuk mereka. Ia juga sesuai untuk kes di mana eksponen negatif atau sama dengan sifar (dengan syarat asas darjah itu sendiri bukan sifar).

Oleh itu, sifat kuasa adalah sama untuk mana-mana asas a dan b (dengan syarat nombor ini adalah nyata dan tidak sama dengan 0) dan sebarang eksponen m dan n (dengan syarat ia adalah integer). Mari kita tulis secara ringkas dalam bentuk formula:

Definisi 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n tertakluk kepada integer positif n, positif a dan b, a< b

7.pagi< a n , при условии целых m и n , m >n dan 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Jika asas darjah adalah sifar, maka entri a m dan a n masuk akal hanya dalam kes semula jadi dan positif m dan n. Akibatnya, kami mendapati bahawa rumusan di atas juga sesuai untuk kes dengan kuasa dengan asas sifar, jika semua syarat lain dipenuhi.

Bukti sifat-sifat ini dalam kes ini adalah mudah. Kita perlu ingat apakah darjah dengan eksponen asli dan integer, serta sifat operasi dengan nombor nyata.

Mari kita lihat sifat kuasa kepada kuasa dan buktikan bahawa ia adalah benar untuk integer positif dan bukan positif. Mari kita mulakan dengan membuktikan kesamaan (a p) q = a p q, (a − p) q = a (− p) q, (a p) − q = a p (− q) dan (a − p) − q = a (− p) · (− q)

Syarat: p = 0 atau nombor asli; q – serupa.

Jika nilai p dan q lebih besar daripada 0, maka kita dapat (a p) q = a p · q. Kami telah pun membuktikan persamaan yang sama sebelum ini. Jika p = 0, maka:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Oleh itu, (a 0) q = a 0 q

Untuk q = 0 semuanya betul-betul sama:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Keputusan: (a p) 0 = a p · 0 .

Jika kedua-dua penunjuk adalah sifar, maka (a 0) 0 = 1 0 = 1 dan a 0 · 0 = a 0 = 1, yang bermaksud (a 0) 0 = a 0 · 0.

Marilah kita mengimbas kembali sifat hasil bagi ke tahap yang dibuktikan di atas dan tulis:

1 a p q = 1 q a p q

Jika 1 p = 1 1 … 1 = 1 dan a p q = a p q, maka 1 q a p q = 1 a p q

Kita boleh menukar tatatanda ini berdasarkan peraturan asas pendaraban kepada a (− p) · q.

Juga: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

Dan (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Baki sifat darjah boleh dibuktikan dengan cara yang sama dengan mengubah ketaksamaan sedia ada. Kami tidak akan membincangkan perkara ini secara terperinci; kami hanya akan menunjukkan perkara yang sukar.

Bukti sifat kedua terakhir: ingat, a − n > b − n adalah benar untuk sebarang integer nilai negatif dan mana-mana positif a dan b, dengan syarat a kurang daripada b.

Kemudian ketidaksamaan boleh diubah seperti berikut:

1 a n > 1 b n

Mari tulis bahagian kanan dan kiri sebagai perbezaan dan lakukan transformasi yang diperlukan:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Ingat bahawa dalam keadaan a kurang daripada b, maka, mengikut takrifan darjah dengan eksponen semula jadi: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n akhirnya menjadi nombor positif kerana faktornya adalah positif. Akibatnya, kita mempunyai pecahan b n - a n a n · b n, yang akhirnya juga memberikan hasil yang positif. Oleh itu 1 a n > 1 b n dari mana a − n > b − n , itulah yang perlu kita buktikan.

Sifat terakhir kuasa dengan eksponen integer dibuktikan sama dengan sifat kuasa dengan eksponen semula jadi.

Sifat asas kuasa dengan eksponen rasional

Dalam artikel sebelum ini, kami melihat apakah darjah dengan eksponen rasional (pecahan). Sifat mereka adalah sama seperti darjah dengan eksponen integer. Mari kita tulis:

Definisi 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 untuk a > 0, dan jika m 1 n 1 > 0 dan m 2 n 2 > 0, maka untuk ≥ 0 (sifat produk darjah dengan asas yang sama).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, jika a > 0 (harta hasil bagi).

3. a · b m n = a m n · b m n untuk a > 0 dan b > 0, dan jika m 1 n 1 > 0 dan m 2 n 2 > 0, maka untuk a ≥ 0 dan (atau) b ≥ 0 (sifat produk dalam darjah pecahan).

4. a: b m n = a m n: b m n untuk a > 0 dan b > 0, dan jika m n > 0, maka untuk a ≥ 0 dan b > 0 (sifat hasil bagi kuasa pecahan).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 untuk a > 0, dan jika m 1 n 1 > 0 dan m 2 n 2 > 0, maka untuk ≥ 0 (sifat darjah dalam darjah).

6.a hlm< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ; jika p< 0 - a p >b p (sifat membandingkan kuasa dengan eksponen rasional yang sama).

7.a hlm< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q pada 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Untuk membuktikan peruntukan ini, kita perlu ingat apakah darjah dengan eksponen pecahan, apakah sifat punca aritmetik darjah ke-n, dan apakah sifat darjah dengan eksponen integer. Mari lihat setiap hartanah.

Mengikut tahap dengan eksponen pecahan, kita dapat:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 dan a m 2 n 2 = a m 2 n 2, oleh itu, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Sifat-sifat akar akan membolehkan kita memperoleh kesamaan:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Daripada ini kita dapat: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Mari tukar:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Eksponen boleh ditulis sebagai:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Ini buktinya. Harta kedua terbukti dengan cara yang sama. Mari kita tulis rantaian persamaan:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Bukti kesamaan yang selebihnya:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Harta seterusnya: mari kita buktikan bahawa untuk sebarang nilai a dan b lebih besar daripada 0, jika a kurang daripada b, a p akan berpuas hati< b p , а для p больше 0 - a p >b p

Mari kita wakili nombor rasional p sebagai m n. Dalam kes ini, m ialah integer, n ialah nombor asli. Kemudian syarat p< 0 и p >0 akan memanjang ke m< 0 и m >0 . Untuk m > 0 dan a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Kami menggunakan sifat akar dan keluaran: a m n< b m n

Dengan mengambil kira nilai positif a dan b, kami menulis semula ketaksamaan sebagai m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Dengan cara yang sama untuk m< 0 имеем a a m >b m , kita mendapat a m n > b m n yang bermaksud a m n > b m n dan a p > b p .

Tinggal untuk kami menyediakan bukti harta terakhir. Mari kita buktikan bahawa untuk nombor rasional p dan q, p > q pada 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 akan menjadi benar a p > a q .

Nombor rasional p dan q boleh dikurangkan kepada penyebut biasa dan dapatkan pecahan m 1 n dan m 2 n

Di sini m 1 dan m 2 ialah integer, dan n ialah nombor asli. Jika p > q, maka m 1 > m 2 (dengan mengambil kira peraturan untuk membandingkan pecahan). Kemudian pada 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – ketaksamaan a 1 m > a 2 m.

Mereka boleh ditulis semula seperti berikut:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Kemudian anda boleh membuat transformasi dan berakhir dengan:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Untuk meringkaskan: untuk p > q dan 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Sifat asas kuasa dengan eksponen tidak rasional

Pada tahap sedemikian seseorang boleh memanjangkan semua sifat yang diterangkan di atas yang dimiliki oleh darjah dengan eksponen rasional. Ini mengikuti definisinya, yang kami berikan dalam salah satu artikel sebelumnya. Mari kita rumuskan secara ringkas sifat-sifat ini (syarat: a > 0, b > 0, eksponen p dan q – nombor tidak rasional):

Definisi 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a hlm< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p

7.a hlm< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, kemudian a p > a q.

Oleh itu, semua kuasa yang eksponen p dan q ialah nombor nyata, dengan syarat a > 0, mempunyai sifat yang sama.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Tahap kemasukan

Ijazah dan sifatnya. Panduan yang komprehensif (2019)

Mengapakah ijazah diperlukan? Di manakah anda memerlukannya? Mengapa anda perlu meluangkan masa untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari segala-galanya tentang ijazah, kegunaannya, cara menggunakan pengetahuan anda kehidupan seharian baca artikel ini.

Dan, sudah tentu, pengetahuan tentang ijazah akan membawa anda lebih dekat kepada kejayaan melepasi OGE atau Peperiksaan Negeri Bersepadu dan kemasukan ke universiti idaman anda.

Jom... (Jom!)

Nota penting! Jika anda melihat gobbledygook dan bukannya formula, kosongkan cache anda. Untuk melakukan ini, tekan CTRL+F5 (pada Windows) atau Cmd+R (pada Mac).

PERINGKAT PENYERTAAN

Meningkatkan kuasa adalah sama operasi matematik seperti penambahan, penolakan, pendaraban atau pembahagian.

Sekarang saya akan menerangkan semuanya bahasa manusia sangat contoh mudah. Berhati-hati. Contohnya adalah asas, tetapi menerangkan perkara penting.

Mari kita mulakan dengan penambahan.

Tiada apa yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segala-galanya: terdapat lapan daripada kami. Setiap orang mempunyai dua botol cola. Berapa banyak cola yang ada? Betul - 16 botol.

Sekarang pendaraban.

Contoh yang sama dengan cola boleh ditulis secara berbeza: . Ahli matematik adalah orang yang licik dan pemalas. Mereka mula-mula melihat beberapa corak, dan kemudian memikirkan cara untuk "mengira" mereka dengan lebih cepat. Dalam kes kami, mereka menyedari bahawa setiap lapan orang mempunyai bilangan botol kola yang sama dan menghasilkan teknik yang dipanggil pendaraban. Setuju, ia dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.

Jadi, untuk mengira lebih cepat, lebih mudah dan tanpa ralat, anda hanya perlu ingat jadual pendaraban. Sudah tentu, anda boleh melakukan segala-galanya dengan lebih perlahan, lebih sukar dan dengan kesilapan! Tetapi…

Berikut ialah jadual pendaraban. ulang.

Dan satu lagi, lebih cantik:

Apakah helah pengiraan yang bijak lain yang telah dibuat oleh ahli matematik yang malas? Betul - menaikkan nombor kepada kuasa.

Menaikkan nombor kepada kuasa

Jika anda perlu mendarab nombor dengan sendirinya lima kali, maka ahli matematik mengatakan bahawa anda perlu menaikkan nombor itu kepada kuasa kelima. Contohnya, . Ahli matematik ingat bahawa kuasa dua hingga kelima ialah... Dan mereka menyelesaikan masalah sedemikian di kepala mereka - lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesilapan.

Apa yang perlu anda lakukan ialah ingat apa yang diserlahkan dalam warna dalam jadual kuasa nombor. Percayalah, ini akan menjadikan hidup anda lebih mudah.

By the way, kenapa dipanggil ijazah kedua? segi empat sama nombor, dan yang ketiga - kiub? Apakah maksudnya? sangat soalan yang bagus. Sekarang anda akan mempunyai kedua-dua segi empat sama dan kiub.

Contoh kehidupan sebenar #1

Mari kita mulakan dengan kuasa dua atau kuasa kedua nombor itu.

Bayangkan kolam persegi berukuran satu meter dengan satu meter. Kolam renang berada di dacha anda. Panas dan saya sangat ingin berenang. Tetapi... kolam itu tidak mempunyai dasar! Anda perlu menutup bahagian bawah kolam dengan jubin. Berapa banyak jubin yang anda perlukan? Untuk menentukan ini, anda perlu mengetahui kawasan bawah kolam.

Anda hanya boleh mengira dengan menuding jari anda bahawa bahagian bawah kolam terdiri daripada kiub meter demi meter. Jika anda mempunyai jubin satu meter dengan satu meter, anda memerlukan kepingan. Ia mudah... Tetapi di manakah anda pernah melihat jubin sedemikian? Jubin itu kemungkinan besar akan menjadi cm demi cm Dan kemudian anda akan diseksa dengan "mengira dengan jari anda." Kemudian anda perlu membiak. Jadi, di satu sisi bahagian bawah kolam kita akan muat jubin (kepingan) dan di sisi lain juga, jubin. Darab dengan dan anda mendapat jubin ().

Adakah anda perasan bahawa untuk menentukan luas dasar kolam kita mendarabkan nombor yang sama dengan sendirinya? Apakah maksudnya? Oleh kerana kita mendarab nombor yang sama, kita boleh menggunakan teknik "pengembangan". (Sudah tentu, apabila anda hanya mempunyai dua nombor, anda masih perlu mendarabnya atau menaikkannya kepada kuasa. Tetapi jika anda mempunyai banyak nombor, maka menaikkannya kepada kuasa adalah lebih mudah dan terdapat juga lebih sedikit ralat dalam pengiraan . Untuk Peperiksaan Negeri Bersatu, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh kepada kuasa kedua akan menjadi (). Atau kita boleh mengatakan bahawa tiga puluh kuasa dua akan menjadi. Dalam erti kata lain, kuasa kedua nombor sentiasa boleh diwakili sebagai segi empat sama. Dan sebaliknya, jika anda melihat segi empat sama, ia SENTIASA kuasa kedua bagi beberapa nombor. Segi empat sama ialah imej kuasa kedua bagi suatu nombor.

Contoh kehidupan sebenar #2

Berikut ialah tugas untuk anda: kira berapa banyak petak yang terdapat pada papan catur menggunakan petak nombor itu... Pada satu sisi sel dan pada sebelah yang lain juga. Untuk mengira bilangan mereka, anda perlu mendarab lapan dengan lapan atau... jika anda perasan bahawa papan catur ialah segi empat sama dengan sisi, maka anda boleh kuasa dua lapan. Anda akan mendapat sel. () Jadi?

Contoh kehidupan sebenar #3

Kini kubus atau kuasa ketiga nombor. Kolam yang sama. Tetapi sekarang anda perlu mengetahui berapa banyak air yang perlu dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu mengira isipadu. (Jumlah dan cecair, dengan cara ini, diukur dalam meter padu. Tidak dijangka, bukan?) Lukis kolam: bahagian bawah adalah bersaiz meter dan dalam satu meter, dan cuba kira berapa banyak kiub berukuran satu meter dengan satu meter akan muat ke dalam kolam anda.

Hanya tuding jari anda dan mengira! Satu, dua, tiga, empat...dua puluh dua, dua puluh tiga...Berapa yang awak dapat? Tidak hilang? Adakah sukar untuk mengira dengan jari anda? Itu sahaja! Ambil contoh daripada ahli matematik. Mereka malas, jadi mereka perasan bahawa untuk mengira isipadu kolam, anda perlu mendarabkan panjang, lebar dan ketinggiannya dengan satu sama lain. Dalam kes kami, isipadu kolam akan sama dengan kiub... Lebih mudah, bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan licik ahli matematik jika mereka memudahkan perkara ini juga. Kami mengurangkan segala-galanya kepada satu tindakan. Mereka perasan bahawa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan nombor yang sama didarab dengan sendirinya... Apakah maksudnya? Ini bermakna anda boleh memanfaatkan ijazah tersebut. Jadi, apa yang pernah anda hitung dengan jari anda, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga kiub adalah sama. Tertulis begini: .

Yang tinggal hanyalah ingat jadual darjah. Kecuali, sudah tentu, anda malas dan licik seperti ahli matematik. Jika anda suka bekerja keras dan melakukan kesilapan, anda boleh terus mengira dengan jari anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan anda bahawa ijazah dicipta oleh orang yang berhenti dan orang yang licik untuk menyelesaikannya masalah hidup, dan bukan untuk menimbulkan masalah untuk anda, berikut adalah beberapa lagi contoh kehidupan.

Contoh kehidupan sebenar #4

Anda mempunyai satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, untuk setiap juta yang anda hasilkan, anda membuat satu juta lagi. Iaitu, setiap juta anda mempunyai dua kali ganda pada awal setiap tahun. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam beberapa tahun? Jika anda duduk sekarang dan "mengira dengan jari anda," maka anda seorang yang sangat rajin dan... bodoh. Tetapi kemungkinan besar anda akan memberikan jawapan dalam beberapa saat, kerana anda bijak! Jadi, pada tahun pertama - dua didarab dengan dua ... pada tahun kedua - apa yang berlaku, dengan dua lagi, pada tahun ketiga ... Berhenti! Anda perasan bahawa nombor itu didarab dengan sendirinya kali. Jadi dua hingga kuasa kelima adalah sejuta! Sekarang bayangkan anda mempunyai pertandingan dan orang yang boleh mengira terpantas akan mendapat berjuta-juta ini... Perlu diingati kuasa nombor, bukankah anda fikir?

Contoh kehidupan sebenar #5

Anda mempunyai satu juta. Pada awal setiap tahun, anda memperoleh dua lagi untuk setiap juta. Hebat bukan? Setiap juta adalah tiga kali ganda. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam setahun? Jom kira. Tahun pertama - darab dengan, kemudian hasilnya dengan yang lain... Ia sudah membosankan, kerana anda sudah memahami segala-galanya: tiga didarab dengan sendirinya kali. Jadi kepada kuasa keempat ia adalah sama dengan satu juta. Anda hanya perlu ingat bahawa kuasa tiga hingga keempat ialah atau.

Sekarang anda tahu bahawa dengan menaikkan nombor kepada kuasa anda akan menjadikan hidup anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih lanjut tentang perkara yang boleh anda lakukan dengan ijazah dan perkara yang perlu anda ketahui tentangnya.

Terma dan konsep... supaya tidak keliru

Jadi, pertama, mari kita tentukan konsep. Adakah anda fikir apa itu eksponen? Ia sangat mudah - ia adalah nombor yang "di bahagian atas" kuasa nombor itu. Tidak saintifik, tetapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada masa yang sama, apa asas ijazah sedemikian? Lebih mudah - ini adalah nombor yang terletak di bawah, di pangkalan.

Berikut adalah lukisan untuk ukuran yang baik.

Baik masuk pandangan umum, untuk membuat generalisasi dan mengingati dengan lebih baik... Ijazah dengan asas “ ” dan eksponen “ ” dibaca sebagai “kepada darjah” dan ditulis seperti berikut:

Kuasa nombor dengan eksponen asli

Anda mungkin sudah meneka: kerana eksponen ialah nombor asli. Ya, tetapi apa itu nombor asli? peringkat rendah! Nombor asli ialah nombor yang digunakan dalam mengira apabila menyenaraikan objek: satu, dua, tiga... Apabila kita mengira objek, kita tidak berkata: "tolak lima," "tolak enam," "tolak tujuh." Kami juga tidak mengatakan: "satu pertiga", atau "sifar koma lima". Ini bukan nombor semula jadi. Apakah nombor yang anda fikir ini?

Nombor seperti "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh" merujuk kepada nombor bulat. Secara umum, integer merangkumi semua nombor asli, nombor bertentangan dengan nombor asli (iaitu, diambil dengan tanda tolak), dan nombor. Sifar mudah difahami - ia adalah apabila tiada apa-apa. Apakah maksud nombor negatif (“tolak”)? Tetapi mereka dicipta terutamanya untuk menunjukkan hutang: jika anda mempunyai baki pada telefon anda dalam rubel, ini bermakna anda berhutang dengan rubel pengendali.

Semua pecahan ialah nombor rasional. Bagaimana mereka timbul, adakah anda fikir? Sangat mudah. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita mendapati bahawa mereka kekurangan nombor semula jadi untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan nombor rasional... Menarik, bukan?

Terdapat juga nombor tidak rasional. Apakah nombor ini? Pendek kata, tidak berkesudahan perpuluhan. Sebagai contoh, jika anda membahagikan lilitan bulatan dengan diameternya, anda mendapat nombor tidak rasional.

Sambung semula:

Mari kita takrifkan konsep darjah yang eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).

1. Sebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan dirinya sendiri:
2. Untuk kuasa dua nombor bermakna mendarabnya dengan sendiri:
3. Menduakan nombor bermakna mendarabnya dengan sendirinya tiga kali:

Definisi. Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:
.

Sifat darjah

Dari mana datangnya hartanah ini? Saya akan tunjukkan sekarang.

Mari lihat: apa itu Dan ?

Mengikut definisi:

Berapakah jumlah pengganda yang ada?

Ia sangat mudah: kami menambah pengganda kepada faktor, dan hasilnya adalah pengganda.

Tetapi mengikut definisi, ini ialah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu: , yang perlu dibuktikan.

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian:

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian: Adalah penting untuk diperhatikan bahawa dalam peraturan kami Semestinya mesti ada sebab yang sama!
Oleh itu, kami menggabungkan kuasa dengan asas, tetapi ia kekal sebagai faktor yang berasingan:

hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.

2. itu sahaja kuasa ke satu nombor

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya kali, iaitu, mengikut takrifan, ini adalah kuasa nombor ke-:

Pada dasarnya, ini boleh dipanggil "mengeluarkan penunjuk daripada kurungan." Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan:

Mari kita ingat formula pendaraban yang disingkatkan: berapa kali kita mahu menulis?

Tetapi ini tidak benar, selepas semua.

Kuasa dengan asas negatif

Setakat ini, kami hanya membincangkan apa yang sepatutnya menjadi eksponen.

Tetapi apa yang harus dijadikan asas?

Dalam kuasa penunjuk semula jadi asasnya mungkin sebarang nombor. Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada positif, negatif, atau genap.

Mari kita fikirkan tentang tanda ("" atau "") yang akan mempunyai darjah nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Kami masih ingat peraturan mudah dari gred 6: "tolak untuk tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita mendarab dengan, ia berfungsi.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Adakah anda berjaya?

Berikut adalah jawapannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen dan menggunakan peraturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5) segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: selepas semua, tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud hasilnya akan sentiasa positif.

Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah!

6 contoh untuk diamalkan

Analisis penyelesaian 6 contoh

Jika kita mengabaikan kuasa kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom ingat program darjah 7. Jadi, awak ingat? Inilah rumus pendaraban yang disingkatkan iaitu perbezaan segi empat sama! Kami mendapat:

Mari kita lihat dengan teliti penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Susunan syarat adalah salah. Jika ia diterbalikkan, peraturan itu boleh digunakan.

Tetapi bagaimana untuk melakukan ini? Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Secara ajaibnya istilah bertukar tempat. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan dengan mudah.

Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada masa yang sama!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

keseluruhan kita memanggil nombor asli, bertentangan mereka (iaitu, diambil dengan tanda " ") dan nombor.

integer positif, dan ia tidak berbeza dengan semula jadi, maka semuanya kelihatan sama seperti dalam bahagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kes baru. Mari kita mulakan dengan penunjuk sama dengan.

Sebarang nombor dalam darjah sifar sama dengan satu:

Seperti biasa, marilah kita bertanya pada diri sendiri: kenapa jadi begini?

Mari kita pertimbangkan beberapa darjah dengan asas. Ambil, sebagai contoh, dan darab dengan:

Jadi, kami mendarabkan nombor itu dengan, dan kami mendapat perkara yang sama seperti - . Apakah nombor yang perlu anda darabkan supaya tiada perubahan? Betul, pada. Bermakna.

Kita boleh melakukan perkara yang sama dengan nombor sewenang-wenangnya:

Mari kita ulangi peraturan:

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu.

Tetapi terdapat pengecualian kepada banyak peraturan. Dan di sini ia juga ada - ini adalah nombor (sebagai asas).

Di satu pihak, ia mesti sama dengan mana-mana darjah - tidak kira berapa banyak anda mendarab sifar dengan sendirinya, anda masih akan mendapat sifar, ini jelas. Tetapi sebaliknya, seperti mana-mana nombor kepada kuasa sifar, ia mestilah sama. Jadi berapa banyak perkara ini benar? Ahli matematik memutuskan untuk tidak terlibat dan enggan menaikkan sifar kepada kuasa sifar. Iaitu, sekarang kita tidak boleh hanya membahagi dengan sifar, tetapi juga menaikkannya kepada kuasa sifar.

Jom teruskan. Selain nombor asli dan nombor, integer juga termasuk nombor negatif. Untuk memahami apa itu darjah negatif, mari kita lakukan seperti kali terakhir: darab beberapa nombor biasa dengan nombor yang sama dalam darjah negatif:

Dari sini adalah mudah untuk menyatakan perkara yang anda cari:

Sekarang mari kita lanjutkan peraturan yang terhasil ke tahap sewenang-wenangnya:

Jadi, mari kita rumuskan peraturan:

Nombor dengan kuasa negatif ialah kebalikan nombor yang sama dengan kuasa positif. Tetapi pada masa yang sama Pangkalan tidak boleh nol:(kerana anda tidak boleh membahagikannya).

Mari kita ringkaskan:

I. Ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.

II. Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu: .

III. Nombor yang tidak sama dengan sifar kepada kuasa negatif ialah songsangan bagi nombor yang sama kepada kuasa positif: .

Tugas untuk penyelesaian bebas:

Nah, seperti biasa, contoh untuk penyelesaian bebas:

Analisis masalah untuk penyelesaian bebas:

Saya tahu, saya tahu, nombornya menakutkan, tetapi pada Peperiksaan Negeri Bersepadu anda perlu bersedia untuk apa sahaja! Selesaikan contoh ini atau analisis penyelesaiannya jika anda tidak dapat menyelesaikannya dan anda akan belajar untuk mengatasinya dengan mudah dalam peperiksaan!

Mari kita terus mengembangkan julat nombor "sesuai" sebagai eksponen.

Sekarang mari kita pertimbangkan nombor rasional. Apakah nombor yang dipanggil rasional?

Jawapan: semua yang boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer, dan.

Untuk memahami apa itu "ijazah pecahan", pertimbangkan pecahan:

Mari kita tingkatkan kedua-dua belah persamaan kepada kuasa:

Sekarang mari kita ingat peraturan tentang "ijazah ke ijazah":

Apakah nombor yang mesti dinaikkan kepada kuasa untuk mendapatkan?

Rumusan ini ialah takrifan punca darjah ke.

Biar saya ingatkan anda: punca kuasa ke nombor () ialah nombor yang, apabila dinaikkan kepada kuasa, adalah sama dengan.

Iaitu, punca kuasa ke adalah operasi songsang menaikkan kepada kuasa: .

Ternyata begitu. Jelas sekali, kes istimewa ini boleh diperluaskan: .

Sekarang kita tambah pengangka: apakah itu? Jawapannya mudah diperoleh menggunakan peraturan kuasa-ke-kuasa:

Tetapi bolehkah asasnya menjadi sebarang nombor? Lagipun, akar tidak boleh diekstrak dari semua nombor.

tiada!

Mari kita ingat peraturan: sebarang nombor yang dinaikkan kepada kuasa genap ialah nombor positif. Iaitu, mustahil untuk mengekstrak walaupun akar daripada nombor negatif!

Ini bermakna bahawa nombor sedemikian tidak boleh dinaikkan kepada kuasa pecahan dengan penyebut genap, iaitu, ungkapan itu tidak masuk akal.

Bagaimana dengan ungkapan?

Tetapi di sini masalah timbul.

Nombor boleh diwakili sebagai pecahan lain yang boleh dikurangkan, sebagai contoh, atau.

Dan ternyata ia wujud, tetapi tidak wujud, tetapi ini hanyalah dua rekod berbeza dengan nombor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, kemudian anda boleh menulisnya. Tetapi jika kita menulis penunjuk secara berbeza, kita akan menghadapi masalah sekali lagi: (iaitu, kita mendapat hasil yang sama sekali berbeza!).

Untuk mengelakkan paradoks sedemikian, kami pertimbangkan hanya eksponen asas positif dengan eksponen pecahan.

Jadi jika:

• - nombor asli;
• - integer;

Contoh:

Eksponen rasional sangat berguna untuk mengubah ungkapan dengan akar, contohnya:

5 contoh untuk diamalkan

Analisis 5 contoh untuk latihan

Nah, sekarang datang bahagian yang paling sukar. Sekarang kita akan memikirkannya darjah dengan eksponen tidak rasional.

Semua peraturan dan sifat darjah di sini adalah sama seperti ijazah dengan eksponen rasional, kecuali

Lagipun, mengikut takrifan, nombor tak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu, nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan eksponen semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami mencipta "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa.

Sebagai contoh, ijazah dengan eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali;

...nombor kepada kuasa sifar- ini, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, mereka belum mula mendarabnya, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul - oleh itu hasilnya hanya "nombor kosong" tertentu , iaitu nombor;

...darjah integer negatif- seolah-olah beberapa "proses terbalik" telah berlaku, iaitu, bilangannya tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

Dengan cara ini, dalam sains ijazah dengan eksponen kompleks sering digunakan, iaitu, eksponen bukan nombor nyata.

Tetapi di sekolah kami tidak memikirkan tentang kesukaran sedemikian; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

DI MANA KAMI PASTI ANDA AKAN PERGI! (jika anda belajar menyelesaikan contoh sedemikian :))

Contohnya:

Tentukan sendiri:

Analisis penyelesaian:

1. Mari kita mulakan dengan peraturan biasa untuk menaikkan kuasa kepada kuasa:

Sekarang lihat penunjuk. Adakah dia tidak mengingatkan anda tentang apa-apa? Mari kita ingat formula untuk pendaraban singkatan bagi perbezaan kuasa dua:

Dalam kes ini,

Ternyata:

Jawapan: .

2. Kami mengurangkan pecahan dalam eksponen kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-dua perpuluhan biasa. Kami mendapat, sebagai contoh:

Jawapan: 16

3. Tiada apa-apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

TAHAP LANJUTAN

Penentuan ijazah

Ijazah ialah ungkapan bentuk: , di mana:

• — asas ijazah;
• - eksponen.

Darjah dengan penunjuk semula jadi (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi n bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:

Darjah dengan eksponen integer (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponen ialah integer positif nombor:

Pembinaan kepada darjah sifar:

Ungkapan itu tidak tentu, kerana, di satu pihak, pada tahap mana pun adalah ini, dan sebaliknya, sebarang nombor hingga darjah ke adalah ini.

Jika eksponen ialah integer negatif nombor:

(kerana anda tidak boleh membahagikannya).

Sekali lagi tentang sifar: ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.

Contoh:

Kuasa dengan eksponen rasional

• - nombor asli;
• - integer;

Contoh:

Sifat darjah

Untuk memudahkan menyelesaikan masalah, mari cuba fahami: dari manakah sifat ini berasal? Mari kita buktikan mereka.

Mari lihat: apakah dan?

Mengikut definisi:

Jadi, di sebelah kanan ungkapan ini kita mendapat produk berikut:

Tetapi mengikut definisi ia adalah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu:

Q.E.D.

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : .

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa dalam peraturan kami Semestinya mesti ada sebab yang sama. Oleh itu, kami menggabungkan kuasa dengan asas, tetapi ia kekal sebagai faktor yang berasingan:

Satu lagi nota penting: peraturan ini - hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Mari kumpulkan semula kerja ini seperti ini:

Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya kali, iaitu, mengikut takrifan, ini adalah kuasa nombor ke-:

Pada dasarnya, ini boleh dipanggil "mengeluarkan penunjuk daripada kurungan." Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan: !

Mari kita ingat formula pendaraban yang disingkatkan: berapa kali kita mahu menulis? Tetapi ini tidak benar, selepas semua.

Kuasa dengan asas negatif.

Setakat ini kita hanya membincangkan apa yang sepatutnya penunjuk ijazah. Tetapi apa yang harus dijadikan asas? Dalam kuasa semula jadi penunjuk asasnya mungkin sebarang nombor .

Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada positif, negatif, atau genap. Mari kita fikirkan tentang tanda ("" atau "") yang akan mempunyai darjah nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Kami masih ingat peraturan mudah dari gred 6: "tolak untuk tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita darab dengan (), kita mendapat - .

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap pendaraban berikutnya tanda akan berubah. Kita boleh merumuskan perkara berikut peraturan mudah:

1. malah ijazah, - nombor positif.
2. Nombor negatif, terbina dalam ganjil ijazah, - nombor negatif.
3. Nombor positif untuk sebarang tahap adalah nombor positif.
4. Sifar kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan sifar.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Adakah anda berjaya? Berikut adalah jawapannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen dan menggunakan peraturan yang sesuai.

Dalam contoh 5) segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: selepas semua, tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud hasilnya akan sentiasa positif. Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah. Di sini anda perlu mengetahui yang mana kurang: atau? Jika kita ingat itu, ia menjadi jelas bahawa, yang bermaksud asasnya kurang daripada sifar. Iaitu, kami menggunakan peraturan 2: hasilnya akan negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi ijazah:

Semuanya seperti biasa - kami menulis definisi darjah dan membahagikannya dengan satu sama lain, membahagikannya kepada pasangan dan dapatkan:

Sebelum kita melihat peraturan terakhir, mari kita selesaikan beberapa contoh.

Kirakan ungkapan:

Penyelesaian :

Jika kita mengabaikan kuasa kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom ingat program darjah 7. Jadi, awak ingat? Inilah rumus pendaraban yang disingkatkan iaitu perbezaan segi empat sama!

Kami mendapat:

Mari kita lihat dengan teliti penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Susunan syarat adalah salah. Jika mereka diterbalikkan, Peraturan 3 boleh digunakan. Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Jika didarabkan, tiada apa yang berubah, bukan? Tetapi sekarang ternyata seperti ini:

Secara ajaibnya istilah bertukar tempat. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan dengan mudah. Tetapi penting untuk diingat: Semua tanda berubah pada masa yang sama! Anda tidak boleh menggantikannya dengan menukar hanya satu kelemahan yang kami tidak suka!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

Jadi sekarang peraturan terakhir:

Bagaimana kita akan membuktikannya? Sudah tentu, seperti biasa: mari kita kembangkan konsep ijazah dan permudahkannya:

Nah, sekarang mari kita buka kurungan. Berapakah jumlah huruf? kali dengan pengganda - apakah perkara ini mengingatkan anda? Ini tidak lebih daripada definisi operasi pendaraban: Terdapat hanya pengganda di sana. Iaitu, ini, mengikut takrifan, ialah kuasa nombor dengan eksponen:

Contoh:

Ijazah dengan eksponen tidak rasional

Sebagai tambahan kepada maklumat tentang darjah untuk tahap purata, kami akan menganalisis ijazah dengan eksponen yang tidak rasional. Semua peraturan dan sifat darjah di sini betul-betul sama seperti untuk ijazah dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagipun, mengikut takrifan, nombor tidak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu , nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan eksponen semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami mencipta "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa. Sebagai contoh, ijazah dengan eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali; nombor kepada kuasa sifar adalah, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya kali, iaitu, mereka belum mula mendarabnya, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul lagi - oleh itu hasilnya hanya tertentu. "nombor kosong", iaitu nombor; darjah dengan eksponen negatif integer - seolah-olah beberapa "proses terbalik" telah berlaku, iaitu, nombor itu tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

Amat sukar untuk membayangkan ijazah dengan eksponen yang tidak rasional (sama seperti sukar untuk membayangkan ruang 4 dimensi). Ia adalah objek matematik semata-mata yang dicipta oleh ahli matematik untuk memperluaskan konsep darjah ke seluruh ruang nombor.

Dengan cara ini, dalam sains ijazah dengan eksponen kompleks sering digunakan, iaitu, eksponen bukan nombor nyata. Tetapi di sekolah kami tidak memikirkan tentang kesukaran sedemikian; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen yang tidak rasional? Kami cuba yang terbaik untuk menyingkirkannya!

Contohnya:

Tentukan sendiri:

1)

2)

3)

Jawapan:

1. Mari kita ingat perbezaan formula kuasa dua. Jawapan: .
2. Kami mengurangkan pecahan kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-dua pecahan biasa. Kita dapat, contohnya: .
3. Tiada apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

RINGKASAN BAHAGIAN DAN FORMULA ASAS

Ijazah dipanggil ungkapan bentuk: , di mana:

Darjah dengan eksponen integer

darjah yang eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).

Kuasa dengan eksponen rasional

darjah, eksponennya ialah nombor negatif dan pecahan.

Ijazah dengan eksponen tidak rasional

darjah yang eksponennya ialah pecahan perpuluhan tak terhingga atau punca.

Sifat darjah

Ciri-ciri darjah.

• Nombor negatif dinaikkan kepada malah ijazah, - nombor positif.
• Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
• Nombor positif ke mana-mana darjah ialah nombor positif.
• Sifar adalah sama dengan mana-mana kuasa.
• Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama.

SEKARANG ANDA MEMILIKI PERKATAAN...

Bagaimana anda suka artikel itu? Tulis di bawah dalam komen sama ada anda suka atau tidak.

Beritahu kami tentang pengalaman anda menggunakan hartanah ijazah.

Mungkin anda mempunyai soalan. Atau cadangan.

Tulis dalam komen.

Dan semoga berjaya dalam peperiksaan anda!