Pintu masukBagaimana untuk menyelesaikan contoh dengan darjah negatif. Ungkapan kuasa (ungkapan dengan kuasa) dan transformasinya
Meningkatkan kuasa negatif adalah salah satu elemen asas matematik, yang sering dijumpai dalam menyelesaikan masalah algebra. Di bawah adalah arahan terperinci.
Bagaimana untuk meningkatkan kuasa negatif - teori
Apabila kita menaikkan nombor kepada kuasa biasa, kita mendarabkan nilainya beberapa kali. Contohnya, 3 3 = 3×3×3 = 27. Dengan pecahan negatif, sebaliknya adalah benar. Bentuk umum formula adalah seperti berikut: a -n = 1/a n. Oleh itu, untuk menaikkan nombor kepada kuasa negatif, anda perlu membahagikan satu dengan nombor yang diberikan, tetapi kepada kuasa positif.
Bagaimana untuk menaikkan kepada kuasa negatif - contoh pada nombor biasa
Dengan mengingati peraturan di atas, mari kita selesaikan beberapa contoh.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Jawapan: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Jawapan -4 -2 = 1/16.
Tetapi mengapa jawapan dalam contoh pertama dan kedua adalah sama? Hakikatnya ialah apabila nombor negatif dinaikkan kepada kuasa genap (2, 4, 6, dsb.), tanda itu menjadi positif. Jika darjahnya genap, maka tolak akan kekal:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Bagaimana untuk menaikkan nombor dari 0 kepada 1 kepada kuasa negatif
Ingat bahawa apabila nombor antara 0 dan 1 dinaikkan kepada kuasa positif, nilainya berkurangan apabila kuasa meningkat. Jadi sebagai contoh, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с darjah negatif sebaliknya adalah benar. Apabila nombor perpuluhan (pecahan) dinaikkan kepada kuasa negatif, nilainya meningkat.
Contoh 3: Kira 0.5 -2
Penyelesaian: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Jawapan: 0.5 -2 = 4
Analisis (urutan tindakan):
- Tukarkan pecahan perpuluhan 0.5 kepada pecahan pecahan 1/2. Ia lebih mudah dengan cara itu.
Naikkan 1/2 kepada kuasa negatif. 1/(2) -2 . Bahagi 1 dengan 1/(2) 2, kita dapat 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
Contoh 4: Kira 0.5 -3
Penyelesaian: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Contoh 5: Kira -0.5 -3
Penyelesaian: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Jawapan: -0.5 -3 = -8
Berdasarkan contoh ke-4 dan ke-5, kita boleh membuat beberapa kesimpulan:
- Untuk nombor positif dalam julat dari 0 hingga 1 (contoh 4), dinaikkan kepada kuasa negatif, sama ada kuasa genap atau ganjil tidak penting, nilai ungkapan akan menjadi positif. Lebih-lebih lagi, semakin tinggi darjah, semakin besar nilainya.
- Untuk nombor negatif dalam julat dari 0 hingga 1 (contoh 5), dinaikkan kepada kuasa negatif, sama ada kuasa genap atau ganjil tidak penting, nilai ungkapan akan menjadi negatif. Dalam kes ini, semakin tinggi darjah, semakin rendah nilainya.
Bagaimana untuk menaikkan kepada kuasa negatif - kuasa dalam bentuk nombor pecahan
Ungkapan jenis ini mempunyai bentuk berikut: a -m/n , di mana a – nombor biasa, m ialah pengangka darjah, n ialah penyebut darjah.
Mari lihat contoh:
Kira: 8 -1/3
Penyelesaian (urutan tindakan):
- Mari kita ingat peraturan untuk menaikkan nombor kepada kuasa negatif. Kami mendapat: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Perhatikan bahawa penyebut ialah nombor 8 kepada kuasa pecahan. Bentuk umum pengiraan kuasa pecahan adalah seperti berikut: a m/n = n √8 m.
- Oleh itu, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Kami mendapat punca kubus lapan, yang sama dengan 2. Dari sini, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Jawapan: 8 -1/3 = 2
Dalam artikel ini kita akan mengetahui apa itu kuasa suatu nombor. Di sini kami akan memberikan takrifan kuasa nombor, sementara kami akan mempertimbangkan secara terperinci semua eksponen yang mungkin, bermula dengan eksponen semula jadi dan berakhir dengan eksponen yang tidak rasional. Dalam bahan tersebut anda akan dapati banyak contoh darjah, meliputi semua kehalusan yang timbul.
Navigasi halaman.
Kuasa dengan eksponen asli, kuasa dua nombor, kubus nombor
Mari mulakan dengan . Memandang ke hadapan, katakan takrif kuasa nombor a dengan eksponen asli n diberikan untuk a, yang akan kita panggil asas ijazah, dan n, yang akan kita panggil eksponen. Kami juga ambil perhatian bahawa ijazah dengan eksponen semula jadi ditentukan melalui produk, jadi untuk memahami bahan di bawah anda perlu mempunyai pemahaman tentang mendarab nombor.
Definisi.
Kuasa nombor dengan eksponen asli n ialah ungkapan bentuk a n, yang nilainya sama dengan hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan a, iaitu, .
Khususnya, kuasa nombor a dengan eksponen 1 ialah nombor a itu sendiri, iaitu, a 1 =a.
Perlu dinyatakan dengan segera tentang peraturan untuk membaca ijazah. Cara universal untuk membaca tatatanda a n ialah: “a kepada kuasa n”. Dalam sesetengah kes, pilihan berikut juga boleh diterima: "a kepada kuasa ke-n" dan "kekuasaan ke-n". Sebagai contoh, mari kita ambil kuasa 8 12, ini ialah "lapan kepada kuasa dua belas", atau "lapan kepada kuasa kedua belas", atau "kuasa kedua belas daripada lapan".
Kuasa kedua nombor, serta kuasa ketiga nombor, mempunyai nama mereka sendiri. Kuasa kedua nombor dipanggil kuasa dua nombor itu, sebagai contoh, 7 2 dibaca sebagai "tujuh kuasa dua" atau "kuasa dua bagi nombor tujuh." Kuasa ketiga nombor dipanggil nombor kubus, sebagai contoh, 5 3 boleh dibaca sebagai "lima kubus" atau anda boleh menyebut "kubus nombor 5".
Sudah tiba masanya untuk membawa contoh darjah dengan eksponen semula jadi. Mari kita mulakan dengan darjah 5 7, di sini 5 ialah asas darjah, dan 7 ialah eksponen. Mari kita berikan satu lagi contoh: 4.32 ialah asas, dan nombor asli 9 ialah eksponen (4.32) 9 .
Sila ambil perhatian bahawa dalam contoh terakhir asas kuasa 4.32 ditulis dalam kurungan: untuk mengelakkan percanggahan, kami akan meletakkan dalam kurungan semua asas kuasa yang berbeza daripada nombor asli. Sebagai contoh, kami memberikan darjah berikut dengan eksponen semula jadi 
, asasnya bukan nombor asli, jadi ia ditulis dalam kurungan. Nah, untuk kejelasan sepenuhnya, pada ketika ini kami akan menunjukkan perbezaan yang terkandung dalam rekod bentuk (−2) 3 dan −2 3. Ungkapan (−2) 3 ialah kuasa −2 dengan eksponen semula jadi 3, dan ungkapan −2 3 (ia boleh ditulis sebagai −(2 3) ) sepadan dengan nombor, nilai kuasa 2 3 .
Perhatikan bahawa terdapat tatatanda bagi kuasa nombor a dengan eksponen n bentuk a^n. Selain itu, jika n ialah nombor asli berbilang nilai, maka eksponen diambil dalam kurungan. Sebagai contoh, 4^9 ialah tatatanda lain untuk kuasa 4 9 . Dan berikut ialah beberapa lagi contoh penulisan darjah menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Dalam perkara berikut, kami akan menggunakan tatatanda darjah bentuk a n .
Salah satu masalah songsang untuk menaikkan kepada kuasa dengan eksponen semula jadi ialah masalah mencari asas kuasa dengan nilai yang diketahui darjah dan penunjuk yang diketahui. Tugasan ini membawa kepada .
Adalah diketahui bahawa set nombor rasional terdiri daripada integer dan pecahan, dan setiap pecahan boleh diwakili sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Kami mentakrifkan darjah dengan eksponen integer dalam perenggan sebelumnya, oleh itu, untuk melengkapkan definisi darjah dengan eksponen rasional, kami perlu memberi makna kepada kuasa nombor a dengan eksponen pecahan m/n, di mana m ialah integer dan n ialah nombor asli. Jom buat ini.
Mari kita pertimbangkan ijazah dengan eksponen pecahan bentuk . Untuk harta kuasa kepada kuasa kekal sah, kesaksamaan mesti dipegang 
. Jika kita mengambil kira kesaksamaan yang terhasil dan bagaimana kita menentukan , maka adalah logik untuk menerimanya dengan syarat untuk diberikan m, n dan a ungkapan itu masuk akal.
Adalah mudah untuk menyemak bahawa semua sifat ijazah dengan eksponen integer adalah sah (ini dilakukan dalam sifat bahagian ijazah dengan eksponen rasional).
Alasan di atas membolehkan kita membuat perkara berikut kesimpulan: jika diberi m, n dan a ungkapan itu masuk akal, maka kuasa a dengan eksponen pecahan m/n dipanggil punca ke-n a kepada kuasa m.
Pernyataan ini membawa kita hampir kepada definisi ijazah dengan eksponen pecahan. Apa yang tinggal adalah untuk menerangkan apa yang m, n dan a ungkapan itu masuk akal. Bergantung pada sekatan yang diletakkan pada m, n dan a, terdapat dua pendekatan utama.
Cara paling mudah ialah mengenakan kekangan pada a dengan mengambil a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (kerana untuk m≤0 darjah 0 m tidak ditakrifkan). Kemudian kita mendapat takrif berikut bagi ijazah dengan eksponen pecahan.
Definisi.
Kuasa nombor positif a dengan eksponen pecahan m/n, di mana m ialah integer dan n ialah nombor asli, dipanggil punca ke-n bagi nombor a kepada kuasa m, iaitu, .
Kuasa pecahan sifar juga ditentukan dengan satu-satunya kaveat bahawa penunjuk mesti positif.
Definisi.
Kuasa sifar dengan eksponen positif pecahan m/n, dengan m ialah integer positif dan n ialah nombor asli, ditakrifkan sebagai 
.
Apabila darjah tidak ditentukan, iaitu darjah nombor sifar dengan eksponen negatif pecahan tidak masuk akal.
Perlu diingat bahawa dengan takrifan darjah dengan eksponen pecahan ini, terdapat satu kaveat: untuk sesetengah a negatif dan beberapa m dan n, ungkapan itu masuk akal, dan kami membuang kes ini dengan memperkenalkan keadaan a≥0. Sebagai contoh, entri itu masuk akal 
atau , dan takrifan yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahawa kuasa dengan eksponen pecahan bentuk 
tidak masuk akal, kerana asasnya tidak boleh negatif.
Satu lagi pendekatan untuk menentukan darjah dengan eksponen pecahan m/n ialah mempertimbangkan secara berasingan eksponen genap dan ganjil punca. Pendekatan ini memerlukan syarat tambahan: kuasa nombor a, eksponennya, dianggap sebagai kuasa nombor a, eksponennya ialah pecahan tak dapat dikurangkan yang sepadan (kepentingan syarat ini akan diterangkan di bawah). Iaitu, jika m/n ialah pecahan tidak boleh dikurangkan, maka bagi sebarang nombor asli k darjah digantikan dengan .
Untuk n genap dan m positif, ungkapan itu masuk akal untuk mana-mana bukan negatif a (akar genap bagi nombor negatif tidak masuk akal untuk m negatif, nombor a mesti masih berbeza daripada sifar (jika tidak akan ada pembahagian). dengan sifar). Dan bagi n ganjil dan m positif, nombor a boleh menjadi sebarang (akar darjah ganjil ditakrifkan untuk sebarang nombor nyata), dan untuk m negatif, nombor a mestilah bukan sifar (supaya tiada pembahagian dengan sifar).
Alasan di atas membawa kita kepada takrifan ijazah dengan eksponen pecahan ini.
Definisi.
Biarkan m/n ialah pecahan tak boleh dikurangkan, m integer, dan n nombor asli. Bagi mana-mana pecahan boleh dikurangkan, darjah digantikan dengan . Kuasa nombor dengan eksponen pecahan tidak boleh dikurangkan m/n adalah untuk
Mari kita terangkan mengapa ijazah dengan eksponen pecahan boleh dikurangkan mula-mula digantikan dengan darjah dengan eksponen tidak boleh dikurangkan. Jika kita hanya mentakrifkan darjah sebagai , dan tidak membuat tempahan tentang ketidakterurangan pecahan m/n, maka kita akan berhadapan dengan situasi yang serupa dengan yang berikut: kerana 6/10 = 3/5, maka kesamaan mesti dipegang 
, Tetapi 
, A .
Meneruskan perbualan tentang kuasa nombor, adalah logik untuk memikirkan cara mencari nilai kuasa itu. Proses ini dipanggil eksponen. Dalam artikel ini kita akan mengkaji bagaimana eksponen dilakukan, sementara kita akan menyentuh semua eksponen yang mungkin - semula jadi, integer, rasional dan tidak rasional. Dan mengikut tradisi, kami akan mempertimbangkan secara terperinci penyelesaian kepada contoh menaikkan nombor kepada pelbagai kuasa.
Navigasi halaman.
Apakah maksud "pengembangan"?
Mari kita mulakan dengan menerangkan apa yang dipanggil eksponensial. Berikut adalah definisi yang berkaitan.
Definisi.
Eksponensiasi- ini adalah mencari nilai kuasa nombor.
Oleh itu, mencari nilai kuasa nombor a dengan eksponen r dan menaikkan nombor a kepada kuasa r adalah perkara yang sama. Sebagai contoh, jika tugasan ialah "kira nilai kuasa (0.5) 5," maka ia boleh dirumuskan semula seperti berikut: "Naikkan nombor 0.5 kepada kuasa 5."
Kini anda boleh pergi terus ke peraturan yang eksponenisasi dilakukan.
Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi
Dalam amalan, kesaksamaan berdasarkan biasanya digunakan dalam bentuk . Iaitu, apabila menaikkan nombor a kepada kuasa pecahan m/n, mula-mula punca ke-n nombor a diambil, selepas itu hasil yang terhasil dinaikkan kepada kuasa integer m.
Mari kita lihat penyelesaian kepada contoh peningkatan kepada kuasa pecahan.
Contoh.
Kira nilai darjah.
Penyelesaian.
Kami akan menunjukkan dua penyelesaian.
Cara pertama. Mengikut takrifan darjah dengan eksponen pecahan. Kami mengira nilai darjah di bawah tanda akar, dan kemudian ekstrak akar kubus: 
.
Cara kedua. Mengikut takrifan darjah dengan eksponen pecahan dan berdasarkan sifat punca, persamaan berikut adalah benar: 
. Sekarang kita ekstrak akarnya 
, akhirnya, kami menaikkannya kepada kuasa integer 
.
Jelas sekali, hasil yang diperoleh untuk menaikkan kepada kuasa pecahan bertepatan.
Jawapan:
Ambil perhatian bahawa eksponen pecahan boleh ditulis sebagai pecahan perpuluhan atau nombor bercampur, dalam kes ini ia harus digantikan dengan pecahan biasa yang sepadan, dan kemudian dinaikkan kepada kuasa.
Contoh.
Kira (44.89) 2.5.
Penyelesaian.
Mari kita tulis eksponen dalam bentuk pecahan biasa (jika perlu, lihat artikel): 
. Sekarang kita melakukan peningkatan kepada kuasa pecahan: 
Jawapan:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Ia juga harus dikatakan bahawa menaikkan nombor kepada kuasa rasional adalah proses yang agak intensif buruh (terutamanya apabila pengangka dan penyebut eksponen pecahan mengandungi beberapa nombor besar), yang biasanya dijalankan menggunakan teknologi komputer.
Untuk menyimpulkan perkara ini, marilah kita memikirkan untuk menaikkan nombor sifar kepada kuasa pecahan. Kami memberikan makna berikut kepada kuasa pecahan sifar bentuk: apabila kami mempunyai 
, dan pada sifar kepada kuasa m/n tidak ditakrifkan. Jadi, sifar kepada kuasa positif pecahan adalah sifar, sebagai contoh, 
. Dan sifar dalam kuasa negatif pecahan tidak masuk akal, sebagai contoh, ungkapan 0 -4.3 tidak masuk akal.
Meningkatkan kuasa yang tidak rasional
Kadangkala ia menjadi perlu untuk mengetahui nilai kuasa nombor dengan eksponen tidak rasional. Dalam kes ini, untuk tujuan praktikal biasanya mencukupi untuk mendapatkan nilai darjah yang tepat kepada tanda tertentu. Mari kita ambil perhatian dengan segera bahawa dalam amalan nilai ini dikira menggunakan komputer elektronik, kerana menaikkannya kepada kuasa tidak rasional secara manual memerlukan kuantiti yang banyak pengiraan yang menyusahkan. Tetapi tetap kami akan menerangkan dalam garis besar umum intipati tindakan.
Untuk mendapatkan nilai anggaran kuasa nombor a dengan eksponen tidak rasional, beberapa anggaran perpuluhan bagi eksponen diambil dan nilai kuasa dikira. Nilai ini ialah nilai anggaran kuasa nombor a dengan eksponen tidak rasional. Lebih tepat anggaran perpuluhan nombor diambil pada mulanya, lebih banyak nilai yang tepat ijazah akan diperolehi akhirnya.
Sebagai contoh, mari kita hitung nilai anggaran kuasa 2 1.174367... . Mari kita ambil penghampiran perpuluhan berikut bagi eksponen tidak rasional: . Sekarang kita naikkan 2 kepada kuasa rasional 1.17 (kami menerangkan intipati proses ini dalam perenggan sebelumnya), kami mendapat 2 1.17 ≈2.250116. Oleh itu, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jika kita mengambil anggaran perpuluhan yang lebih tepat bagi eksponen tidak rasional, sebagai contoh, maka kita memperoleh nilai yang lebih tepat bagi eksponen asal: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Rujukan.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematik untuk tingkatan 5. institusi pendidikan.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: buku teks untuk darjah 7. institusi pendidikan.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: buku teks untuk darjah 8. institusi pendidikan.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: buku teks untuk darjah 9. institusi pendidikan.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Algebra dan permulaan analisis: Buku teks untuk gred 10 - 11 institusi pendidikan am.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik).
Tahap kemasukan
Ijazah dan sifatnya. Panduan yang komprehensif (2019)
Mengapakah ijazah diperlukan? Di manakah anda memerlukannya? Mengapa anda perlu meluangkan masa untuk mempelajarinya?
Untuk mempelajari segala-galanya tentang ijazah, kegunaannya, cara menggunakan pengetahuan anda kehidupan seharian baca artikel ini.
Dan, sudah tentu, pengetahuan tentang ijazah akan membawa anda lebih dekat berjaya disiapkan OGE atau Peperiksaan Negeri Bersepadu dan kemasukan ke universiti idaman anda.
Jom... (Jom!)
Nota penting! Jika anda melihat gobbledygook dan bukannya formula, kosongkan cache anda. Untuk melakukan ini, tekan CTRL+F5 (pada Windows) atau Cmd+R (pada Mac).
PERINGKAT PENYERTAAN
Meningkatkan kuasa adalah sama operasi matematik seperti penambahan, penolakan, pendaraban atau pembahagian.
Sekarang saya akan menerangkan semuanya bahasa manusia sangat contoh mudah. Berhati-hati. Contohnya adalah asas, tetapi menerangkan perkara penting.
Mari kita mulakan dengan penambahan.
Tiada apa yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segala-galanya: terdapat lapan daripada kami. Setiap orang mempunyai dua botol cola. Berapa banyak cola yang ada? Betul - 16 botol.
Sekarang pendaraban.
Contoh yang sama dengan cola boleh ditulis secara berbeza: . Ahli matematik adalah orang yang licik dan pemalas. Mereka mula-mula melihat beberapa corak, dan kemudian memikirkan cara untuk "mengira" mereka dengan lebih cepat. Dalam kes kami, mereka menyedari bahawa setiap lapan orang mempunyai bilangan botol kola yang sama dan menghasilkan teknik yang dipanggil pendaraban. Setuju, ia dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.
Jadi, untuk mengira lebih cepat, lebih mudah dan tanpa ralat, anda hanya perlu ingat jadual darab. Sudah tentu, anda boleh melakukan segala-galanya dengan lebih perlahan, lebih sukar dan dengan kesilapan! Tetapi…
Berikut ialah jadual pendaraban. ulang.
Dan satu lagi, lebih cantik:
Apakah helah pengiraan yang bijak lain yang telah dibuat oleh ahli matematik yang malas? Betul - menaikkan nombor kepada kuasa.
Menaikkan nombor kepada kuasa
Jika anda perlu mendarab nombor dengan sendirinya lima kali, maka ahli matematik mengatakan bahawa anda perlu menaikkan nombor itu kepada kuasa kelima. Contohnya, . Ahli matematik ingat bahawa kuasa dua hingga kelima ialah... Dan mereka menyelesaikan masalah sedemikian di kepala mereka - lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesilapan.
Apa yang perlu anda lakukan ialah ingat apa yang diserlahkan dalam warna dalam jadual kuasa nombor. Percayalah, ini akan menjadikan hidup anda lebih mudah.
By the way, kenapa dipanggil ijazah kedua? segi empat sama nombor, dan yang ketiga - kiub? Apakah maksudnya? sangat soalan yang bagus. Sekarang anda akan mempunyai kedua-dua segi empat sama dan kiub.
Contoh kehidupan sebenar #1
Mari kita mulakan dengan kuasa dua atau kuasa kedua nombor itu.
Bayangkan kolam persegi berukuran satu meter dengan satu meter. Kolam renang berada di dacha anda. Panas dan saya sangat ingin berenang. Tetapi... kolam itu tidak mempunyai dasar! Anda perlu menutup bahagian bawah kolam dengan jubin. Berapa banyak jubin yang anda perlukan? Untuk menentukan ini, anda perlu mengetahui kawasan bawah kolam.
Anda hanya boleh mengira dengan menuding jari anda bahawa bahagian bawah kolam terdiri daripada kiub meter demi meter. Jika anda mempunyai jubin satu meter dengan satu meter, anda memerlukan kepingan. Mudah sahaja... Tetapi di manakah anda pernah melihat jubin sedemikian? Jubin itu kemungkinan besar akan menjadi cm demi cm Dan kemudian anda akan diseksa dengan "mengira dengan jari anda." Kemudian anda perlu membiak. Jadi, pada satu sisi bahagian bawah kolam kita akan muat jubin (kepingan) dan di sisi lain juga, jubin. Darab dengan dan anda mendapat jubin ().
Adakah anda perasan bahawa untuk menentukan luas dasar kolam kita mendarabkan nombor yang sama dengan sendirinya? Apakah maksudnya? Oleh kerana kita mendarab nombor yang sama, kita boleh menggunakan teknik "pengembangan". (Sudah tentu, apabila anda hanya mempunyai dua nombor, anda masih perlu mendarabnya atau menaikkannya kepada kuasa. Tetapi jika anda mempunyai banyak nombor, maka menaikkannya kepada kuasa adalah lebih mudah dan terdapat juga lebih sedikit ralat dalam pengiraan . Untuk Peperiksaan Negeri Bersatu, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh kepada kuasa kedua akan menjadi (). Atau kita boleh mengatakan bahawa tiga puluh kuasa dua akan menjadi. Dalam erti kata lain, kuasa kedua nombor sentiasa boleh diwakili sebagai segi empat sama. Dan sebaliknya, jika anda melihat segi empat sama, ia SENTIASA kuasa kedua bagi beberapa nombor. Segi empat sama ialah imej kuasa kedua bagi suatu nombor.
Contoh kehidupan sebenar #2
Berikut ialah tugas untuk anda: kira berapa banyak petak yang terdapat pada papan catur menggunakan petak nombor itu... Pada satu sisi sel dan pada sebelah yang lain juga. Untuk mengira bilangan mereka, anda perlu mendarab lapan dengan lapan atau... jika anda perasan bahawa papan catur ialah segi empat sama dengan sisi, maka anda boleh kuasa dua lapan. Anda akan mendapat sel. () Jadi?
Contoh kehidupan sebenar #3
Kini kubus atau kuasa ketiga nombor. Kolam yang sama. Tetapi sekarang anda perlu mengetahui berapa banyak air yang perlu dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu mengira isipadu. (Jumlah dan cecair, dengan cara ini, diukur dalam meter padu. Tidak dijangka, bukan?) Lukis kolam: bahagian bawah adalah bersaiz meter dan dalam satu meter, dan cuba kira berapa banyak kiub berukuran satu meter dengan satu meter akan muat ke dalam kolam anda.
Hanya tuding jari anda dan mengira! Satu, dua, tiga, empat...dua puluh dua, dua puluh tiga...Berapa yang awak dapat? Tidak hilang? Adakah sukar untuk mengira dengan jari anda? Itu sahaja! Ambil contoh daripada ahli matematik. Mereka malas, jadi mereka perasan bahawa untuk mengira isipadu kolam, anda perlu mendarabkan panjang, lebar dan ketinggiannya dengan satu sama lain. Dalam kes kami, isipadu kolam akan sama dengan kiub... Lebih mudah, bukan?
Sekarang bayangkan betapa malas dan licik ahli matematik jika mereka memudahkan perkara ini juga. Kami mengurangkan segala-galanya kepada satu tindakan. Mereka perasan bahawa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan nombor yang sama didarab dengan sendirinya... Apakah maksudnya? Ini bermakna anda boleh memanfaatkan ijazah tersebut. Jadi, apa yang pernah anda hitung dengan jari anda, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga kiub adalah sama. Tertulis begini: .
Yang tinggal hanyalah ingat jadual darjah. Kecuali, sudah tentu, anda malas dan licik seperti ahli matematik. Jika anda suka bekerja keras dan melakukan kesilapan, anda boleh terus mengira dengan jari anda.
Nah, untuk akhirnya meyakinkan anda bahawa ijazah dicipta oleh orang yang berhenti dan orang yang licik untuk menyelesaikannya masalah hidup, dan bukan untuk menimbulkan masalah untuk anda, berikut adalah beberapa lagi contoh kehidupan.
Contoh kehidupan sebenar #4
Anda mempunyai satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, untuk setiap juta yang anda hasilkan, anda membuat satu juta lagi. Iaitu, setiap juta anda mempunyai dua kali ganda pada awal setiap tahun. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam beberapa tahun? Jika anda duduk sekarang dan "mengira dengan jari anda," maka anda seorang yang sangat rajin dan... bodoh. Tetapi kemungkinan besar anda akan memberikan jawapan dalam beberapa saat, kerana anda bijak! Jadi, pada tahun pertama - dua didarab dengan dua ... pada tahun kedua - apa yang berlaku, dengan dua lagi, pada tahun ketiga ... Berhenti! Anda perasan bahawa nombor itu didarab dengan sendirinya kali. Jadi dua hingga kuasa kelima adalah sejuta! Sekarang bayangkan anda mempunyai pertandingan dan orang yang boleh mengira terpantas akan mendapat berjuta-juta ini... Perlu diingati kuasa nombor, bukankah anda fikir?
Contoh kehidupan sebenar #5
Anda mempunyai satu juta. Pada awal setiap tahun, anda memperoleh dua lagi untuk setiap juta. Hebat bukan? Setiap juta adalah tiga kali ganda. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam setahun? Jom kira. Tahun pertama - darab dengan, kemudian hasilnya dengan yang lain... Ia sudah membosankan, kerana anda sudah memahami segala-galanya: tiga didarab dengan sendirinya kali. Jadi kepada kuasa keempat ia adalah sama dengan satu juta. Anda hanya perlu ingat bahawa kuasa tiga hingga keempat ialah atau.
Sekarang anda tahu bahawa dengan menaikkan nombor kepada kuasa anda akan menjadikan hidup anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih lanjut tentang perkara yang boleh anda lakukan dengan ijazah dan perkara yang anda perlu tahu tentangnya.
Terma dan konsep... supaya tidak keliru
Jadi, pertama, mari kita tentukan konsep. Adakah anda fikir apa itu eksponen? Ia sangat mudah - ia adalah nombor yang "di bahagian atas" kuasa nombor itu. Tidak saintifik, tetapi jelas dan mudah diingat...
Nah, pada masa yang sama, apa asas ijazah sedemikian? Lebih mudah - ini adalah nombor yang terletak di bawah, di pangkalan.
Berikut adalah lukisan untuk ukuran yang baik.
Baik masuk pandangan umum, untuk membuat generalisasi dan mengingati dengan lebih baik... Ijazah dengan asas “ ” dan eksponen “ ” dibaca sebagai “kepada darjah” dan ditulis seperti berikut:
Kuasa nombor dengan eksponen asli
Anda mungkin sudah meneka: kerana eksponen ialah nombor asli. Ya, tetapi apa itu nombor asli? peringkat rendah! Nombor asli ialah nombor yang digunakan dalam mengira apabila menyenaraikan objek: satu, dua, tiga... Apabila kita mengira objek, kita tidak berkata: "tolak lima," "tolak enam," "tolak tujuh." Kami juga tidak mengatakan: "satu pertiga", atau "sifar koma lima". Ini bukan nombor semula jadi. Apakah nombor yang anda fikir ini?
Nombor seperti "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh" merujuk kepada nombor bulat. Secara umum, integer merangkumi semua nombor asli, nombor bertentangan dengan nombor asli (iaitu, diambil dengan tanda tolak), dan nombor. Sifar mudah difahami - ia adalah apabila tiada apa-apa. Apakah maksud nombor negatif (“tolak”)? Tetapi mereka dicipta terutamanya untuk menunjukkan hutang: jika anda mempunyai baki pada telefon anda dalam rubel, ini bermakna anda berhutang dengan rubel pengendali.
Semua pecahan ialah nombor rasional. Bagaimana mereka timbul, adakah anda fikir? Sangat mudah. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita mendapati bahawa mereka kekurangan nombor semula jadi untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan nombor rasional... Menarik, bukan?
Ada lagi nombor tidak rasional. Apakah nombor ini? Pendek kata, tidak berkesudahan perpuluhan. Sebagai contoh, jika anda membahagikan lilitan bulatan dengan diameternya, anda mendapat nombor tidak rasional.
Sambung semula:
Mari kita takrifkan konsep darjah yang eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).
- Sebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan dirinya sendiri:
- Untuk kuasa dua nombor bermakna mendarabnya dengan sendiri:
- Menduakan nombor bermakna mendarabnya dengan sendirinya tiga kali:
Definisi. Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:
.
Sifat darjah
Dari mana datangnya hartanah ini? Saya akan tunjukkan sekarang.
Mari lihat: apa itu Dan ?
Mengikut definisi:
Berapakah jumlah pengganda yang ada?
Ia sangat mudah: kami menambah pengganda kepada faktor, dan hasilnya adalah pengganda.
Tetapi mengikut takrifan, ini ialah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu: , yang perlu dibuktikan.
Contoh: Permudahkan ungkapan.
Penyelesaian:
Contoh: Permudahkan ungkapan.
Penyelesaian: Adalah penting untuk diperhatikan bahawa dalam peraturan kami Semestinya mesti ada sebab yang sama!
Oleh itu, kami menggabungkan kuasa dengan asas, tetapi ia kekal sebagai faktor yang berasingan:
hanya untuk produk kuasa!
Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.
2. itu sahaja kuasa ke satu nombor
Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:
Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya kali, iaitu, mengikut definisi, ini adalah kuasa ke-1 nombor:
Pada dasarnya, ini boleh dipanggil "mengeluarkan penunjuk daripada kurungan." Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan:
Mari kita ingat formula pendaraban yang disingkatkan: berapa kali kita mahu menulis?
Tetapi ini tidak benar, selepas semua.
Kuasa dengan asas negatif
Setakat ini, kami hanya membincangkan apa yang sepatutnya menjadi eksponen.
Tetapi apa yang harus dijadikan asas?
Dalam kuasa penunjuk semula jadi asasnya mungkin sebarang nombor. Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada positif, negatif, atau genap.
Mari kita fikirkan tentang tanda ("" atau "") yang akan mempunyai kuasa nombor positif dan negatif?
Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ? Yang pertama adalah jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif Kami tidak mendarab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.
Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Kami masih ingat peraturan mudah dari gred 6: "tolak untuk tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita mendarab dengan, ia berfungsi.
Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Adakah anda berjaya?
Berikut adalah jawapannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen dan menggunakan peraturan yang sesuai.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Dalam contoh 5) segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: selepas semua, tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud hasilnya akan sentiasa positif.
Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).
Contoh 6) tidak lagi begitu mudah!
6 contoh untuk diamalkan
Analisis penyelesaian 6 contoh
Jika kita mengabaikan kuasa kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom ingat program darjah 7. Jadi, awak ingat? Inilah rumus pendaraban yang disingkatkan iaitu perbezaan segi empat sama! Kami mendapat:
Mari kita lihat dengan teliti penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Susunan syarat adalah salah. Jika ia diterbalikkan, peraturan itu boleh digunakan.
Tetapi bagaimana untuk melakukan ini? Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.
Secara ajaibnya istilah bertukar tempat. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan dengan mudah.
Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada masa yang sama!
Mari kita kembali kepada contoh:
Dan sekali lagi formula:
keseluruhan kita memanggil nombor asli, bertentangan mereka (iaitu, diambil dengan tanda " ") dan nombor.
integer positif, dan ia tidak berbeza dengan semula jadi, maka semuanya kelihatan sama seperti dalam bahagian sebelumnya.
Sekarang mari kita lihat kes baru. Mari kita mulakan dengan penunjuk sama dengan.
Sebarang nombor dalam darjah sifar sama dengan satu:
Seperti biasa, marilah kita bertanya kepada diri sendiri: kenapa jadi begini?
Mari kita pertimbangkan beberapa darjah dengan asas. Ambil, sebagai contoh, dan darab dengan:
Jadi, kami mendarabkan nombor itu dengan, dan kami mendapat perkara yang sama seperti - . Apakah nombor yang perlu anda darabkan supaya tiada perubahan? Betul, pada. Bermakna.
Kita boleh melakukan perkara yang sama dengan nombor sewenang-wenangnya:
Mari kita ulangi peraturan:
Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu.
Tetapi terdapat pengecualian kepada banyak peraturan. Dan di sini ia juga ada - ini adalah nombor (sebagai asas).
Di satu pihak, ia mesti sama dengan mana-mana darjah - tidak kira berapa banyak anda mendarab sifar dengan sendirinya, anda masih akan mendapat sifar, ini jelas. Tetapi sebaliknya, seperti mana-mana nombor kepada kuasa sifar, ia mestilah sama. Jadi berapa banyak perkara ini benar? Ahli matematik memutuskan untuk tidak terlibat dan enggan menaikkan sifar kepada kuasa sifar. Iaitu, sekarang kita tidak boleh hanya membahagi dengan sifar, tetapi juga menaikkannya kepada kuasa sifar.
Jom teruskan. Selain nombor asli dan nombor, integer juga termasuk nombor negatif. Untuk memahami apa itu kuasa negatif, mari kita lakukan seperti kali terakhir: darab beberapa nombor biasa dengan nombor yang sama kepada kuasa negatif:
Dari sini adalah mudah untuk menyatakan perkara yang anda cari:
Sekarang mari kita lanjutkan peraturan yang terhasil ke tahap sewenang-wenangnya:
Jadi, mari kita rumuskan peraturan:
Nombor dengan kuasa negatif ialah kebalikan nombor yang sama dengan kuasa positif. Tetapi pada masa yang sama Pangkalan tidak boleh nol:(kerana anda tidak boleh membahagikannya).
Mari kita ringkaskan:
I. Ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.
II. Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu: .
III. Nombor yang tidak sama dengan sifar kepada kuasa negatif ialah songsangan bagi nombor yang sama kepada kuasa positif: .
Tugas untuk penyelesaian bebas:
Nah, seperti biasa, contoh untuk penyelesaian bebas:
Analisis masalah untuk penyelesaian bebas:
Saya tahu, saya tahu, nombornya menakutkan, tetapi pada Peperiksaan Negeri Bersepadu anda perlu bersedia untuk apa sahaja! Selesaikan contoh ini atau analisis penyelesaiannya jika anda tidak dapat menyelesaikannya dan anda akan belajar untuk mengatasinya dengan mudah dalam peperiksaan!
Mari kita terus mengembangkan julat nombor "sesuai" sebagai eksponen.
Sekarang mari kita pertimbangkan nombor rasional. Apakah nombor yang dipanggil rasional?
Jawapan: semua yang boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer, dan.
Untuk memahami apa itu "ijazah pecahan", pertimbangkan pecahan:
Mari kita tingkatkan kedua-dua belah persamaan kepada kuasa:
Sekarang mari kita ingat peraturan tentang "ijazah ke ijazah":
Apakah nombor yang mesti dinaikkan kepada kuasa untuk mendapatkan?
Rumusan ini ialah takrifan punca darjah ke.
Biar saya ingatkan anda: punca kuasa ke satu nombor () ialah nombor yang, apabila dinaikkan kepada kuasa, adalah sama dengan.
Iaitu, punca kuasa ke adalah operasi songsang menaikkan kepada kuasa: .
Ternyata begitu. Jelas sekali, kes istimewa ini boleh diperluaskan: .
Sekarang kita tambah pengangka: apakah itu? Jawapannya mudah diperoleh menggunakan peraturan kuasa-ke-kuasa:
Tetapi bolehkah asasnya menjadi sebarang nombor? Lagipun, akar tidak boleh diekstrak dari semua nombor.
tiada!
Mari kita ingat peraturan: sebarang nombor yang dinaikkan kepada kuasa genap ialah nombor positif. Iaitu, mustahil untuk mengekstrak walaupun akar daripada nombor negatif!
Ini bermakna bahawa nombor sedemikian tidak boleh dinaikkan kepada kuasa pecahan dengan penyebut genap, iaitu, ungkapan itu tidak masuk akal.
Bagaimana dengan ungkapan?
Tetapi di sini masalah timbul.
Nombor itu boleh diwakili dalam bentuk pecahan lain yang boleh dikurangkan, contohnya, atau.
Dan ternyata ia wujud, tetapi tidak wujud, tetapi ini hanyalah dua rekod berbeza dengan nombor yang sama.
Atau contoh lain: sekali, kemudian anda boleh menulisnya. Tetapi jika kita menulis penunjuk secara berbeza, kita akan menghadapi masalah sekali lagi: (iaitu, kita mendapat hasil yang sama sekali berbeza!).
Untuk mengelakkan paradoks sedemikian, kami pertimbangkan hanya eksponen asas positif dengan eksponen pecahan.
Jadi jika:
- - nombor asli;
- - integer;
Contoh:
Eksponen rasional sangat berguna untuk mengubah ungkapan dengan akar, contohnya:
5 contoh untuk diamalkan
Analisis 5 contoh untuk latihan
Nah, sekarang datang bahagian yang paling sukar. Sekarang kita akan memikirkannya darjah dengan eksponen tidak rasional.
Semua peraturan dan sifat darjah di sini adalah sama seperti ijazah dengan eksponen rasional, kecuali
Lagipun, mengikut takrifan, nombor tak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu, nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).
Apabila mempelajari ijazah dengan eksponen semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami mencipta "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa.
Sebagai contoh, ijazah dengan eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali;
...nombor kepada kuasa sifar- ini, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, mereka belum mula mendarabnya, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul - oleh itu hasilnya hanya "nombor kosong" tertentu , iaitu nombor;
...darjah integer negatif- seolah-olah beberapa "proses terbalik" telah berlaku, iaitu, bilangannya tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.
Dengan cara ini, dalam sains ijazah dengan eksponen kompleks sering digunakan, iaitu, eksponen bukan nombor nyata.
Tetapi di sekolah kami tidak memikirkan tentang kesukaran sedemikian; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.
DI MANA KAMI PASTI ANDA AKAN PERGI! (jika anda belajar menyelesaikan contoh sedemikian :))
Contohnya:
Tentukan sendiri:
Analisis penyelesaian:
1. Mari kita mulakan dengan peraturan biasa untuk menaikkan kuasa kepada kuasa:
Sekarang lihat penunjuk. Adakah dia tidak mengingatkan anda tentang apa-apa? Mari kita ingat formula untuk pendaraban singkatan bagi perbezaan kuasa dua:
Dalam kes ini,
Ternyata:
Jawapan: .
2. Kami mengurangkan pecahan dalam eksponen kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-dua perpuluhan biasa. Kami mendapat, sebagai contoh:
Jawapan: 16
3. Tiada apa-apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:
TAHAP LANJUTAN
Penentuan ijazah
Ijazah ialah ungkapan bentuk: , di mana:
- — asas ijazah;
- - eksponen.
Darjah dengan penunjuk semula jadi (n = 1, 2, 3,...)
Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi n bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:
Darjah dengan eksponen integer (0, ±1, ±2,...)
Jika eksponen ialah integer positif nombor:
Pembinaan kepada darjah sifar:
Ungkapan itu tidak tentu, kerana, di satu pihak, pada tahap mana pun adalah ini, dan sebaliknya, sebarang nombor hingga darjah ke adalah ini.
Jika eksponen ialah integer negatif nombor:
(kerana anda tidak boleh membahagikannya).
Sekali lagi tentang sifar: ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.
Contoh:
Kuasa dengan eksponen rasional
- - nombor asli;
- - integer;
Contoh:
Sifat darjah
Untuk memudahkan menyelesaikan masalah, mari cuba fahami: dari manakah sifat ini berasal? Mari kita buktikan mereka.
Mari lihat: apakah dan?
Mengikut definisi:
Jadi, di sebelah kanan ungkapan ini kita mendapat produk berikut:
Tetapi mengikut definisi ia adalah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu:
Q.E.D.
Contoh : Permudahkan ungkapan.
Penyelesaian : .
Contoh : Permudahkan ungkapan.
Penyelesaian : Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa dalam peraturan kami Semestinya mesti ada sebab yang sama. Oleh itu, kami menggabungkan kuasa dengan asas, tetapi ia kekal sebagai faktor yang berasingan:
Satu lagi nota penting: peraturan ini - hanya untuk produk kuasa!
Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.
Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:
Mari kumpulkan semula kerja ini seperti ini:
Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya kali, iaitu, mengikut definisi, ini adalah kuasa ke-1 nombor:
Pada dasarnya, ini boleh dipanggil "mengeluarkan penunjuk daripada kurungan." Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan: !
Mari kita ingat formula pendaraban yang disingkatkan: berapa kali kita mahu menulis? Tetapi ini tidak benar, selepas semua.
Kuasa dengan asas negatif.
Setakat ini kita hanya membincangkan apa yang sepatutnya penunjuk ijazah. Tetapi apa yang harus dijadikan asas? Dalam kuasa semula jadi penunjuk asasnya mungkin sebarang nombor .
Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada positif, negatif, atau genap. Mari kita fikirkan tentang tanda ("" atau "") yang akan mempunyai kuasa nombor positif dan negatif?
Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ?
Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.
Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Kami masih ingat peraturan mudah dari gred 6: "tolak untuk tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita darab dengan (), kita mendapat - .
Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap pendaraban berikutnya tanda akan berubah. Kita boleh merumuskan perkara berikut peraturan mudah:
- malah ijazah, - nombor positif.
- Nombor negatif, terbina dalam ganjil ijazah, - nombor negatif.
- Nombor positif ke mana-mana darjah ialah nombor positif.
- Sifar kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan sifar.
Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Adakah anda berjaya? Berikut adalah jawapannya:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen dan menggunakan peraturan yang sesuai.
Dalam contoh 5) segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: selepas semua, tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud hasilnya akan sentiasa positif. Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).
Contoh 6) tidak lagi begitu mudah. Di sini anda perlu mengetahui yang mana kurang: atau? Jika kita ingat itu, ia menjadi jelas bahawa, dan oleh itu asas kurang daripada sifar. Iaitu, kami menggunakan peraturan 2: hasilnya akan negatif.
Dan sekali lagi kita menggunakan definisi ijazah:
Semuanya seperti biasa - kami menulis definisi darjah dan membahagikannya dengan satu sama lain, membahagikannya kepada pasangan dan dapatkan:
Sebelum kita melihat peraturan terakhir, mari kita selesaikan beberapa contoh.
Kirakan ungkapan:
Penyelesaian :
Jika kita mengabaikan kuasa kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom ingat program darjah 7. Jadi, awak ingat? Inilah rumus pendaraban yang disingkatkan iaitu perbezaan segi empat sama!
Kami mendapat:
Mari kita lihat dengan teliti penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Susunan syarat adalah salah. Jika mereka diterbalikkan, peraturan 3 boleh digunakan. Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.
Jika didarabkan, tiada apa yang berubah, bukan? Tetapi sekarang ternyata seperti ini:
Secara ajaibnya istilah bertukar tempat. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan dengan mudah. Tetapi penting untuk diingat: Semua tanda berubah pada masa yang sama! Anda tidak boleh menggantikannya dengan menukar hanya satu kelemahan yang kami tidak suka!
Mari kita kembali kepada contoh:
Dan sekali lagi formula:
Jadi sekarang peraturan terakhir:
Bagaimana kita akan membuktikannya? Sudah tentu, seperti biasa: mari kita kembangkan konsep ijazah dan permudahkannya:
Nah, sekarang mari kita buka kurungan. Berapakah bilangan huruf kesemuanya? kali dengan pengganda - apakah perkara ini mengingatkan anda? Ini tidak lebih daripada definisi operasi pendaraban: Terdapat hanya pengganda di sana. Iaitu, ini, mengikut takrifan, ialah kuasa nombor dengan eksponen:
Contoh:
Darjah dengan eksponen tidak rasional
Sebagai tambahan kepada maklumat tentang darjah untuk tahap purata, kami akan menganalisis darjah dengan eksponen yang tidak rasional. Semua peraturan dan sifat darjah di sini betul-betul sama seperti untuk ijazah dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagipun, mengikut takrifan, nombor tidak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu , nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).
Apabila mempelajari ijazah dengan eksponen semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami mencipta "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa. Sebagai contoh, ijazah dengan eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali; nombor kepada kuasa sifar adalah, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya kali, iaitu, mereka belum mula mendarabnya, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul lagi - oleh itu hasilnya hanya tertentu. "nombor kosong", iaitu nombor; darjah dengan eksponen negatif integer - seolah-olah beberapa "proses terbalik" telah berlaku, iaitu, nombor itu tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.
Amat sukar untuk membayangkan ijazah dengan eksponen yang tidak rasional (sama seperti sukar untuk membayangkan ruang 4 dimensi). Ia adalah objek matematik semata-mata yang dicipta oleh ahli matematik untuk memperluaskan konsep darjah ke seluruh ruang nombor.
Dengan cara ini, dalam sains ijazah dengan eksponen kompleks sering digunakan, iaitu, eksponen bukan nombor nyata. Tetapi di sekolah kami tidak memikirkan tentang kesukaran sedemikian; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.
Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen yang tidak rasional? Kami cuba yang terbaik untuk menyingkirkannya!
Contohnya:
Tentukan sendiri:
| 1) | 2) | 3) |
Jawapan:
- Mari kita ingat perbezaan formula kuasa dua. Jawapan: .
- Kami mengurangkan pecahan kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-dua perpuluhan biasa. Kita dapat, contohnya: .
- Tiada apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:
RINGKASAN BAHAGIAN DAN FORMULA ASAS
Ijazah dipanggil ungkapan bentuk: , di mana:
Darjah dengan eksponen integer
darjah yang eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).
Kuasa dengan eksponen rasional
darjah, eksponennya ialah nombor negatif dan pecahan.
Darjah dengan eksponen tidak rasional
darjah yang eksponennya ialah pecahan perpuluhan tak terhingga atau punca.
Sifat darjah
Ciri-ciri darjah.
- Nombor negatif dinaikkan kepada malah ijazah, - nombor positif.
- Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
- Nombor positif ke mana-mana darjah ialah nombor positif.
- Sifar adalah sama dengan mana-mana kuasa.
- Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama.
SEKARANG ANDA MEMILIKI PERKATAAN...
Bagaimana anda suka artikel itu? Tulis di bawah dalam komen sama ada anda suka atau tidak.
Beritahu kami tentang pengalaman anda menggunakan hartanah ijazah.
Mungkin anda mempunyai soalan. Atau cadangan.
Tulis dalam komen.
Dan semoga berjaya dalam peperiksaan anda!
Ungkapan, penukaran ungkapan
Ungkapan kuasa (ungkapan dengan kuasa) dan transformasinya
Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang menukar ungkapan dengan kuasa. Pertama, kami akan menumpukan pada transformasi yang dilakukan dengan apa-apa jenis ungkapan, termasuk ungkapan kuasa, seperti membuka kurungan dan membawa istilah yang serupa. Dan kemudian kita akan menganalisis transformasi yang wujud secara khusus dalam ungkapan dengan darjah: bekerja dengan asas dan eksponen, menggunakan sifat darjah, dsb.
Navigasi halaman.
Apakah ungkapan kuasa?
Istilah "ungkapan kuasa" secara praktikal tidak muncul dalam buku teks matematik sekolah, tetapi ia sering muncul dalam koleksi masalah, terutamanya yang dimaksudkan untuk persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersatu dan Peperiksaan Negeri Bersatu, contohnya. Selepas menganalisis tugas-tugas yang memerlukan untuk melakukan sebarang tindakan dengan ungkapan kuasa, jelaslah bahawa ungkapan kuasa difahami sebagai ungkapan yang mengandungi kuasa dalam entri mereka. Oleh itu, anda boleh menerima sendiri definisi berikut:
Definisi.
Ungkapan kuasa adalah ungkapan yang mengandungi darjah.
Jom beri contoh ungkapan kuasa. Lebih-lebih lagi, kami akan membentangkannya mengikut bagaimana perkembangan pandangan tentang daripada ijazah dengan eksponen semula jadi kepada darjah dengan eksponen sebenar berlaku.
Seperti yang diketahui, orang pertama berkenalan dengan kuasa nombor dengan eksponen semula jadi pada peringkat ini, ungkapan kuasa termudah pertama jenis 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 kelihatan −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 dsb.
Tidak lama kemudian, kuasa nombor dengan eksponen integer dikaji, yang membawa kepada kemunculan ungkapan kuasa dengan kuasa integer negatif, seperti berikut: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
Di sekolah menengah mereka kembali ke ijazah. Terdapat satu darjah dengan eksponen rasional diperkenalkan, yang memerlukan penampilan ungkapan kuasa yang sepadan: 
, , 
dll. Akhir sekali, darjah dengan eksponen tidak rasional dan ungkapan yang mengandunginya dianggap: , .
Perkara ini tidak terhad kepada ungkapan kuasa yang disenaraikan: seterusnya pembolehubah menembusi eksponen, dan, sebagai contoh, ungkapan berikut timbul: 2 x 2 +1 atau 
. Dan selepas berkenalan dengan , ungkapan dengan kuasa dan logaritma mula muncul, contohnya, x 2·lgx −5·x lgx.
Jadi, kita telah menangani persoalan tentang apa yang diwakili oleh ungkapan kuasa. Seterusnya kita akan belajar mengubahnya.
Jenis utama transformasi ekspresi kuasa
Dengan ekspresi kuasa, anda boleh melakukan mana-mana transformasi identiti asas ekspresi. Sebagai contoh, anda boleh mengembangkan kurungan, ganti ungkapan angka nilai mereka, memberikan istilah yang serupa, dsb. Sememangnya, dalam kes ini, perlu mengikuti prosedur yang diterima untuk melakukan tindakan. Mari beri contoh.
Contoh.
Hitung nilai ungkapan kuasa 2 3 ·(4 2 −12) .
Penyelesaian.
Mengikut susunan pelaksanaan tindakan, mula-mula lakukan tindakan dalam kurungan. Di sana, pertama, kita menggantikan kuasa 4 2 dengan nilainya 16 (jika perlu, lihat), dan kedua, kita mengira perbezaan 16−12=4. Kami ada 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
Dalam ungkapan yang terhasil, kita menggantikan kuasa 2 3 dengan nilainya 8, selepas itu kita mengira hasil 8·4=32. Ini adalah nilai yang dikehendaki.
Jadi, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
Jawapan:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Contoh.
Permudahkan ungkapan dengan kuasa 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Penyelesaian.
Jelas sekali, ungkapan ini mengandungi istilah yang serupa 3·a 4 ·b −7 dan 2·a 4 ·b −7 , dan kita boleh mengemukakannya: .
Jawapan:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Contoh.
Menyatakan ungkapan dengan kuasa sebagai produk.
Penyelesaian.
Anda boleh mengatasi tugas dengan mewakili nombor 9 sebagai kuasa 3 2 dan kemudian menggunakan formula untuk pendaraban singkatan - perbezaan kuasa dua: 
Jawapan:
Terdapat juga beberapa transformasi yang serupa yang wujud secara khusus dalam ekspresi kuasa. Kami akan menganalisisnya dengan lebih lanjut.
Bekerja dengan asas dan eksponen
Terdapat kuasa yang asas dan/atau eksponennya bukan sekadar nombor atau pembolehubah, tetapi beberapa ungkapan. Sebagai contoh, kami memberikan entri (2+0.3·7) 5−3.7 dan (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
Apabila bekerja dengan ungkapan sedemikian, anda boleh menggantikan kedua-dua ungkapan dalam asas darjah dan ungkapan dalam eksponen dengan ungkapan yang sama dalam ODZ pembolehubahnya. Dalam erti kata lain, mengikut peraturan yang kita ketahui, kita boleh mengubah asas darjah dan secara berasingan eksponen. Jelaslah bahawa hasil daripada transformasi ini akan diperoleh ungkapan yang sama dengan yang asal.
Transformasi sedemikian membolehkan kita memudahkan ungkapan dengan kuasa atau mencapai matlamat lain yang kita perlukan. Sebagai contoh, dalam ungkapan kuasa yang dinyatakan di atas (2+0.3 7) 5−3.7, anda boleh melakukan operasi dengan nombor dalam asas dan eksponen, yang akan membolehkan anda beralih ke kuasa 4.1 1.3. Dan selepas membuka kurungan dan membawa istilah serupa ke pangkal darjah (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) kita memperoleh ungkapan kuasa yang lebih jenis mudah a 2·(x+1) .
Menggunakan Degree Properties
Salah satu alat utama untuk mengubah ekspresi dengan kuasa ialah kesamaan yang mencerminkan . Mari kita ingat yang utama. Untuk sebarang nombor positif a dan b dan nombor nyata arbitrari r dan s, sifat kuasa berikut adalah benar:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Ambil perhatian bahawa untuk eksponen semula jadi, integer dan positif, sekatan pada nombor a dan b mungkin tidak begitu ketat. Contohnya, untuk nombor asli m dan n kesamaan a m ·a n =a m+n adalah benar bukan sahaja untuk a positif, tetapi juga untuk a negatif, dan untuk a=0.
Di sekolah, apabila mengubah ekspresi kuasa, tumpuan utama adalah pada keupayaan untuk memilih sifat yang sesuai dan menerapkannya dengan betul. Dalam kes ini, asas darjah biasanya positif, yang membolehkan sifat darjah digunakan tanpa sekatan. Perkara yang sama berlaku untuk transformasi ungkapan yang mengandungi pembolehubah dalam asas kuasa - julat nilai pembolehubah yang dibenarkan biasanya sedemikian rupa sehingga asas hanya mengambil nilai positif padanya, yang membolehkan anda menggunakan sifat kuasa secara bebas . Secara umum, anda perlu sentiasa bertanya kepada diri sendiri sama ada boleh menggunakan mana-mana harta ijazah dalam kes ini, kerana penggunaan hartanah yang tidak tepat boleh menyebabkan penyempitan nilai pendidikan dan masalah lain. Perkara ini dibincangkan secara terperinci dan dengan contoh dalam artikel transformasi ungkapan menggunakan sifat kuasa. Di sini kita akan mengehadkan diri kita untuk mempertimbangkan beberapa contoh mudah.
Contoh.
Ungkapkan ungkapan a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 sebagai kuasa dengan asas a.
Penyelesaian.
Pertama, kita mengubah faktor kedua (a 2) −3 menggunakan sifat menaikkan kuasa kepada kuasa: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Ungkapan kuasa asal akan mengambil bentuk a 2.5 ·a −6:a −5.5. Jelas sekali, ia tetap menggunakan sifat pendaraban dan pembahagian kuasa dengan asas yang sama, yang kita ada
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .
Jawapan:
a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.
Sifat kuasa apabila mengubah ungkapan kuasa digunakan dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri.
Contoh.
Cari nilai ungkapan kuasa.
Penyelesaian.
Kesamaan (a·b) r =a r ·b r, digunakan dari kanan ke kiri, membolehkan kita beralih daripada ungkapan asal kepada hasil darab bentuk dan seterusnya. Dan apabila mendarabkan kuasa dengan atas alasan yang sama penunjuk bertambah: 
.
Ia adalah mungkin untuk mengubah ungkapan asal dengan cara lain: 
Jawapan:
.
Contoh.
Diberi ungkapan kuasa a 1.5 −a 0.5 −6, perkenalkan pembolehubah baru t=a 0.5.
Penyelesaian.
Darjah a 1.5 boleh diwakili sebagai 0.5 3 dan kemudian, berdasarkan sifat darjah kepada darjah (a r) s =a r s, digunakan dari kanan ke kiri, mengubahnya kepada bentuk (a 0.5) 3. Oleh itu, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Kini mudah untuk memperkenalkan pembolehubah baru t=a 0.5, kita dapat t 3 −t−6.
Jawapan:
t 3 −t−6 .
Menukar pecahan yang mengandungi kuasa
Ungkapan kuasa boleh mengandungi atau mewakili pecahan dengan kuasa. Mana-mana transformasi asas pecahan yang wujud dalam apa-apa jenis pecahan adalah terpakai sepenuhnya untuk pecahan tersebut. Iaitu, pecahan yang mengandungi kuasa boleh dikurangkan, dikurangkan kepada penyebut baru, dikerjakan secara berasingan dengan pengangkanya dan secara berasingan dengan penyebutnya, dsb. Untuk menggambarkan perkataan ini, pertimbangkan penyelesaian kepada beberapa contoh.
Contoh.
Permudahkan ungkapan kuasa 
.
Penyelesaian.
Ungkapan kuasa ini adalah pecahan. Mari kita bekerja dengan pengangka dan penyebutnya. Dalam pengangka kita membuka kurungan dan memudahkan ungkapan yang terhasil menggunakan sifat kuasa, dan dalam penyebut kita mengemukakan istilah yang serupa: 
Dan mari kita tukar juga tanda penyebut dengan meletakkan tolak di hadapan pecahan: 
.
Jawapan:
.
Mengurangkan pecahan yang mengandungi kuasa kepada penyebut baru dijalankan sama seperti mengurangkan pecahan rasional kepada penyebut baru. Dalam kes ini, faktor tambahan juga ditemui dan pengangka dan penyebut pecahan didarab dengannya. Apabila melakukan tindakan ini, perlu diingat bahawa pengurangan kepada penyebut baharu boleh membawa kepada penyempitan VA. Untuk mengelakkan ini daripada berlaku, faktor tambahan perlu tidak pergi ke sifar untuk sebarang nilai pembolehubah daripada pembolehubah ODZ untuk ungkapan asal.
Contoh.
Kurangkan pecahan kepada penyebut baru: a) kepada penyebut a, b) 
kepada penyebut.
Penyelesaian.
a) Dalam kes ini, agak mudah untuk mengetahui pengganda tambahan yang boleh dicapai hasil yang diingini. Ini ialah pendaraban 0.3, kerana a 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. Ambil perhatian bahawa dalam julat nilai yang dibenarkan pembolehubah a (ini adalah set semua nombor nyata positif), kuasa 0.3 tidak hilang, oleh itu, kita mempunyai hak untuk mendarabkan pengangka dan penyebut bagi sesuatu yang diberikan. pecahan dengan faktor tambahan ini: 
b) Melihat lebih dekat pada penyebut, anda boleh menemuinya 
dan mendarab ungkapan ini dengan akan memberikan hasil tambah kubus dan , iaitu, . Dan ini adalah penyebut baru yang kita perlukan untuk mengurangkan pecahan asal.
Beginilah kami menemui faktor tambahan. Dalam julat nilai yang dibenarkan bagi pembolehubah x dan y, ungkapan itu tidak hilang, oleh itu, kita boleh mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengannya: 
Jawapan:
A) 
, b) 
.
Juga tiada perkara baru dalam mengurangkan pecahan yang mengandungi kuasa: pengangka dan penyebut diwakili sebagai beberapa faktor, dan faktor pengangka dan penyebut yang sama dikurangkan.
Contoh.
Kurangkan pecahan: a) 
, b).
Penyelesaian.
a) Pertama, pengangka dan penyebut boleh dikurangkan dengan nombor 30 dan 45, yang sama dengan 15. Ia juga jelas mungkin untuk melakukan pengurangan sebanyak x 0.5 +1 dan oleh 
. Inilah yang kami ada: 
b) Dalam kes ini, faktor yang sama dalam pengangka dan penyebut tidak serta-merta kelihatan. Untuk mendapatkannya, anda perlu melakukan transformasi awal. Dalam kes ini, ia terdiri daripada pemfaktoran penyebut menggunakan formula perbezaan kuasa dua: 
Jawapan:
A) 
b) 
.
Menukar pecahan kepada penyebut baru dan pecahan pengurangan digunakan terutamanya untuk melakukan sesuatu dengan pecahan. Tindakan dilakukan mengikut peraturan yang diketahui. Apabila menambah (menolak) pecahan, ia dikurangkan kepada penyebut biasa, selepas itu pengangka ditambah (ditolak), tetapi penyebutnya tetap sama. Hasilnya ialah pecahan yang pengangkanya adalah hasil darab dari pengangka, dan penyebutnya adalah hasil darab dari penyebutnya. Pembahagian dengan pecahan ialah pendaraban dengan songsangannya.
Contoh.
Ikut langkah 
.
Penyelesaian.
Pertama, kita tolak pecahan dalam kurungan. Untuk melakukan ini, kami membawanya kepada penyebut yang sama, iaitu 
, selepas itu kita tolak pembilang: 
Sekarang kita darabkan pecahan: 
Jelas sekali, adalah mungkin untuk mengurangkan dengan kuasa x 1/2, selepas itu kita ada 
.
Anda juga boleh memudahkan ungkapan kuasa dalam penyebut dengan menggunakan formula perbezaan kuasa dua: 
.
Jawapan:
Contoh.
Permudahkan Ungkapan Kuasa 
.
Penyelesaian.
Jelas sekali, pecahan ini boleh dikurangkan dengan (x 2.7 +1) 2, ini memberikan pecahan 
. Adalah jelas bahawa sesuatu yang lain perlu dilakukan dengan kuasa X. Untuk melakukan ini, kami menukar pecahan yang terhasil kepada produk. Ini memberi kita peluang untuk mengambil kesempatan daripada harta pembahagian kuasa dengan asas yang sama: 
. Dan pada akhir proses kita beralih dari kerja terakhir kepada pecahan.
Jawapan:
.
Dan marilah kita juga menambah bahawa adalah mungkin, dan dalam banyak kes wajar, untuk memindahkan faktor dengan eksponen negatif dari pengangka ke penyebut atau dari penyebut kepada pengangka, menukar tanda eksponen. Transformasi sedemikian sering memudahkan tindakan selanjutnya. Sebagai contoh, ungkapan kuasa boleh digantikan dengan .
Menukar ungkapan dengan akar dan kuasa
Selalunya, dalam ungkapan yang memerlukan beberapa transformasi, akar dengan eksponen pecahan juga hadir bersama kuasa. Untuk menukar ungkapan sedemikian kepada jenis yang betul, dalam kebanyakan kes ia cukup untuk pergi hanya kepada akar atau hanya kepada kuasa. Tetapi kerana lebih mudah untuk bekerja dengan kuasa, mereka biasanya bergerak dari akar kepada kuasa. Walau bagaimanapun, adalah dinasihatkan untuk melakukan peralihan sedemikian apabila ODZ pembolehubah untuk ungkapan asal membolehkan anda menggantikan akar dengan kuasa tanpa perlu merujuk kepada modul atau membahagikan ODZ kepada beberapa selang (kami membincangkannya secara terperinci dalam peralihan artikel dari akar kepada kuasa dan kembali Selepas berkenalan dengan ijazah dengan eksponen rasional ijazah dengan eksponen tidak rasional diperkenalkan, yang membolehkan kita bercakap tentang ijazah dengan eksponen sebenar sewenang-wenangnya Pada peringkat ini, ia mula menjadi belajar di sekolah. fungsi eksponen , yang secara analitikal diberikan oleh kuasa, asasnya ialah nombor, dan eksponen ialah pembolehubah. Oleh itu, kita berhadapan dengan ungkapan kuasa yang mengandungi nombor dalam asas kuasa, dan dalam eksponen - ungkapan dengan pembolehubah, dan secara semula jadi keperluan timbul untuk melakukan transformasi ungkapan tersebut.
Harus dikatakan bahawa transformasi ungkapan jenis yang ditunjukkan biasanya perlu dilakukan semasa menyelesaikan persamaan eksponen Dan ketaksamaan eksponen, dan penukaran ini agak mudah. Dalam kebanyakan kes, ia adalah berdasarkan sifat ijazah dan bertujuan, untuk sebahagian besar, untuk memperkenalkan pembolehubah baharu pada masa hadapan. Persamaan akan membolehkan kita menunjukkannya 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Pertama, kuasa, dalam eksponennya ialah jumlah pembolehubah tertentu (atau ungkapan dengan pembolehubah) dan nombor, digantikan dengan produk. Ini terpakai pada istilah pertama dan terakhir ungkapan di sebelah kiri:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Seterusnya, kedua-dua belah kesamaan dibahagikan dengan ungkapan 7 2 x, yang pada ODZ pembolehubah x untuk persamaan asal hanya mengambil nilai positif (ini penerimaan standard menyelesaikan persamaan jenis ini bukanlah perkara yang kita bincangkan sekarang, jadi fokus pada transformasi seterusnya bagi ungkapan dengan kuasa): 
Sekarang kita boleh membatalkan pecahan dengan kuasa, yang memberi 
.
Akhirnya, nisbah kuasa dengan eksponen yang sama digantikan dengan kuasa hubungan, menghasilkan persamaan 
, yang setara 
. Transformasi yang dibuat membolehkan kami memperkenalkan pembolehubah baharu, yang mengurangkan penyelesaian kepada yang asal persamaan eksponen untuk menyelesaikan persamaan kuadratik