Rumah / Pelepasan/ Steven Strogatz - The Pleasure of X. Perjalanan yang menarik ke dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia

Steven Strogatz - The Pleasure of X. Perjalanan yang menarik ke dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia

Masalah utama matematik sekolah ialah tiada masalah di dalamnya. Ya, saya tahu apa yang sesuai untuk masalah dalam kelas: latihan yang tidak enak dan membosankan. “Inilah cabarannya. Inilah cara untuk menyelesaikannya. Ya, ada perkara seperti itu dalam peperiksaan. Masalah kerja rumah 1-15.” Cara yang menyedihkan untuk belajar matematik: menjadi cimpanzi terlatih.
Paul Lockhard
daripada esei "Laungan Seorang Ahli Matematik"

Matematik mungkin salah satu cabang sains yang paling aneh. Tiada subjek lain yang menggabungkan begitu banyak pertentangan: daripada ketegasan pembuktian formal kepada keupayaan untuk "melihat" pembinaan tertentu. Matematik mempunyai kecantikan dalaman dan luaran. Tidak ada yang lebih menyeronokkan daripada menyelesaikan masalah matematik. Dan tiada subjek lain yang diajar di sekolah dengan begitu teruk.

Di manakah anda biasanya mula belajar matematik di sekolah? Daripada memberi kanak-kanak berumur 7-8 tahun set simbol dan definisi yang tidak dapat difahami dan sistem algoritma untuk menggunakan gobbledygook ini. Perkara-perkara tertentu, contohnya, jadual pendaraban, dihafal.

Dalam kelas berikut berdasarkan sistem ini, pelajar akan diberitahu dan dipaksa untuk menghafal satu set ritual dukun yang membolehkan mereka menyelesaikan masalah yang diseksa. Takrifan baharu akan timbul, seperti "pecahan wajar" dan " pecahan tak wajar"tanpa penjelasan sedikit pun dari mana ia datang dan, yang paling penting, mengapa. Perhatian khusus akan diberikan untuk menyelesaikan masalah teks yang tidak berguna dan membosankan yang mempunyai hubungan yang sama dengan realiti seperti algoritma itu sendiri.

Sebagai ujian kecil, anda boleh meminta diri anda untuk mengingati: berapa kali dalam hidup anda anda perlu menentukan pecahan yang betul atau tidak wajar?

Saya terpaksa belajar dengan hati: kuasa dua hasil tambah dua nombor sama dengan jumlah segi empat sama mereka, ditambah dengan hasil gandaan mereka. Saya tidak mempunyai sedikit pun idea apa ini boleh bermakna; apabila saya tidak dapat mengingati kata-kata ini, guru memukul kepala saya dengan sebuah buku, yang bagaimanapun, tidak merangsang akal saya sedikit pun.
Bertrand Russell
Ahli falsafah Inggeris, ahli logik dan ahli matematik

Pada masa yang sama, guru akan tanpa belas kasihan menyekat sebarang perbezaan pendapat. Cuba tulis 5/2 dan bukannya 2 1/2 (yang saya selalu ingin bantah: jika saya mempunyai tiga epal, setiap satunya dibahagikan kepada separuh, maka saya akan mengambil 5 bahagian, bukan 2 epal dan 1 separuh).

Topik ini boleh diteruskan untuk masa yang agak lama. Lebih-lebih lagi, ini telah pun dilakukan dalam esei Paul Lockhart "The Lament of a Mathematician". Ia menunjukkan "Siapa yang Harus Disalahkan" dengan baik. Tetapi jawapan kepada soalan penting kedua - "Apa yang perlu dilakukan" - belum diberikan.

Jawapan varian untuk soalan ini diberikan dalam buku yang indah, baru-baru ini diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia. Buku itu dipanggil The Pleasure of X.

Keseronokan daripada x

Jika anda tidak dapat menerangkan sesuatu kepada kanak-kanak berumur enam tahun, anda sendiri tidak memahaminya.
Albert Einstein

Inilah buku yang mesti menjadi desktop untuk mana-mana guru mana-mana mata pelajaran teknikal, sama ada matematik atau sains komputer.

Pengarang rawatan ini, Steven Strogatz, ialah seorang ahli matematik bertaraf dunia dan guru matematik gunaan di Universiti Cornell di Amerika Syarikat (salah satu universiti teknikal terkemuka di dunia). Dan, berdasarkan buku itu, lelaki ini menggabungkan dua kualiti hebat yang menjadikan karya ini laris terlaris: Steven Strogatz ialah seorang ahli matematik yang kuat dan guru yang digabungkan menjadi satu.

Anda boleh mengajar, tetapi tidak tahu subjek dengan baik. Anda boleh mengetahui sesuatu subjek dengan baik, tetapi tidak boleh mengajar. Anda boleh melakukan kedua-duanya, tetapi biasa-biasa saja. Steven Strogatz adalah jenis yang berbeza: dia tahu dan tahu cara mengajar dengan betul.

Buku ini tentang apa? Malah, tentang segala-galanya yang entah bagaimana berkaitan dengan matematik. Pada pandangan pertama, bahagian buku itu dipilih secara huru-hara (Nombor, Nisbah, Angka, Masa Perubahan, Banyak Wajah Data, Sempadan Mungkin), tetapi semasa anda membaca, anda mula memahami apa yang ingin disampaikan oleh pengarang. Buku ini berdasarkan kajian. Kajian yang dilakukan oleh penulis bersama-sama pembaca.

Pelbagai masalah yang sedang dipertimbangkan adalah sangat besar. Sesiapa sahaja, walaupun seseorang yang tahu matematik dengan baik, akan belajar sesuatu yang baru daripadanya. Dalam kes ini, mereka dianggap sebagai masalah praktikal(contohnya, mengira faedah yang diterima daripada saham yang dilaburkan dalam pasaran saham), dan secara mutlak.

Banyak masalah diberikan dalam konteks sejarah. Di sini saya ingin tinggal secara berasingan: kini sejarah perkembangan matematik telah dibuang dari hampir semua buku teks. Sementara itu, hanya dengan memahami konteks sejarah seseorang boleh pergi sepanjang jalan - daripada aritmetik mudah kepada teori matematik moden.

Mari kita ingat, sebagai contoh, persamaan kuadratik. Berapa banyak air mata yang ditumpahkan oleh kedua-dua pelajar dan guru dalam usaha untuk mengingati mantera itu: x satu-dua adalah sama dengan tolak menjadi tambah atau tolak punca menjadi kuasa dua tolak empat a-ce dan bahagikan semuanya dengan dua a.

Dengan cara ini, cara penulisan ini tidak lagi betul mengikut piawaian matematik baharu - lebih kurang. editor.

Orang yang mempunyai ingatan yang baik dan/atau "dalam pengetahuan" masih boleh mengingati teorem Vieta. Tetapi bukannya semua ini, Stephen Strogatz memberikan penjelasan yang elegan, yang dicipta oleh al-Khwarizmi, dengan bantuan yang, tanpa sebarang formula, anda boleh dengan mudah dan semula jadi mencari penyelesaian (walaupun tidak lengkap: pada masa itu nombor negatif belum digunakan secara meluas). Dan, saya memberi jaminan kepada anda, sesiapa yang membaca keputusan ini akan mengingatinya selama-lamanya. Betul kali pertama.

Dari bab ke bab kerumitan tugas bertambah. Tetapi pemahaman tidak hilang, yang merupakan keseronokan istimewa membaca "The Pleasure of X." Pembaca tenggelam dalam suasana yang dicipta oleh pengarang untuknya, secara praktikal dalam dunia baru yang berani.

Saya tidak tahu buku ini boleh dibandingkan dengan apa. Mungkin dengan kuliah Feyman yang terkenal mengenai fizik atau dengan "Anda mesti bergurau dengan saya, Encik Feyman." Tetapi satu perkara yang pasti: buku ini akan meninggalkan kesan pada jiwa mereka yang membacanya.

Buku ini dilengkapi dengan baik oleh:

Quanta

Scott Patterson

Pesakit otak

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Kesedaran fleksibel

Carol Dweck

Fizik pasaran saham

James Weatherall

Kegembiraan daripada X

Lawatan Berpandu Matematik, dari One ke Infiniti

Stephen Strogatz

Keseronokan daripada X

Satu perjalanan yang mengujakan ke dalam dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia

Maklumat daripada penerbit

Diterbitkan dalam bahasa Rusia buat kali pertama

Diterbitkan dengan kebenaran daripada Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Keseronokan daripada X. Perjalanan yang menarik ke dalam dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia / Stephen Strogatz; lorong daripada bahasa Inggeris - M.: Mann, Ivanov dan Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Buku ini secara radikal boleh mengubah sikap anda terhadap matematik. Ia terdiri daripada bab pendek, di mana setiap satunya anda akan menemui sesuatu yang baharu. Anda akan belajar betapa bergunanya nombor untuk mengkaji dunia di sekeliling anda, anda akan memahami keindahan geometri, anda akan mengenali keanggunan kalkulus integral, anda akan yakin tentang kepentingan statistik dan anda akan bersentuhan dengan infiniti . Penulis menerangkan idea asas matematik secara ringkas dan elegan, dengan contoh cemerlang yang boleh difahami oleh semua orang.

Semua hak terpelihara.

Tiada bahagian buku ini boleh diterbitkan semula dalam apa jua bentuk tanpa kebenaran bertulis daripada pemegang hak cipta.

Sokongan undang-undang untuk rumah penerbitan disediakan oleh firma guaman"Vegas-Lex"

Mukadimah

Saya mempunyai seorang kawan yang, walaupun kerajinannya (dia seorang artis), sangat meminati sains. Setiap kali kami berkumpul, dia bercakap dengan penuh semangat tentang perkembangan terkini dalam psikologi atau mekanik kuantum. Tetapi sebaik sahaja kami mula bercakap tentang matematik, dia berasa menggeletar di lututnya, yang sangat mengganggunya. Dia mengadu bahawa bukan sahaja simbol matematik pelik ini menentang pemahamannya, tetapi kadang-kadang dia tidak tahu bagaimana untuk menyebutnya.

Malah, alasan penolakannya terhadap matematik adalah lebih mendalam. Dia tidak akan tahu apa yang ahli matematik lakukan secara umum dan apa yang mereka maksudkan apabila mereka mengatakan bahawa bukti yang diberikan adalah elegan. Kadang-kadang kami bergurau bahawa saya hanya perlu duduk dan mula mengajarnya dari asas, secara literal 1 + 1 = 2, dan mendalami matematik yang dia boleh.

Dan walaupun idea ini kelihatan gila, inilah yang akan saya cuba laksanakan dalam buku ini. Saya akan membimbing anda melalui semua cabang sains utama, daripada aritmetik kepada matematik yang lebih tinggi, supaya mereka yang mahukan peluang kedua akhirnya dapat memanfaatkannya. Dan kali ini anda tidak perlu duduk di meja. Buku ini tidak akan menjadikan anda pakar matematik. Tetapi ia akan membantu anda memahami apa yang anda pelajari disiplin ini dan mengapa ia sangat menarik bagi mereka yang memahaminya.

Kami akan meneroka cara slam dunk Michael Jordan boleh membantu menerangkan kalkulus asas. Saya akan menunjukkan kepada anda cara yang mudah dan menakjubkan untuk memahami teorem asas geometri Euclidean - Teorem Pythagoras. Kami akan cuba untuk mendapatkan bahagian bawah beberapa misteri kehidupan, besar dan kecil: adakah Jay Simpson membunuh isterinya; bagaimana untuk meletakkan semula tilam supaya ia bertahan selama mungkin; berapa ramai pasangan yang perlu ditukar sebelum berkahwin - dan kita akan melihat mengapa beberapa infiniti lebih besar daripada yang lain.

Matematik ada di mana-mana, anda hanya perlu belajar mengenalinya. Anda boleh melihat gelombang sinus di belakang zebra, mendengar gema teorem Euclid dalam Pengisytiharan Kemerdekaan; apa yang boleh saya katakan, walaupun dalam laporan kering sebelum Perang Dunia Pertama, terdapat angka negatif. Anda juga boleh melihat bagaimana arah baharu dalam matematik mempengaruhi kehidupan kita hari ini, contohnya, apabila kita mencari restoran menggunakan komputer atau cuba sekurang-kurangnya memahami, atau lebih baik lagi, bertahan daripada turun naik pasaran saham yang menakutkan.

Stephen Strogatz

Keseronokan daripada X. Perjalanan yang menarik ke dalam dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia

Kegembiraan daripada X

Lawatan Berpandu Matematik, dari One ke Infiniti

Diterbitkan dengan kebenaran daripada Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Semua hak terpelihara. Tiada bahagian daripada versi elektronik buku ini boleh diterbitkan semula dalam apa jua bentuk atau dengan apa cara sekalipun, termasuk siaran di Internet atau rangkaian korporat, untuk kegunaan peribadi atau awam tanpa kebenaran bertulis daripada pemilik hak cipta.

Sokongan undang-undang untuk rumah penerbitan disediakan oleh firma guaman Vegas-Lex.

* * *

Buku ini dilengkapi dengan baik oleh:

Quanta

Scott Patterson

Pesakit otak

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Kesedaran fleksibel

Carol Dweck

Fizik pasaran saham

James Weatherall

Mukadimah

Dan walaupun idea ini kelihatan gila, inilah yang akan saya cuba laksanakan dalam buku ini. Saya akan membimbing anda melalui semua cabang sains utama, daripada aritmetik kepada matematik yang lebih tinggi, supaya mereka yang mahukan peluang kedua akhirnya dapat memanfaatkannya. Dan kali ini anda tidak perlu duduk di meja. Buku ini tidak akan menjadikan anda pakar matematik. Tetapi ia akan membantu anda memahami apa yang dipelajari oleh disiplin ini dan mengapa ia sangat menarik bagi mereka yang memahaminya.

Matematik ada di mana-mana, anda hanya perlu belajar mengenalinya. Anda boleh melihat gelombang sinus di belakang zebra, mendengar gema teorem Euclid dalam Pengisytiharan Kemerdekaan; apa yang boleh saya katakan, walaupun dalam laporan kering sebelum Perang Dunia Pertama, terdapat angka negatif. Anda juga boleh melihat bagaimana bidang matematik baharu mempengaruhi kehidupan kita hari ini, contohnya, apabila kita mencari restoran menggunakan komputer atau cuba sekurang-kurangnya memahami, atau lebih baik lagi, bertahan daripada turun naik pasaran saham yang menakutkan.

Satu siri 15 artikel di bawah nama biasa"Asas Matematik" muncul dalam talian pada akhir Januari 2010. Sebagai tindak balas kepada penerbitan mereka, surat dan komen dicurahkan daripada pembaca semua peringkat umur, termasuk ramai pelajar dan guru. Terdapat juga orang yang ingin tahu yang, atas satu sebab atau yang lain, "sesat" dalam memahami sains matematik; kini mereka merasakan bahawa mereka telah terlepas sesuatu yang berbaloi dan ingin mencuba lagi. Saya amat gembira dengan ucapan terima kasih daripada ibu bapa saya kerana, dengan bantuan saya, mereka dapat menerangkan matematik kepada anak-anak mereka, dan mereka sendiri mula memahaminya dengan lebih baik. Nampaknya walaupun rakan sekerja dan rakan seperjuangan saya, pengagum sains ini, suka membaca artikel, kecuali saat-saat ketika mereka bersaing antara satu sama lain untuk menawarkan pelbagai cadangan untuk menambah baik idea saya.

Walaupun kepercayaan popular, terdapat minat yang jelas dalam matematik dalam masyarakat, walaupun sedikit perhatian diberikan kepada fenomena ini. Apa yang kita dengar hanyalah ketakutan terhadap matematik, namun ramai yang ingin cuba memahaminya dengan lebih baik. Dan apabila ini berlaku, ia akan menjadi sukar untuk memisahkan mereka.

Buku ini akan memperkenalkan anda kepada idea yang paling kompleks dan termaju dari dunia matematik. Bab-bab kecil, mudah dibaca dan tidak bergantung antara satu sama lain. Antaranya adalah yang termasuk dalam siri pertama artikel di New York Times. Jadi, sebaik sahaja anda merasakan sedikit kelaparan matematik, jangan teragak-agak untuk mengambil bab seterusnya. Jika anda ingin memahami dengan lebih terperinci soalan yang menarik minat anda, maka pada akhir buku terdapat nota dengan maklumat tambahan dan cadangan tentang perkara lain yang boleh anda baca tentang perkara ini.

Untuk kemudahan pembaca yang lebih suka pendekatan langkah demi langkah, saya telah membahagikan bahan tersebut kepada enam bahagian mengikut susunan tradisional mempelajari topik.

Bahagian I "Nombor" memulakan perjalanan kami dengan aritmetik masuk tadika Dan sekolah rendah. Ia menunjukkan betapa bergunanya nombor dan betapa ajaibnya ia berkesan dalam menggambarkan dunia di sekeliling kita.

Bahagian II, "Nisbah," mengalihkan perhatian daripada nombor itu sendiri kepada hubungan antara mereka. Idea-idea ini terletak di tengah-tengah algebra dan merupakan alat pertama untuk menerangkan bagaimana satu perkara mempengaruhi yang lain, menunjukkan hubungan sebab-akibat pelbagai perkara: penawaran dan permintaan, rangsangan dan tindak balas - ringkasnya, semua jenis perhubungan yang menjadikan dunia begitu kaya dan pelbagai .

Bahagian III "Angka" tidak menceritakan tentang nombor dan simbol, tetapi tentang angka dan ruang - domain geometri dan trigonometri. Topik-topik ini, bersama-sama dengan penerangan semua objek yang boleh diperhatikan melalui bentuk, penaakulan logik dan bukti, meningkatkan matematik kepada tahap baru ketepatan.

Dalam Bahagian IV, Masa untuk Perubahan, kita akan melihat kalkulus, cabang matematik yang paling menarik dan pelbagai. Kalkulus memungkinkan untuk meramalkan trajektori planet, kitaran pasang surut dan memungkinkan untuk memahami dan menerangkan semua proses dan fenomena yang berubah secara berkala di Alam Semesta dan dalam diri kita. Tempat penting dalam bahagian ini diberikan kepada kajian infiniti, yang penenangnya menjadi satu kejayaan yang membolehkan pengiraan berfungsi. Pengkomputeran membantu menyelesaikan banyak masalah yang timbul di dunia purba, dan ini akhirnya membawa kepada revolusi dalam sains dan dunia moden.

Bahagian V, “The Many Faces of Data,” memperkatakan tentang kebarangkalian, statistik, rangkaian dan sains data—bidang yang masih muda yang lahir daripada aspek kehidupan kita yang kurang teratur, seperti peluang dan nasib, ketidakpastian, risiko , kebolehubahan, huru-hara dan saling bergantung. Menggunakan alat matematik yang betul dan jenis data yang sesuai, kita akan belajar untuk mengesan corak dalam aliran rawak.

Pada penghujung perjalanan kami dalam Bahagian VI, "Had Yang Mungkin," kami akan menghampiri had pengetahuan matematik, kawasan sempadan antara apa yang sudah diketahui dan apa yang masih sukar difahami dan tidak diketahui. Kami sekali lagi akan meneliti topik dalam susunan yang sudah kita kenali: nombor, nisbah, bentuk, perubahan dan infiniti - tetapi pada masa yang sama kita akan melihat setiap daripada mereka dengan lebih mendalam, dalam penjelmaan modennya.

Saya berharap semua idea yang diterangkan dalam buku ini akan kelihatan menarik kepada anda dan akan membuatkan anda berseru lebih daripada sekali: “Wah!” Tetapi anda sentiasa perlu bermula di suatu tempat, jadi mari kita mulakan dengan aktiviti yang mudah tetapi menarik seperti mengira.

Bahagian I. Nombor

1. Asas Nombor: Penambahan Ikan

Demonstrasi konsep nombor terbaik yang pernah saya lihat (penjelasan paling jelas dan lucu tentang nombor apa dan mengapa kita memerlukannya) adalah dalam episod rancangan kanak-kanak popular Sesame Street yang dipanggil 123: Counting Together "(123 Counter with Me). Humphrey, seorang yang baik hati tetapi berwatak redup dengan bulu merah jambu dan hidung hijau yang bekerja di Hotel Furry Feet, menerima pesanan melalui telefon daripada tetamu penguin pada waktu makan tengah hari. Selepas mendengar mereka dengan teliti, Humphrey menghantar pesanan ke dapur: "Ikan, ikan, ikan, ikan, ikan, ikan." Apa yang dilihatnya mendorong Ernie untuk memberitahu Humphrey tentang kebaikan nombor enam.

Matematik adalah bahasa sains yang paling tepat dan universal, tetapi adakah mungkin untuk menerangkan perasaan manusia menggunakan nombor? Formula cinta, benih huru-hara dan persamaan pembezaan romantis - T&P menerbitkan bab daripada buku oleh salah seorang guru matematik terbaik di dunia, Stephen Strogatz, The Pleasure of X, diterbitkan oleh Mann, Ivanov dan Ferber.

Pada musim bunga, tulis Tennyson, imaginasi lelaki muda mudah beralih kepada pemikiran cinta. Malangnya, bakal pasangan lelaki muda mungkin mempunyai idea sendiri tentang cinta, dan kemudian hubungan mereka akan penuh dengan pasang surut yang membuat cinta begitu menarik dan menyakitkan. Sesetengah penghidap cinta yang tidak berbalas mencari penjelasan untuk perubahan cinta ini dalam wain, yang lain dalam puisi. Dan kami akan merujuk kalkulus.

Analisis di bawah akan menjadi lidah, tetapi ia menyentuh topik yang serius. Lebih-lebih lagi, walaupun memahami undang-undang cinta mungkin mengelak kita, undang-undang dunia yang tidak bernyawa sedang dipelajari dengan baik. Mereka mengambil bentuk persamaan pembezaan yang menerangkan bagaimana pembolehubah yang saling berkaitan berubah dari saat ke saat bergantung pada nilai semasanya. Persamaan sedemikian mungkin tidak mempunyai kaitan dengan percintaan, tetapi sekurang-kurangnya dapat menjelaskan mengapa, dalam kata-kata penyair lain, "jalan cinta sejati tidak pernah berjalan lancar." Untuk menggambarkan kaedah persamaan pembezaan, katakan Romeo menyukai Juliet, tetapi dalam versi cerita kita Juliet adalah seorang pencinta yang suka terbang. Semakin Romeo menyayanginya, semakin dia mahu bersembunyi daripadanya. Tetapi apabila Romeo menjadi dingin terhadapnya, dia mula kelihatan luar biasa menarik baginya. Walau bagaimanapun, kekasih muda itu cenderung untuk mencerminkan perasaannya: dia bersinar apabila dia mencintainya, dan menjadi sejuk apabila dia membencinya.

Apa yang berlaku kepada pencinta bintang kita? Bagaimanakah cinta memakannya dan memudar dari semasa ke semasa? Di sinilah kalkulus pembezaan datang untuk menyelamatkan. Dengan mencipta persamaan yang meringkaskan perasaan Romeo dan Juliet yang semakin pudar dan pudar, dan kemudian menyelesaikannya, kita boleh meramalkan perjalanan hubungan pasangan itu. Prognosis muktamad untuknya adalah kitaran cinta dan benci yang tidak berkesudahan yang tragis. Sekurang-kurangnya satu perempat daripada masa ini mereka akan mempunyai cinta bersama.

Untuk mencapai kesimpulan ini, saya menganggap bahawa tingkah laku Romeo boleh dimodelkan menggunakan persamaan pembezaan,

yang menggambarkan bagaimana cintanya ® berubah pada saat berikutnya (dt). Mengikut persamaan ini, jumlah perubahan (dR) adalah berkadar terus (dengan pekali perkadaran a) dengan cinta Juliet (J). Hubungan ini mencerminkan apa yang telah kita ketahui: Cinta Romeo meningkat apabila Juliet mencintainya, tetapi ia juga menunjukkan bahawa cinta Romeo meningkat secara berkadar langsung dengan betapa Juliet mencintainya. Andaian hubungan linear ini tidak masuk akal dari segi emosi, tetapi ia menjadikan penyelesaian persamaan lebih mudah.

Sebaliknya, tingkah laku Juliet boleh dimodelkan menggunakan persamaan

Tanda negatif di hadapan pemalar b mencerminkan bahawa cintanya semakin menyejuk apabila cinta Romeo semakin memuncak.

Satu-satunya perkara yang perlu ditentukan ialah perasaan awal mereka (iaitu, nilai R dan J pada masa t = 0). Selepas ini, semua parameter yang diperlukan akan ditetapkan. Kita boleh menggunakan komputer untuk bergerak ke hadapan dengan perlahan, langkah demi langkah, menukar nilai R dan J mengikut persamaan pembezaan yang diterangkan di atas. Malah, dengan menggunakan teorem asas kalkulus kamiran, kita boleh mencari penyelesaian secara analitik. Oleh kerana modelnya mudah, kalkulus kamiran menghasilkan sepasang formula komprehensif yang memberitahu kita betapa Romeo dan Juliet akan mencintai (atau membenci) satu sama lain pada bila-bila masa pada masa hadapan.

Persamaan pembezaan yang dibentangkan di atas sepatutnya biasa kepada pelajar fizik: Romeo dan Juliet berkelakuan seperti pengayun harmonik mudah. Oleh itu, model meramalkan bahawa fungsi R (t) dan J (t), yang menggambarkan perubahan nisbahnya dari masa ke masa, akan menjadi sinusoid, setiap daripadanya meningkat dan menurun, tetapi nilai maksimumnya tidak bertepatan.

"Ia adalah idea yang bodoh untuk diterangkan hubungan cinta menggunakan persamaan pembezaan terlintas di fikiran saya apabila saya jatuh cinta buat kali pertama dan cuba memahami tingkah laku teman wanita saya yang tidak dapat difahami"

Model boleh dibuat lebih realistik dengan cara yang berbeza. Sebagai contoh, Romeo mungkin bertindak balas bukan sahaja kepada perasaan Juliet, tetapi juga kepada perasaannya sendiri. Bagaimana jika dia adalah salah seorang lelaki yang sangat takut ditinggalkan sehingga dia mula menyejukkan perasaannya. Atau dia tergolong dalam jenis lelaki lain yang suka menderita - itulah sebabnya dia mencintainya.

Tambah pada senario ini dua lagi tingkah laku Romeo: dia bertindak balas terhadap kasih sayang Juliet dengan sama ada meningkatkan atau melemahkan kasih sayangnya sendiri - dan anda akan melihat bahawa terdapat empat gaya tingkah laku yang berbeza dalam hubungan cinta. Pelajar saya dan pelajar kumpulan Peter Christopher di Institut Politeknik Worcester mencadangkan untuk memanggil wakil jenis ini seperti ini: Hermit atau Evil Misanthrope untuk Romeo yang menyejukkan perasaannya dan menjauhkan diri daripada Juliet, dan Narcissistic Blockhead dan Flirting Fink untuk yang satu yang menghangatkan semangatnya, tetapi ditolak oleh Juliet. (Anda boleh fikirkan nama yang betul untuk semua jenis ini).

Walaupun contoh yang diberikan adalah hebat, jenis persamaan yang menggambarkannya agak bernas. Mereka mewakili alat yang paling berkuasa yang pernah dicipta oleh manusia untuk memahami dunia material. Sir Isaac Newton menggunakan persamaan pembezaan untuk menemui rahsia pergerakan planet. Dengan menggunakan persamaan ini, dia menyatukan sfera darat dan cakerawala, menunjukkan bahawa undang-undang gerakan yang sama digunakan untuk kedua-duanya.

Hampir 350 tahun selepas Newton, manusia telah memahami bahawa undang-undang fizik sentiasa dinyatakan dalam bahasa persamaan pembezaan. Ini adalah benar untuk persamaan yang menerangkan aliran haba, udara dan air, untuk undang-undang elektrik dan kemagnetan, walaupun untuk atom, di mana mekanik kuantum memerintah.

Dalam semua kes, fizik teori mesti mencari persamaan pembezaan yang betul dan menyelesaikannya. Apabila Newton menemui kunci rahsia Alam Semesta ini dan menyedari kepentingannya yang besar, dia menerbitkannya dalam bentuk anagram Latin. Diterjemah secara longgar, bunyinya seperti ini: "Ia berguna untuk menyelesaikan persamaan pembezaan."

Idea bodoh untuk menggambarkan hubungan cinta menggunakan persamaan pembezaan datang kepada saya apabila saya jatuh cinta buat kali pertama dan cuba memahami tingkah laku teman wanita saya yang tidak dapat difahami. Ia adalah percintaan musim panas pada penghujung tahun kedua saya di kolej. Saya kemudiannya sangat menyerupai Romeo pertama, dan dia - Juliet pertama. Sifat kitaran hubungan kami membuat saya gila sehingga saya menyedari bahawa kami berdua bertindak di luar inersia, sesuai dengan peraturan mudah“Tarik-tolak.” Tetapi pada penghujung musim panas, persamaan saya mula runtuh, dan saya menjadi lebih keliru. Ternyata ia berlaku peristiwa penting, yang saya tidak ambil kira: bekas kekasihnya mahu dia kembali.

Dalam matematik kita panggil masalah ini sebagai masalah tiga badan. Ia jelas tidak dapat diselesaikan, terutamanya dalam konteks astronomi, di mana ia mula-mula muncul. Selepas Newton menyelesaikan persamaan pembezaan untuk masalah dua jasad (yang menjelaskan mengapa planet bergerak dalam orbit elips mengelilingi Matahari), beliau mengalihkan perhatiannya kepada masalah tiga jasad untuk Matahari, Bumi dan Bulan. Baik dia mahupun saintis lain tidak dapat menyelesaikannya. Ia kemudiannya mendapati bahawa masalah tiga badan itu mengandungi benih-benih huru-hara, bermakna dalam jangka panjang tingkah laku mereka tidak dapat diramalkan.

Newton tidak tahu apa-apa tentang dinamika huru-hara, tetapi, menurut rakannya Edmund Halley, dia mengadu bahawa masalah tiga badan menyebabkan sakit kepala dan membuat dia terjaga dengan kerap sehingga dia tidak akan memikirkannya lagi.

Di sini saya bersama anda, Sir Isaac.

Kegembiraan daripada X

Lawatan Berpandu Matematik, dari One ke Infiniti

Diterbitkan dengan kebenaran daripada Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Sokongan undang-undang untuk rumah penerbitan disediakan oleh firma guaman Vegas-Lex.

* * *

Buku ini dilengkapi dengan baik oleh:

Quanta

Scott Patterson

Pesakit otak

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Kesedaran fleksibel

Carol Dweck

Fizik pasaran saham

James Weatherall

Mukadimah

Dan walaupun idea ini kelihatan gila, inilah yang akan saya cuba laksanakan dalam buku ini. Saya akan membimbing anda melalui semua cabang sains utama, daripada aritmetik kepada matematik yang lebih tinggi, supaya mereka yang mahukan peluang kedua akhirnya dapat memanfaatkannya. Dan kali ini anda tidak perlu duduk di meja. Buku ini tidak akan menjadikan anda pakar matematik. Tetapi ia akan membantu anda memahami apa yang dipelajari oleh disiplin ini dan mengapa ia sangat menarik bagi mereka yang memahaminya.

Untuk menjelaskan apa yang saya maksudkan dengan kehidupan nombor dan tingkah laku mereka yang tidak dapat kita kawal, mari kita kembali ke Hotel Furry Paws. Katakan bahawa Humphrey baru sahaja hendak menyerahkan pesanan itu, tetapi kemudian penguin dari bilik lain tanpa diduga memanggilnya dan juga meminta jumlah ikan yang sama. Berapa kali Humphrey mesti menjerit perkataan "ikan" selepas menerima dua pesanan? Jika dia tidak belajar apa-apa tentang nombor, dia perlu menjerit seberapa banyak penguin di kedua-dua bilik. Atau, menggunakan nombor, dia boleh menjelaskan kepada tukang masak bahawa dia memerlukan enam ekor ikan untuk satu nombor dan enam untuk yang lain. Tetapi apa yang dia perlukan adalah konsep baru: penambahan. Sebaik sahaja dia menguasainya, dia akan dengan bangganya mengatakan bahawa dia memerlukan enam tambah enam (atau, jika dia seorang poser, dua belas) ikan.

Ini pun sama proses kreatif, sama seperti ketika kita baru sahaja mencipta nombor. Sama seperti nombor menjadikan pengiraan lebih mudah daripada menyenaraikan satu demi satu, penambahan memudahkan untuk mengira sebarang jumlah. Pada masa yang sama, orang yang membuat pengiraan berkembang sebagai ahli matematik. Secara saintifik, idea ini boleh dirumuskan seperti berikut: menggunakan abstraksi yang betul membawa kepada pemahaman yang lebih mendalam tentang intipati isu dan kuasa yang lebih besar dalam menyelesaikannya.

Tidak lama lagi, mungkin, walaupun Humphrey akan menyedari bahawa kini dia sentiasa boleh mengira.

Walau bagaimanapun, walaupun terdapat perspektif yang tidak berkesudahan, kreativiti kita sentiasa mempunyai beberapa batasan. Kita boleh memutuskan apa yang kita maksudkan dengan 6 dan +, tetapi sebaik sahaja kita melakukannya, hasil ungkapan seperti 6 + 6 berada di luar kawalan kita. Di sini logik akan meninggalkan kita tiada pilihan. Dalam pengertian ini, matematik sentiasa merangkumi kedua-dua ciptaan, jadi dan pembukaan: kami mencipta konsep, tetapi terbuka akibat mereka. Seperti yang akan menjadi jelas dalam bab-bab berikut, dalam matematik kebebasan kita terletak pada keupayaan untuk bertanya soalan dan terus mencari jawapan kepada mereka, tetapi tanpa mereka sendiri.

2. Aritmetik batu

Seperti mana-mana fenomena dalam kehidupan, aritmetik mempunyai dua sisi: formal dan menghiburkan (atau suka bermain).

Kami mempelajari bahagian formal di sekolah. Di sana mereka menerangkan kepada kami cara bekerja dengan lajur nombor, menambah dan menolaknya, cara menyodoknya semasa melakukan pengiraan dalam hamparan semasa mengisi pulangan cukai dan persiapan laporan tahunan. Bahagian aritmetik ini nampaknya penting kepada ramai dari sudut pandangan praktikal, tetapi sama sekali tidak menggembirakan.

Anda hanya boleh membiasakan diri dengan bahagian aritmetik yang menghiburkan dalam proses mempelajari matematik yang lebih tinggi {3}. Walau bagaimanapun, ia adalah semulajadi seperti rasa ingin tahu kanak-kanak {4}.

Dalam esei "The Mathematician's Lament," Paul Lockhart mencadangkan untuk mengkaji nombor dalam contoh yang lebih konkrit daripada biasa: dia meminta kita menganggapnya sebagai sebilangan batu. Sebagai contoh, nombor 6 sepadan dengan set kerikil berikut:

Anda tidak mungkin melihat sesuatu yang luar biasa di sini. Begitulah keadaannya. Sehingga kita mula memanipulasi nombor, mereka kelihatan hampir sama. Permainan bermula apabila kita menerima tugas.

Sebagai contoh, mari kita lihat set yang mengandungi daripada 1 hingga 10 batu dan cuba buat segi empat sama daripadanya. Ini hanya boleh dilakukan dengan dua set 4 dan 9 batu, kerana 4 = 2 × 2 dan 9 = 3 × 3. Kami mendapatkan nombor ini dengan mengkuadangkan beberapa nombor lain (iaitu, menyusun batu dalam segi empat sama).

Berikut adalah tugas yang mempunyai bilangan yang lebih besar penyelesaian: anda perlu mengetahui set mana yang akan membuat segi empat tepat jika anda menyusun batu dalam dua baris dengan bilangan elemen yang sama. Set 2, 4, 6, 8 atau 10 batu sesuai di sini; nombor mestilah genap. Jika kita cuba menyusun set yang tinggal dengan bilangan batu ganjil dalam dua baris, kita selalunya akan berakhir dengan batu tambahan.

Tetapi semuanya tidak hilang untuk nombor janggal ini! Jika anda mengambil dua set sedemikian, maka elemen tambahan akan mencari pasangan, dan jumlahnya akan menjadi genap: nombor ganjil + nombor ganjil = nombor genap.

Jika kita melanjutkan peraturan ini kepada nombor selepas 10, dan menganggap bahawa bilangan baris dalam segi empat tepat boleh lebih daripada dua, maka beberapa nombor ganjil akan membolehkan anda melipat segi empat tepat tersebut. Sebagai contoh, nombor 15 boleh membentuk segi empat tepat 3 × 5.

Oleh itu, walaupun 15 sudah pasti nombor ganjil, ia adalah nombor komposit dan boleh diwakili sebagai tiga baris lima batu setiap satu. Begitu juga, sebarang entri dalam jadual pendaraban menghasilkan kumpulan batu kerikil segi empat tepatnya sendiri.

Tetapi beberapa nombor, seperti 2, 3, 5 dan 7, benar-benar tiada harapan. Anda tidak boleh meletakkan apa-apa daripadanya kecuali menyusunnya dalam bentuk garisan mudah (satu baris). Orang-orang pelik yang degil ini adalah nombor perdana yang terkenal.

Oleh itu, kita melihat bahawa nombor boleh mempunyai struktur pelik yang memberi mereka watak tertentu. Tetapi untuk memahami rangkaian penuh tingkah laku mereka, anda perlu berundur dari nombor individu dan memerhatikan apa yang berlaku semasa interaksi mereka.

Sebagai contoh, daripada menambah hanya dua nombor ganjil, mari tambah semua urutan nombor ganjil yang mungkin, bermula dengan 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Anehnya, jumlah ini sentiasa menjadi kuasa dua sempurna. (Kami telah mengatakan bahawa 4 dan 9 boleh diwakili sebagai segi empat sama, dan untuk 16 = 4 × 4 dan 25 = 5 × 5 ini juga benar.) Pengiraan pantas menunjukkan bahawa peraturan ini juga benar untuk nombor ganjil yang lebih besar dan, nampaknya. , cenderung kepada infiniti. Tetapi apakah kaitan antara nombor ganjil dengan batu "tambahan" mereka dan nombor simetri klasik yang membentuk segi empat sama? Dengan meletakkan batu kerikil dengan betul, kita boleh membuat jelas apa itu ciri tersendiri bukti elegan. {5}

Kuncinya ialah pemerhatian bahawa nombor ganjil boleh diwakili sebagai sudut sama sisi, pertindihan berturut-turut membentuk segi empat sama!

Cara penaakulan yang serupa dibentangkan dalam buku lain yang diterbitkan baru-baru ini. Novel menawan Yoko Ogawa The Housekeeper and the Professor mengisahkan tentang seorang wanita muda yang cerdik tetapi tidak berpendidikan dan anak lelakinya yang berumur sepuluh tahun. Seorang wanita telah diupah untuk menjaga seorang ahli matematik tua yang ingatan jangka pendeknya, akibat kecederaan otak traumatik, hanya menyimpan maklumat tentang 80 minit terakhir dalam hidupnya. Kehilangan pada masa kini, bersendirian di pondoknya yang kotor, tanpa apa-apa selain nombor, profesor cuba berkomunikasi dengan pembantu rumah dengan satu-satunya cara yang dia tahu: dengan bertanya tentang saiz kasutnya atau tarikh lahir dan bercakap kecil dengannya tentang perbelanjaannya. Profesor itu juga sangat menyukai anak lelaki pembantu rumah, yang dia panggil Ruth (Root) kerana budak lelaki itu mempunyai kepala yang rata di atas, dan ini mengingatkannya tentang notasi dalam matematik. punca kuasa dua √.

Pada suatu hari, profesor memberikan budak lelaki itu tugas mudah - untuk mencari jumlah semua nombor dari 1 hingga 10. Selepas Ruth dengan teliti menambah semua nombor bersama-sama dan kembali dengan jawapan (55), profesor meminta dia mencari cara yang lebih mudah. Adakah dia dapat mencari jawapannya? tanpa penambahan nombor biasa? Ruth menendang kerusi dan menjerit, “Ia tidak adil!”

Sedikit demi sedikit, pembantu rumah itu juga tertarik dengan dunia nombor dan diam-diam cuba menyelesaikan masalah ini sendiri. “Saya tidak faham kenapa saya terbawa-bawa dengan masalah kanak-kanak yang tiada faedah praktikal", katanya. “Pada mulanya saya ingin menggembirakan profesor, tetapi secara beransur-ansur pelajaran ini bertukar menjadi pertempuran antara saya dan nombor. Apabila saya bangun pada waktu pagi, persamaan sudah menunggu saya:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Steven Strogatz - The Pleasure of X. Perjalanan yang menarik ke dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia

Keseronokan daripada x

* * *

Buku ini dilengkapi dengan baik oleh:

Mukadimah

2. Aritmetik batu

Pemulihan kata laluan